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实用高等数学电子教案第7章 定积分_图文

实用高等数学电子教案第7章  定积分_图文

第七章 定积分
7.1 定积分的概念及其性质 7.2 微积分基本公式 7.3 定积分的计算 7.4 定积分的应用 7.5 反常积分

【开篇案例】

第七章 定积分

案例7.1 城市交通流下黄灯闪烁时间应怎样设置 怎样设置交通指挥灯

中各种颜色信号灯闪烁时

间的长短,特别是黄灯闪

烁的时间才合理?

【学习目标】

第七章 定积分

1.理解定积分概念,掌握定积分的性质。

2. 原函数存在定理,变上限的定积分。

3. 牛顿—莱布尼兹公式。

4. 换元积分法和分部积分法。

5. 无穷积分。

6. 定积分的应用。

第七章 定积分
7.1 定积分的概念及其性质
1.问题的提出 (1)曲边梯形的面积

n

? A?lim ??0 i?1

f (?i )?xi

7.1 定积分的概念及其性质
(2)变速直线运动的路程

设物体作直线运动,速度v=v(t)是时间t的

连续函数,且v(t) ?。0求物体在时间间隔[T1,T2] 内所经过的路程.

1)分割

?ti ?ti ?ti?1 ? s i

2)局部近似 ?si ?v(?i)??ti

3)求和

n

n

? ? s? ?si ? v(?i)?ti

i?1

i?1

4)取极限

n

? s

?lim ??0 i?1

v(?i

)?ti

7.1 定积分的概念及其性质
2. 定积分的定义 定义7.1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定
义,如果不论对[a,b]怎样划分,也不论在小
区间 [xi,xi-1]上点 ? 怎i 样取法,只要当 ??0 时,和S总趋于确定的极限I,则称函数f(x)在
区间[a,b]上可积,并称此极限值I为f(x)在
b
[a,b]上的定积分,记作 ?a f ( x )dx

7.1 定积分的概念及其性质
说明 :
1.定积分是一个数,只取决于被积函数与 积分区间,而与积分变量的记号无关;

2.定义定积分时已假定下限a小于上限b;

(1)当a>b时,?ab

a
f(x)dx???b

f(x)dx

(2)当a=b时,?aa f (x)dx ? 0

3.函数可积的两个充分条件;

7.1 定积分的概念及其性质
函数可积的两个充分条件: 定理 7.1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上可积。
定理 7.2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且 只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。

7.1 定积分的概念及其性质
3. 定积分的几何意义 (1)曲边梯形的面积
b
?a f (x)dx ? A

7.1 定积分的概念及其性质
(2)曲边梯形的面积负值
b
?a f (x)dx ??A

7.1 定积分的概念及其性质
(3)面积差
b
?a f(x)dx?A1?A2?A3

7.1 定积分的概念及其性质
4. 定积分的性质 性质7.1 函数代数和的定积分等于它们的定积 分的代数和。即

b

b

b

?a[f(x )? g (x )]d x? ?af(x )d x ? ?ag (x )d x

性质7.2 被积函数的常数因子可以提到积分号 前。即

b

b

?akf(x)dx?k?a f(x)dx

7.1 定积分的概念及其性质
性质7.3 不论a,b,c三点的相互位置如何,恒有

b

c

b

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx

性质7.4 若在区间[a,b]上, f (x)?0,则?ab f (x)dx ? 0

推论1 若在区间[a,b]上, f(x)?g(x),则

b

b

?a f(x)dx??ag(x)dx

? ? 推论2

b

b

f(x)dx? | f(x)|dx

a

a

7.1 定积分的概念及其性质
例1 比较下列定积分的大小。

? ?2 e xdx 0

?2
?0 xdx

解 令 f (x)?ex ?x,x?[?2, 0],f (x) ? 0,



0
? f (x)dx ? 0 ?2



?0 (ex ?x)dx?0 ?2

? ? ? 0 exdx?

0
xdx

?2

?2

? ? ?2exdx?

?2
xdx

0

0

7.1 定积分的概念及其性质
性质7.5 估值定理 设函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大 值分别为m与M,则
b
m (b?a)??af(x)dx?M (b?a)

7.1 定积分的概念及其性质

?
例2 估计定积分 ?0

1
3

dx 的值。

2 ? sin 2 x

3

解:因为当 x?[0, ?]时,0?sinx?1, 0?sin2 x?1

3
由此有 2?2?sin2 x?3

?1 3

?

1
3
2?sin2

x

?

