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西安电子科技大学2013年上半年期末考试经济数学二试卷及答案

西安电子科技大学2013年上半年期末考试经济数学二试卷及答案

姓名 题号

西安电子科技大学 2013 上学期期末考试 经济数学(二)

专业

学号







总分

分数

得分

评卷人

一. 选择题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。

1.

函数

f

(x)

?

??0 ?1

?? x

x?0 在点 x ? 0 不连续是因为(
x?0



A. f (0 ? 0) ? f (0)

B. f (0 ? 0) ? f (0)

C. f (0 ? 0) 不存在

D. f (0 ? 0) 不存在

a
? 2. 设 f (x) 为连续函数,且 f (x)dx ? 0 ,则下列命题正确的是( ) ?a A. f (x) 为[?a,a] 上的奇函数

B. f (x) 为[?a,a] 上的偶函数

C. f (x) 可能为[?a,a] 上的非奇非偶函数

D. f (x) 必定为[?a,a] 上的非奇非偶函数

3.

设有单位向量

a?

0

,它同时与

? b

?

? 3i ?

? j

?

? 4k



c?

?

? i

?

? k

都垂直,则

a?

0

为(



A.

1

? i?

1

? j?

1

? k

33 3

??? B. i ? j ? k

C.

1

? i?

1

? j?

1

? k

33 3

??? D. i ? j ? k

? 4. 幂级数 ? ln?n ? 1? x n 的收敛区间是(
n?1 n ? 1



A. [?1,1]

B. (?1,1)

C. [?1,1)

D. (?1,1]

5. 按照微分方程通解的定义, y" ? sin x 的通解是( )

A. ? sin x ? c1x ? c2

B. ? sin x ? c1 ? c2

C. sin x ? c1x ? c2

D. sin x ? c1 ? c2

(其中 c1、c2 是任意常数)

得分

评卷人

二. 填空题:本大题共 10 个小题,10 个空,每空 4 分,共 40 分,把答案填在题中横线上。

6.



f (x)

?

? ?

e

x

2

?1

? 2x2

??a

x ? 0 为连续函数,则 a ? ___________。 x?0

7. 函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 1的单调递减区间是___________。

? 8. 设 sin x 是 f (x) 的一个原函数,则 xf ' (x)dx ? ___________。 x

? ? ? 9. 设

x
f (t)dt ?

1? x2

arctan x ? e?x2 ,则 f (x) ? ___________。

0

? 10.



??
0 x?

k

dx ? ? ,其中 k 为常数,则 k

? 4x ?5

? ___________。

11. 设 z ? e? sin2 ? xy?2 ,则 ?z ? ___________。 ?y

12. 微分方程 x dx ? y dy ? 0 的通解为___________。 1? y 1? x

? ? 13. 点 M0 1,2,3 到平面 x ? 2y ? z ? 2 ? 0 的距离 d ? ___________。

??
? ? ? ? 14. 幂级数
n?0

?1 n 4n

x ? 1 n 的收敛区间是___________(不含端点)。

15. 方程 y"?2y'?5y ? 0 的通解是______________________。

得分

评卷人

三. 解答题:本大题共 13 个小题,共 90 分,第 16 题~25 题每小题 6 分,第 26 题~第 28 题每小题 10

分,解答时应写出推理,演算步骤。

16.

求极限

? lim?

e

x

x?0? x

?

e

x

1 ?

? ? 1?



? ? 17. 设 y ? x2 ? 1?arctan x?2 ? x arctan x ? 1 ln 1 ? x2 ,求 dy 。

2

2

? ? 18.

求函数 y

?

x

?

3

2
x 3 在区间

?1,1

上的最大值与最小值。

2

? 19. 求不定积分 sin xdx 。

20. 设 z ? z(x, y) 由方程 x 2 ? 2 y 2 ? 3z2 ? xy ? z ? 9 确定,求 ?z , ?z 。 ?x ?y

?? 21.

若区域 D: x 2

?

y2

? 1,计算二重积分

D

1?

