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【新】高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习新人教A版选修2-2

【新】高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习新人教A版选修2-2

小中高 精品 教案 试卷

2.2.2 反证法
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定应该是( A.a<b C.a=b B.a≤b D.a≥b )

解析:“a>b”的否定应为“a=b 或 a<b”,即 a≤b.故应选 B. 答案:B 2.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a,b,

c,d 中至少有一个负数”时的假设为(
A.a,b,c,d 全都大于等于 0 B.a,b,c,d 全为正数 C.a,b,c,d 中至少有一个正数 D.a,b,c,d 中至多有一个负数

)

解析:至少有一个负数的否定是一个负数也没有,即 a,b,c,d 全都大于等于 0. 答案:A 3.“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析:自然数 a,b,c 的奇偶性共有四种情形:(1)3 个都是奇数;(2)2 个奇数,1 个偶 数;(3)1 个奇数,2 个偶数;(4)3 个都是偶数.所以否定正确的是 a,b,c 中都是奇数或至 少有两个偶数. 答案:D 4.给定一个命题“已知 x1>0,x2≠1 且 xn+1=
+1

)

x3 n+3xn ,证明对任意正整数 n 都有 xn>xn 2 3xn+1

”,当此题用反证法否定结论时应是( A.对任意正整数 n 有 xn≤xn+1 B.存在正整数 n 使 xn≤xn+1 C.存在正整数 n 使 xn>xn+1 D.存在正整数 n 使 xn≥xn-1 且 xn≥xn+1

)

解析:“对任意正整数 n 都有 xn>xn+1”的否定为“存在正整数 n 使 xn≤xn+1”. 答案:B
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1 1 1 5.设 a,b,c∈(-∞,0),则三数 a+ ,c+ ,b+ 中(

b

a

c

)

A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 解析:?a+ ?+?c+ ?+?b+ ?=?a+ ?+?b+ ?+?c+ ? ?
b? ? a? ? c? ? a a? ? b? ? c? b
1 1 ? ? 1?? ? ? 1?? ∵a,b,c∈(-∞,0),∴a+ =-?-a+?- ??≤-2,b+ =-?-b+?- ??≤-2,

?

? a??

?

? b??

c+ =-?-c+?- ??≤-2, c ? ? c??

1

?

? 1??

? 1? ? 1? ? 1? ∴?a+ ?+?c+ ?+?b+ ?≤-6, ?
b? ? b a? ? a c? c
1 1 1 ∴三数 a+ 、c+ 、b+ 中至少有一个不大于-2,故应选 C. 答案:C 6 .命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 ________________________________________________________________________. 解析:“至少有一个”的否定是“没有一个”. 答案:没有一个是三角形或四边形或五边形 7.△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC,求证∠BAP<∠CAP.用反证 法证明时的假设为________. 解析: 反证法对结论的否定是全面否定, ∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP> ∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP 8.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°相矛盾,则∠A =∠B=90°不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为________. 解析:由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结 论即②,即顺序应为③①②. 答案:③①② 9.已知 a≥-1,求证以下三个方程:
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x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实数解.
证明:假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式都小于 0,即:

a 2- -4a+ ? ? 2 2 -4a <0 ? a- ? ? a 2+4×2a<0

<0

? ? 1 ?? a> 或a<-1 3 ? ?-2<a<0
3 1 - <a< 2 2 3 ? - <a<-1,这与已知 a≥-1 矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方 2 程有实数解. 1 1 1 10.求证:不论 x,y 取何非零实数,等式 + = 总不成立. x y x+y 1 1 1 证明:假设存在非零实数 x,y 使得等式 + = 成立. x y x+y 于是有 y(x+y)+x(x+y)=xy, 即 x +y +xy=0,
2 2

y 2 3 2 即(x+ ) + y =0. 2 4
3 2 由 y≠0,得 y >0. 4 又(x+ ) ≥0, 2

y

2

y 2 3 2 所以(x+ ) + y >0. 2 4
与 x +y +xy=0 矛盾,故原命题成立. [B 组 能力提升] 1.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了这四位歌手,甲说: “是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.” 四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( A.甲 C.丙 B.乙 D.丁 )
2 2

解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁 获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.

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答案:C 2. 若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形, 那么这个三角形的形状是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不确定 )

解析:分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线 AD(点 D 在 BC 上),则∠ADB +∠ADC=π ,若∠ADB 为钝角,则∠ADC 为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD 与△

ACD 不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC= 时,才符合题意.
答案:B 3.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为 an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数),且 a>b, 那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个. 解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在 n 使得 an=bn,由题意 a>b,n∈N ,则恒 有 an>bn,从而 an+2>bn+1 恒成立,∴不存在 n 使 an=bn. 答案:0 4.完成反证法证题的全过程.设 a1,a2,…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列,求证:乘积
*

π 2

p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明:假设 p 为奇数,则 a1-1,a2-2,…,a7-7 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数, 故有奇数=________=________=0.但 0≠奇数,这一矛盾说明 p 为偶数. 解析:据题目要求及解题步骤, 因为 a1-1,a2-2,…,a7-7 均为奇数, 所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数. 即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数. 又因为 a1,a2,…,a7 是 1,2,…,7 的一个排列, 所以 a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为 0. 所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0. 答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7) 5.已知 a,b,c 都是小于 1 的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个 1 不大于 . 4 1 证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于 , 4 1 1 1 即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> . 4 4 4

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∵a,b,c 都是小于 1 的正数, ∴ ∴ 又∵ ∴ 1 -a b> , 2 -a b+ -a b≤ -a b + 1 -b c> , 2 -b c+ 1-a+b , 2 1 -c a> , 2

3 -c a> .(*) 2 -b c≤ 1-b+c , 2 -c a≤ 1-c+a , 2

-b c +

-c a ≤

1-a+b 1-b+c 1-c+a + + = 2 2 2

3- a+b+c + a+b+c 3 1 = (当且仅当 1-a=b,1-b=c,1-c=a,即 a=b=c= 时, 2 2 2 等号成立),与(*)式矛盾. ∴假设不成立,原命题成立, 1 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个不大于 . 4 6.求证:抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形.

证明:如图,设抛物线方程为

y2=2px(p>0),
在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 则 yi=2pxi(i=1,2,3,4), 于是直线 AB 的斜率为 kAB= 同理:kBC=
2

y2-y1 2p = , x2-x1 y1+y2

2p 2p 2p ,kCD= ,kDA= . y3+y2 y4+y3 y1+y4

假设四边形 ABCD 为平行四边形, 则有 kAB=kCD,kBC=kDA, 即有?
? ?y2+y1=y4+y3 ?y3+y2=y1+y4 ?

① ②

①-②得 y1-y3=y3-y1, ∴y1=y3,同理 y2=y4,

y2 y2 1 3 则 x1= = =x3, 2p 2p
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同理 x2=x4, 由?
? ?x1=x3 ?y1=y3 ?

,?

? ?x2=x4 ?y2=y4 ?

.

显然 A,C 重合,B,D 重合.这与 A,B,C,D 为抛物线上任意四点矛盾,故假设不成立. ∴四边形 ABCD 不可能是平行四边形.
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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