1 2

于是由估值定理有

??
3??0

1
3

dx??
2

2?sin2 x

7.1 定积分的概念及其性质
性质7.6 定积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在
[a,b]内至少存在一点 ?,使下式成立:
?bf(x)dx?f(?)(b?a) a ??[a, b]

第七章 定积分

7.2 微积分基本公式

1. 变上限的定积分

设 f(x)在 上连续, x为[a,b]上任一点。如 果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一 个给定的x值,定积分都有唯一的一个值与之对 应,所以它在定义了一个函数,由于这一函数是 以定积分之形式表现出来,且积分上限是变化的, 因此,人们把这一函数称作变上限定积分,记作 ?(x),即

x
?(x) ??a f (t)dt

a?x?b

7.2 微积分基本公式
变上限定积分函数性质: 定理 7.3 如果函数f(x)在区间[a,b]上

连续,则变上限定积分函数
x
?(x) ??a f (t)dt

在[a,b]上可导,并且

? ??(x)?d

x
f(t)dt?f(x)

dx a

a?x?b

7.2 微积分基本公式
定理 7.4 如果函数f(x)在区间[a,b]上 连续,则函数
x
?(x) ??a f (t)dt
是f(x)的一个原函数。

7.2 微积分基本公式
2. 牛顿——莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
定理7.5 如果函数F(x)是连续函数f(x)在 区间[a,b]上的一个原函数,则
b
?a f(x)dx?F(b)?F(a)

7.2 微积分基本公式

例4 计算

?1 x2dx 0

解:由于

x

3


的x 2一个原函数,因此按牛顿—

3

莱布尼兹公式,有

?1x2dx?x3 1 ?13 ?03 ?1

0

3 333

0

7.2 微积分基本公式

? 例5 计算

11 ?11 ? x2

dx

? ? ?? ? 1 1 1 ? 1 x 2 d x ? a r c ta n x 1 ? 1 ? a r c ta n 1 ? a r c ta n ( ? 1 )? 4 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 2

? 例6 计算 2 d x
1x

?21dx?lnx2?ln2?ln1?ln2

1x

1

7.2 微积分基本公式
例7m/s2 汽车以每小时36 km的速度行驶,到某处 需要减速停车,设汽车以等加速度 a??5m/s2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车行驶的距离? 解:设开始刹车时的时刻为t=0,则此时汽车 速度为
v0?33 ? 61600m 00 /s0 ?1m 0/s

7.2 微积分基本公式
汽车刹车后减速行驶,其速度为
v(t)?v0?a? t1? 0 5 t

当汽车停住时,速度v(t)=0,故从 v(t)?1? 05t?0

解得 t ? 2
于是这段时间内,汽车所驶过的距离为

? ? 2v(t)dt?2(10?5t)dt?(10t?5t2)2?10(m )

0

0

20

即刹车后,汽车需要走10 m才能停住。

第七章 定积分

7.3 定积分的计算
1. 定积分的换元积分法
? 例8 求 4 d x 0 1? x
解: ?1? dxx??12 ? ttdt?2????1?1? 1t???dt

?2(t?ln|1?t|)?C

?2( x?ln|1? x|)?C

?4

d x

4
?2 [x?ln (1?x)]?4?2ln3

01?x

0

7.3 定积分的计算
设 x ? t,即 x ? t2,则dx=2tdt,且当x=0时,

t=0;x=4,t=2,有

? ? 4 dx ? 2 2t dt
0 1? x 0 1?t

? ?

2

2 0

???1?1?1

t

???dt

?2[t?ln(1?t)]2 0

?4?2ln3

7.3 定积分的计算
定积分的换元积分公式
设f(x)在[a,b]上连续,而函数 x??(t)满足
下列条件: (1) ?(?),?a ?,(?且)?当b t在 上变[?,化?时] ,
x??在(t[)a,b]变化;
(2)在闭区间[?, 上?]单值单调,且有连续导
数??(t;) 则 ?a bf(x)d xx? ?(t)?? ?f[?(t)]??(t)d t

7.3 定积分的计算

? 例9 计算

2 4 ? x2 dx
0

? ? 2 4?x2dx?4? 2cos2tdt?2(t?1sin2t)? 2??

0

0

2

0

? e2
例10 计算

dx

1 x 1 ? ln x

? ? ? e2 dx ? e2 d(lnx) ? e2 d(1?lnx)
1 x 1?lnx 1 1?lnx 1 1?lnx
? ?e2
? 2 1?lnx ?2( 3?1)
1

7.3 定积分的计算
试证:若f(x)在[-a,a]上连续,则

a

a

(1)??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx

a
? (2)当f(x)为奇函数时, ?a f (x)dx ? 0

a

a

(3)当f(x)为偶函数时,??af(x)dx?2?0 f(x)dx

7.3 定积分的计算
2. 定积分的分部积分法 设函数u=u(x),v=v(x)在[a,b]上有连续 导数,则有定积分的分部积分公式:
? ? a b u (x )d v (x )? u (x )v (x )|b a?a b v (x )d u (x )

7.3 定积分的计算

1
? 例13 计算 2 arcsin xdx 0

? ? 1

11

2 0

arcsinxdx?xarcsinx|02

?