1 x2 ?

y2

dxdy 。

22. 求过三点 A(0,1,0),B(1,-1,0),C(1,2,1)的平面方程。

? 23.

判定级数

? n?1

? ???

3n 4n

?

??1?n
n

? ???

的收敛性。

24. 求方程 y"? y'?2 y ? x 2 的一个特解。

? ? 25. 证明:

a f (x 2 ? a 2 ) dx ?

a

a 2 dx

f (x ? )

1

x2 x 1

xx

? 26.



f (x) 为连续函数,且

f (x) ?

x3

? 3x

1
f (x)dx ,求

f (x) 。

0

27. 设抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过原点(0,0)且当 x ?[0,1]时, y ? 0 ,试确定 a、b、c 的值。使

得抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与直线 x ? 1, y ? 0 所围成图形的面积为 4 ,且使该图形绕 x 轴旋转而成的 9
旋转体的体积最小。

28. 求幂级数 x ? x 3 ? x5 ? x 7 ? …… 的和函数,并由此求级数1 ? 1 ? 1 ? 1 ? …… 的和。

357

357

西安电子科技大学 2013 上学期期末考试 经济数学(二)

【试题答案】

一.

1. C 2. C 正确

f (0 ? 0) ? lim 1 不存在。 x x?0?

例:

f

(x)

?

?0 ??cos

x

??

3.

a?

?

? b

?

c?

?

i 3

j 1

? ?

?

?

x

?

0
,则

f

(x)

在[??,? ]上非奇非偶,但

?

f (x)dx ? 0 。

0? x ??

??

? k ??? 4 ?i ? j?k

10 1

a? 0

?

a? ?

?

1

? i?

1

? j?

1

? k ,应选 C。

a3 3 3

4.

un

?

ln?n ? 1?
n?1

,un?1

?

ln?n ? 2?
n?2

?

lim
n??

un?1 un

n ? 1 ln?n ? 2?

?

lim n?? n ? 2

?

ln?n ? 1?

?1

故收敛区间是(-1,1),故选 B。

5. y' ? ? cos x ? c1,y ? ? sin x ? c1x ? c2 ,故选 A。
二.

6.

ex2 ? 1

x2

lim f (x) ? lim

? lim

? 1,?a? 1

x?0

x?0 2x 2

x?0 2x2 2

2

? ? 7. y' ? 6x2 ? 6x ? 12 ? 6 x2 ? x ? 2 ? 6?x ? 1??x ? 2?
当 ?2 ? x ? 1时, y' ? 0,故 y 单调递减,故单调区间是(-2,1)

8.

f

(x)

?

???

sin x

x

???

'

?

x cos x ? sin x x2

?

xf

' ( x)dx

?

xf

(x)

?

?

f

( x)dx

?

x cos x ? sin x

x

?

sin x x

?

c

?

cos x

?

2 sin x x

?

c

? ? 9.

f (x) ? 2x arctan x ? 1 ? x2

1 1? x2

? 2xe?x2

? 2x arctan x ? 2xe?x2

?1

? ? 10.

??
0 x2

k ? k lim
? 4x ? 5 b???

b
0 x2

dx ? k lim arctan(x ? 2) b

? 4x ? 5 b???

0

?

k

???

? 2

?

arctan 2???

?

k

?

?

???

? 2

?

arctan 2???

? ? ? ? 11. ?z ? e? sin2 ?xy?2 ? ?2 sin xy 2 ? cos(xy)2 ? 2x 2 y ? ?2x 2 y sin 2(xy)2 e? sin2 ?xy?2 ?y

? ? ? ? 12. 方程改写为 x2 ? x dx ? y2 ? y dy ,两边积分得:

1 x3 3

?

1 2

x2

?

1 3

y3

?

1 2

y2

? c1

? ? ? ? 即 2 x3 ? y3 ? 3 x2 ? y2 ? c (c ? 6c1)

? ? 13. 点 M0 x0,y0,z0 到平面 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 的距离公式为

d ? Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B2 ? C2

所求 d ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 5 6
12 ? 22 ? ??1?2 6

? ? ? ? 14.

