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2016-2017学年高中数学人教A必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用 Word版含解析

2016-2017学年高中数学人教A必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用 Word版含解析

学业分层测评(十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.等差数列前 n 项和为 Sn,若 a3=4,S3=9,则 S5-a5=( A.14 【解析】 B.19 C.28 D.60 ) 在等差数列{an}中,a3=4,S3=3a2=9,∴a2=3,S5-a5=a1+ a2+a3+a4=2(a2+a3)=2×7=14. 【答案】 A 2.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值为确定的常数,则 下列各数中也是常数的是( A.S7 C.S13 【 解 析】 ) B.S8 D.S15 a2 + a4 + a15 = a1 + d + a1 + 3d + a1 + 14d = 3(a1 + 6d) = 3a7 = a1+a13 3 13?a1+a13? 3 3× 2 =13× =13S13. 2 于是可知 S13 是常数. 【答案】 C 3.已知等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最 小的项为( ) B.第 6 项 D.第 8 项 ? ?a1+11 ?S12=12a1+66d>0, 2 d>0, ? 由 得? ? ?S13=13a1+78d<0, ?a1+6d<0, A.第 5 项 C.第 7 项 【解析】 ?a7<0, 所以? d ?a6>-2, 故|a6|>|a7|. 【答案】 C 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于 ( ) A.63 C.36 【解析】 B.45 D.27 ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3, S9-S6 构成等差数列, 所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3), 即 S9-S6=2S6-3S3=2×36 -3×9=45. 【答案】 B ) 5.含 2n+1 项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( A. 2n+1 n n+1 B. n n+1 D. 2n n-1 C. n ?n+1??a1+a2n+1? 【解析】 ∵S 奇=a1+a3+…+a2n+1= ,S 偶=a2+a4+… 2 n?a2+a2n? S奇 n+1 +a2n= . 又 ∵ a = n .故选 B. 1+a2n+1=a2+a2n,∴ 2 S偶 【答案】 二、填空题 6.已知等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 S3=9,a4+a5+a6=7,则 S9-S6= 【解析】 . ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,而 S3=9,S6-S3=a4+a5+ B a6=7,∴S9-S6=5. 【答案】 5 . 7. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n, 第 k 项满足 5<ak<8, 则 k= 【解析】 ? ?S1,?n=1?, ∵an=? ? ?Sn-Sn-1,?n≥2?, ∴an=2n-10.由 5<2k-10<8, 得 7.5<k<9,∴k=8. 【答案】 8 时, 8.首项为正数的等差数列的前 n 项和为 Sn,且 S3=S8,当 n= Sn 取到最大值. 【解析】 ∵a1>0, ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0. 故当 n=5 或 6 时,Sn 最大. 【答案】 三、解答题 9.已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,数列{an}的前 n 项和取得最大值? 【解】 (1)由 a1=9,a4+a7=0, 5或6 ∵S3 = S8 , ∴S8 - S3 = a4 + a5 + a6+a7 +a8 = 5a6 = 0, ∴a6 = 0, 得 a1+3d+a1+6d=0,解得 d=-2, ∴an=a1+(n-1)· d=11-2n. (2)法一 a1=9,d=-2, n?n-1? Sn=9n+ 2 · (-2)=-n2+10n =-(n-5)2+25, ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值. 法二 由(1)知 a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列. 11 令 an≥0,则 11-2n≥0,解得 n≤ 2 . ∵n∈N*,∴n≤5 时,an>0,n≥6 时,an<0. ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值. 10.若等差数列{an}的首项 a1=13,d=-4,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn. 【解】 ∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n. 当 n≤4 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an n?n-1? n?n-1? =na1+ 2 d=13n+ 2 ×(-4) =15n-2n2; 当 n≥5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an) =S4-(Sn-S4)=2S4-Sn =2× ?13+1?×4 -(15n-2n2) 2 =2n2-15n+56. 2 ? ?15n-2n ,?n≤4?, ∴Tn=? 2 ? ?2n -15n+56,?n≥5?. [能力提升] 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则 n =( ) A.12 C.16 【解析】 B.14 D.18 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80, S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以 4(a1+an)=120,a1+an=30, n?a1+an? 由 Sn= =210,得 n=14. 2 【答案】 B 2.(2015· 海淀高二检测)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则 数列{an}的前 n 项和数值最大时,n 的值为( A.6 C.8 【解析】 B.7 D.9 因为 an+1-an=-3,所以数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差 ) 的等差数列,所以 an =

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