2 0

x dx 1?x2

?? ?
12

1?x2

1
|02

?? ?
12

3?1 2

7.3 定积分的计算
例14 计算

4 ln x

?1

dx x

? ? ? 14lnxxdx?412lntdt?4(tlnt)|12?412tdlnt ? ?8ln2?412dt?8ln2?4t|12?4(2ln2?1)

7.3 定积分的计算
证明积分公式

?

? In ?

2 sinn xdx
0

????????nnnn? ?11??nnnn? ?? ?2233??????????5434??1322,??2,

n为正偶数 n为大于1的正奇数

7.4 定积分的应用
1. 定积分的几何应用
(1)平面图形的面积

第七章 定积分

b

b

b

A ? ?af(x )d x ? ?ag (x ) d x ? ?a [f(x )? g (x ) ] d x

7.4 定积分的应用
(1)平面图形的面积
A??cd[?(y)??(y)]dy

7.4 定积分的应用
例16 求两条抛物线 y2 与? x 所y 围? x成2
的平面图形的面积。

7.4 定积分的应用
解:两条抛物线所围成的平面图形如图所示。

解方程组?? ?

y y

2
?

? x

x
2

,两抛物线交点为(0,0)和(1,1)

面积微元为 dA?( x?x2)dx

所求图形面积为定积分

?1
A? ( 0

x?x2)dx????2 3x3 2?x33???10?1 3

7.4 定积分的应用
习题1 求抛物线y ? 与x 2直线y=x, y=2x所围图
形的面积。

7.4 定积分的应用
习题2 求抛物线 y2 ?与2x直线y=x-4所围成平面
图形的面积。

7.4 定积分的应用

习题3

求椭圆

x2 a2

?

y b

2
2的?面1 积。

7.4 定积分的应用
(2)旋转体的体积

? ? V?b?[f(x)]2dx?b?y2dx

a

a

7.4 定积分的应用

例 20 求由椭圆

x2 a2

?

b绕y22 轴? 1旋转一周而成

的旋转体(称为旋转椭球体)的体积。

7.4 定积分的应用
解:旋转椭球体(如图所示)可看作是由上半

个椭圆 y ? b 1及?xax轴22 所围成的平面图形绕x

轴旋转而成的旋转体。

体积微元为

dV

??

b2

? ?1? ?

x2 a2

? ?dx ?

? ? 椭球体的体积为 V ?

a?
?a

b2

???1?ax22

? ?dx ?

??

b2

a? ?a??1?

x2 a2

? ?dx ?

??b2

? ? ?

x3 x?3a2

? ? ?

a ?a

?

4?
3

ab2

7.4 定积分的应用
习题4 求由抛物线 y ?及x直2 线x=2与x轴所
围成的平面图形分别绕x轴和绕y轴旋转一
周所得立体的体积。

7.4 定积分的应用
(3)平行截面面积为已知的立体的体积
b
V ? ?a A(x)dx

7.4 定积分的应用
例22 一平面经过半径为R的圆柱体的底面
半径,且与底面交成定角 ?。求此平面截圆柱所
得立体(楔形体)的体积。

7.4 定积分的应用
解:取底面直径所在直线为x轴,底面上过圆心

且垂直于x轴的直线为y轴。则底圆方程为

x2 ?y2 ?R2。立体中过点x且垂直于 x 轴的截面

是直角三角形,其面积为

A (x)?1y?yta?n ?1(R 2?x2)ta?n

2

2

于是,楔形体体积为

? ?? V ?RA (x )d x?1ta n R(R 2? x2)d x

? R

2 ? R

?1 2tan?????R2x?x33???? RR?3 2R3tan?

7.4 定积分的应用
2. 定积分的物理应用 (1)功
恒力的功 W?F?s
变力作功的微元 dW?F(x)dx

? 变力所作的功

b
W ? F(x)dx

a

7.4 定积分的应用
例 23 半径为1米的半球形水池,池中充满 了水,把池内的水全部抽出需作多少功?