? ? lim un?1 n?? un

? lim n??

?1 n?1 4 n ?1

?1 n 4n

? 1 ,收敛半径 R ? 1 ? 4

4

?

由 x ? 1 ? 4 得: ?3 ? x ? 5,故收敛区间是(-3,5)

15. 特征方程为: r 2 ? 2r ? 5 ? 0 ,特征根为 r1,2 ? 2 ?

4 ? 20 ? 1 ? 2i 2

通解为 y ? e x ?c1 cos2x ? c2 sin 2x?

三.

? ? ? ? 16.

解:

? lim?

e

x

x?0? x

?

e

1 x?

? ? 1?

ex ex ?1 ? x ? lim
x?0 x e x ? 1

? lim e2x x?0

? ex x2

?x

? lim 2e2x ? e x ? 1 ? lim 4e2x ? e x ? 3

x?0

2x

x?0

2

2

17.

解: y' ?

x?arctan x?2

?

x2 ?1

1

? 2 arctan x ?

2

1? x2

1 ? arctan x ?
1? x2

?

1 2x 2 1? x2

?

x?arctan

x?2

?

x ?1 1? x2

所以 dy

?

y' dx

?

? ??

x(arctan

x)2

?

x ?1 1? x2

???dx

1

18.

解:函数 y

?

x?

3

x

2 3



x

2

? 0处不可导, y' ? 1 ?

?1
x3

?

x3

?1 1 (x

?

0时 )

x3

令 y' ? 0 得驻点 x ? 1,求得 y(?1) ? ? 5 ,y(0) ? 0,y ? ? 1

2

2

于是 y 在[?1,1] 上的最大值为 y(0) ? 0 ,最小值为 y??1? ? ? 5
2

19. 解:令 x ? t,x ? t 2 , dx ? 2tdt ,于是

? sin xdx ? ? sin t ? 2tdt ? 2? t sin tdt ? ?2? t(cost)'dt

? ?2[t cost ? ? costdt] ? ?2[t cost ? sin t] ? c
还原
? 2 x cos x ? 2 sin x ? c 20. 解:令 F(x, y, z) ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z2 ? xy ? z ? 9 ,则

Fx ' ? 2x ? y,Fy ' ? 4 y ? x,Fz ' ? 6z ? 1

于是, ?z ? ? Fx ' ? ? 2x ? y ?x Fz ' 6z ? 1

?z ? ? Fy ' ? ? 4y ? x

?y Fz

6z ? 1

? ? 21. 解:D 用极坐标表示为 (r,?) 0 ? ? ? 2?,0 ? r ? 1

?? ? ? ? 1
D 1? x2 ? y2 dxdy ?

2?
d?
0

11 0 1? r2

rdr

?

2?

1 rdr 0 1? r2

? ? ? ? ?

1 d (1 ? r 2 ) 0 1? r2

?

?

ln

1?

r2

1
? ? ln 2
0

y x2+y2≤1

O

x

22.

解:AB ? ?1, ? 2,0?,AC ? ?1,1,1? ,平面法向量 n 同时垂直于AB和 AC ,

于是可令

???

i n? ? AB ? AC ? 1

j ?2

k 0

?

? ?2i ?

? j

? ? 3k

?

??2, ? 1,3?

11 1

平面方程为:

?2?x ? 0? ? ?y ? 1? ? 3?z ? 0? ? 0 ,即 ?2x ? y ? 3z ? 1 ? 0
C

A

B

? ? ? ? 23.

解:因为 ? 3n n?1 4 n

是公比 q

?

3 4

?
? 1的等比级数从而收敛,再考察级数
n?1

?1 n n

其中 un

?

??1?n
n

?

1 n

满足① un

?

1? n

1 n?1

?

un

?1

,②

lim
n??

un

?

lim
n??

1 ?0 n

? ? ? ? ? ? ?
由莱布尼兹判别法知
n?1

?1 n n

收敛,

?

级数

? n?1

? ???

3n 4n

?

?1 n

n

? ???