7.4 定积分的应用
解:建立坐标系,圆的方程为 x2 ? y。2 ?选1 水
深x为积分变量。在[0,1]上任意小区间[x,dx] 上相应小薄圆柱体的水重近似为
9.8 ?y2dx?9.8 ?(1?x2)dx
将这小水柱体提到池口的距离为x ,故功微元为
? ? d W ? 9 .8y 2 d x ?x ? 9 .8(x ? x 3 ) d x
得所求功为
1
? ? ? W ?0 1 9 .8(x? x 3 )d x? 9 .8? ? ?1 2 x 2? 1 4 x 4? ? ?0? 7 .7 ? 1 0 3 (J )

7.4 定积分的应用
(2)水压力

? ? ? d P ? g x ?d A ? g x y d x ? g x f( x ) d x

? ? ? ? ? a

a

a

P ?d P ? g x y d x? g x f(x )d x

0

0

0

7.4 定积分的应用
例24 设某水库的放水闸门为一梯形(如图
所示,图中所示闸门尺寸以米为单位)。求水
库水齐闸门顶时闸门所受的水压力。

7.4 定积分的应用

解:由于闸门关于x轴对称,只要计算一半 闸门的水压力,然后再二倍就得闸门所受总的 水压力。
取水深x为积分变量。积分区间为[0,10],

直线方程为 y ? 3 ?,1 x水的密度
5

?。?因1t m3

此,闸门所受的总的水压力为
10
P?2?0 ?gxydx
1 0
? ? 2 ? 9 .80 1 0 x ? ? ?3 ? 1 5 x ? ? ? d x? 9 .8 ? ? ?3 x 2? 1 2 5 x 3 ? ? ?0? 1 6 3 3 .3 (k N )

7.4 定积分的应用
(3)经济应用问题举例
例25 某工厂生产某产品x件时,固定成本为 15元,边际成本为 C ?(x)?1(? 0元0.2 /x 件),试 求出总成本函数 C(x及) 平均成本函数 C。( x )

7.4 定积分的应用
解:总成本为固定成本与变动成本之和,即
x
C(x)?C(0)??0C?(t)dt
x
?15??0(10?0.2t)dt
?15?(10t?0.1t2)x 0
?15?10x?0.1x2
平均成本为总成本与产量之比,即
C(x)?C(x)?15?10 ?x x x 10

7.4 定积分的应用
习题 已知生产某种产品x单位(百台)
的边际成本和边际收益(万元/百台)分别为
C?(x)?3?x, R?(x)?7?x 3
(1)若固定成本为C(0)=1万元,求总成本函数、
总收益函数和总利润函数;
(2)产量为多少时,总利润最大?最大利润
是多少?

7.5 反常积分
1. 无穷限的反常积分
? ?? 1 dx ? 1
1 x2

第七章 定积分

7.5 反常积分

定义7.2 设函数f(x)在区间 [a, 上?? 连)续,

b

取b>a。如果极限

lim
b???

?a

f 存( x)在dx,则称此极

限为f(x)在无穷区间[a, ?上?的) 反常积分,

? 记作 ?? f (,x)d即x a

??

b

? ? f(x)dx?lim f(x)dx

a

b? ??a

7.5 反常积分
例27 计算反常积分

? (1)

?? 1 0 1 ? x2 dx

? ? ? ? 0 ? ? 1 ? 1 x 2 d x ? b l ? i m ? ? 0 b 1 ? 1 x 2 d x ? b l ? i m ? ? ?a r c t a n x ?b 0 ? 2 ? 0 ? 2

? (2) ?? xe? x2 dx 0

? ? l im b x e ? x 2 d x ? ? 1 l im ? ? e ? x 2 d ( ? x 2 )? ? 1 l im e ? x 2b

b ? ? ? 0

2 b ? ? ? 0

2 b ? ? ? 1

??1lim (e?b2 ?1)?1

2b???

2

7.5 反常积分
(2)无界函数的反常积分

定义7.2 设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且

limf(x,)?取? ,?若?极0 限
x?a?

? li存m 在b ,f (x)dx
??0? a??

则称此极限为f(x)在区间(a,b]上的反常积分,

记作 ?

b a

f

( x,)d x即

b

b

? ? f(x)dx?lim f(x)dx

a

?? 0? a??

7.5 反常积分

例31 计算下列反常积分

1 dx
? (1) 0 x2 ? 4x ? 3

1 d x

1 ? ? d x

1x ? 3 1 ? ?

? ? ? lim

? lim ln ? ? ?

0x 2? 4 x ? 3?? 0 ?0 x 2? 4 x ? 3?? 0 ?2 x ? 1 0

1
? (2) ln x d x 0 ? ? ? 01lnxdx??l? im 0? ?1lnxdx??l? im 0?(xlnx1 ???1dx) ?lim(??ln??1??)??1 ?? 0?


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