收敛。(两收敛级数之和收敛)

24. 解:特征方程为 r 2 ? r ? 2 ? 0,特征值 r1 ? ?2,r2 ? 1

f (x) ? x 2 ? x 2e0x ,这里? ? 0不是特征根,可设特解为:

? ? y* ? x0 ? e0x ? ax2 ? bx ? c ? ax2 ? bx ? c

y*' ? 2ax ? b,y*" ? 2a 代入原方程并整理得:

?2ax 2 ? ?2a ? 2b?x ? ?2a ? b ? 2c? ? x 2

解得: a ? ? 1 ,b ? ? 1 ,c ? ? 3

2

2

4

于是 y* ? ? 1 x2 ? 1 x ? 3 2 24

? ? ? 25.

解:

a 1

f (x2

a 2 dx ? x2 ) x

t ? x2

a2

a 2 dt 1 a2

a 2 dt

f (t ? ) ? f (t ? )

1

t 2t 2 1

tt

? ? 1 ? a

a 2 dt

?

2

? ?

1

f (t ?

t

)

t

?

a2 a

f

(t

?

a2 t

)

dt t

??…… ?

?

1

?

? ? ? 又

a2

a2

a2 dt t ?

f (t ? )

u

1 f (u ? a 2 )(? du ) ?

a f (u ? a 2 ) du

a

tt

a

uu1

uu

a ? a 2 ? dt

? ?1

f ?t ? ?

t

? ?

t

…… ? 2 ?

由<1>、<2>得:

? ? ? a f (x2 1

?

a2 x2

)

dx x

?

1? a

2

? ?

1

f (t ? a 2 ) dt tt

?

a 1

f

? ?t ?

?

a2 t

? ? ?

dt t

? ? ?

? ? ? a f (t ? a 2 ) dt ? a f (x ? a 2 ) dx

1

tt 1

xx

1
? 26. 解:令 A ? f (x)dx ,则 0

? f (x) ? x3 ? 3x

1
f

( x)dx

?

x3

?

3 Ax

0

1

? ? ? ? ?

1
f (x)dx ?
0

1 0

x3

? 3Ax

dx

?

???

1 4

x4

?

3 2

Ax 2 ???

0

?

1 4

?

3 2

A

即A? 1? 3A? A??1

42

2

于是 f (x) ? x3 ? 3 x 2

27. 解:因抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过原点(0,0),有 c ? 0 ? y ? ax 2 ? bx

依题意,如图所示阴影部分的面积为

? ? ? 1 0

ax 2

? bx

dx

?

???

1 3

ax

3

?

b 2

x 2 ???

1 0

?

1a 3

?

b 2

?

4 9

b? 8?2a 93 y

l

1

x

该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为

? ? V ? ? 1(ax 2 ? bx)2 dx ? ? 1(a 2 x 4 ? 2abx 3 ? b2 x 2 )dx

0

0

?

?

? ?

a

2

?

1 ab ?

1

b

2

? ?

?5 2 3 ?

? V (a)

?

?

? ?

a

2

?? 5

?

1 2

a???

8 9

?

2 3

a???

?

1 3

???

8 9

?

2 3

a???

2

? ? ??

?

?

???

2 135

a

2

?

4a 81

?

26443???

令V '(a)

?

?

???

4 135

a

?

841???

?

0 ,得驻点: a

?

?

5 3

b ? 8 ? 2 ? ?5 ? 18 ? 2 93 3 9
y

O1

x

由问题的几何意义可知,当 a ? ? 5 ,从而 b ? 2 时,旋转体的体积最小,于是所求曲线为 3
y ? ? 5 x2 ? 2x 3

28. 解:令 S(x) ? x ? x 3 ? x5 ? x 7 ? …… ,则 S(0) ? 0 且有 337

S'(x)

?

1?

x2

?

x4

?

x6

?

……

?

1 1? x2

? ? 又 S(x) ? S(0) ?

x
S'(t)dt ?
0

x 0

1 1? t2

dt

?

arctan

x

?S(x) ? arctan x

于是1 ? 1 ? 1 ? 1 ? …… ? arctan1 ? ?

357

4


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