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高中数学选修2-2 第二章 导数(3)

高中数学选修2-2 第二章 导数(3)


高中数学选修 2-2 第一章 导数中不等式及导数应用(3)
六、导数中的不等式问题 1、 (1)对于 R 上可导的任意函数 f ( x),若满足(x ?1)f ?( x) ? 0, 则必有( A、 f (0)+f (2) ? 2 f (1) C、 f (0)+f (2) ? 2 f (1) B、 f (0)+f (2) ? 2 f (1) D、 f (0)+f (2) ? 2 f (1)



练习:设 f ( x)、g( x)在(a,b)上可导,且f ?( x) ? g ?( x), 则a ? x ? b时,有( A、 f ( x) ? g ( x) C、 f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) B、 f ( x) ? g ( x) D、 f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

)

(2) (2012 福建文)已知 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? abc , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 .现给出如

1 ) ? 0 ;③ f (0) f(3) ? 0 ;④ f (0) f(2) ? 0 .其中正确结论的 下结论:① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f(
序号是( ) A.①③
3

B.①④

C、②③

D.②④

练习: (2013 临沂二模文)已知 f ( x) ? x ?

9 2 x ? 6 x ? abc , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 .现 2

1 ) ? 0 ;③ f (0) f(2) ? 0 ;④ f (0) f(2) ? 0 .其中正确 给出如下结论:① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f(
结论的序号是( ) A.①③ B.①④ C、②③ D.②④

(3) (2011 辽宁理) 函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 , 对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 , 解不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 ( x ? ?1 ) 练习:已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ??, ??? , f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数,函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,
2 且 f (?2) ? 1 , f (3) ? 1 ,则不等式 f ( x -6) ? 1 的解集为(

)

A. ? 2,3? C. ? 2,3?

(- 3,- 2)

B. ? 2, 2

?

? ? ?
2, ??

D. ??, ? 2

?

?


(4)(2013 湖北理)已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则(

A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

1

1 1 f ( x ) ? 0, f ( x ) ? ? f ( x ) ? 0, f ( x ) ? ? 1 2 1 2 C. D、 2 2 1 x 1 练习:已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ? 的一个零点。若 x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则( 2 x
A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C、 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 2、证明不等式: ① B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ② e x ? 1 ? x( x ? 0) ④ ln x ? )
x



x ? ln(1 ? x), ( x ? 0) 1? x



ln x ? x ? e x ( x ? 0)

1 x2 ? ( x ? 1) 2 2

练习 1: 【2014 湖南文】若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x x

B. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1 D. x2e 1 ? x1e
x x2

C、 x2e 1 ? x1e
x

x2

练习 2: 【2012 辽宁理】若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是( A. e ? 1 ? x ? x
x 2



B.

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x
1 2 x 8

C、 cos x ? 1 ?

1 2 x 2

D. ln(1 ? x) ? x ?

1 x 2 +2 x ? a , x ? [1, ??) (Ⅰ)当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; 3、 (1)已知函数 f ( x)= 2 x
(Ⅱ)若对 ?x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数a的取值范围。 练习 1: (2007 山东)当 x ? (1, 2)时,不等式x +mx ? 4 ? 0恒成立,求m的范围。 ( (??, ?5] )
2 3 练习 2: (2014 下期末)已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2在x ? 2取得极值 ?14, (Ⅰ)若 a, b; (Ⅱ)若 f ( x) ? kx

在 x ? (0, 2]恒成立,求k 的取值范围。

2 ? 12 ? g ( x), x ? (0, 2] ? k ? ?9 ) x 3 2 3 (2) (2011 天津文)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? 1( x ? R ) ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 2
( a ? 1, b ? ?12; k ? x ?
2

在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ? ( 6 x ? y ? 9 ? 0;(?5,5) )
2

? 1 1? , 上, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

练习 1:(2013 全国文)已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1. (Ⅰ)求 a ? 2时,讨论f ( x)的单调性; ; (Ⅱ)若 x ??2, ???时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围 . ( (??, 2 ?1),( 2 ?1, ??) ?,( 2 ?1, 2 ?1) ?; f ( x)在(2,+?)? , f ( x) ? f (2) ? 0 ? a ? ?
3 2

5 ) 4

练习 2: 【2014 辽宁理】当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]

9 8

C、 [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

4、 (1)已知 f ( x) ? ax 3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极值 ?2 .(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的范围 ( f ( x) ? x3 ? 3x;(??, ?1),(1, ??) ?,(?1,1) ?; m ? 18 )

1 2 x ? 2 x ? 5, 当x ? ? ?1, 2?时,f ( x) ? m恒成立,求m的范围。 (m ? 7 ) 2 2 3 2 (2)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c在x ? ? 与x ? 1处取得极值, 求(Ⅰ) a , b 的值及函数 f ( x ) 的单 3
练习:设 f ( x) ? x ?
3

调区间; (Ⅱ)若对 x ???1,2? , 不等式f ( x) ? c 恒成立,求c的取值范围。
2

(a ? ?

1 2 2 , b ? ?2, (??, ? ), (1, ??) ?, (? ,1) ?; c ? (??, ?1) ? (2, ??) ) 2 3 3

练习 1:已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c在x ? 1与x ? 2处取得极值, (Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ)若对 x ??0,3? , 不等式f ( x) ? c 恒成立,求c的取值范围。
2

练习 2:已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a, x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点.(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; 3 2 2 (Ⅱ)若当 x ? [1, ??) 时, f ( x ) ? ? a 恒成立,求 a 的取值范围. 3
3 2

练 习 3 : 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3bx ? c 在 x ? 2 处 有 极 值 , 其 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 (Ⅰ) 求 a, b 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 当 x ? [1,3] 时, 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行。

f ( x) ? 1 ? 4c 2 恒成立,求实数 c 的取值范围
( ?1, 0;(??, 0), (2, ??) ?, (0, 2) ?;( ??, ? ) ? (1, ??) )
3 2 练习 4: 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c在x ? ?1与x ? 2 处都取得极值. (Ⅰ) 求 a, b 的值及函数 f ( x )

5 4

的单调区间;(Ⅱ)若对任意 x ? [?2,3], 不等式f ( x) ? (a ? ?

3 c ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围. 2

3 7 , b ? ?6;(??, ?1) ? ( , ??) ) 2 2
3

9 2 x ? 6 x ? a ,对 ?x ? R , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值 2 1 练习: 设 f ( x) ? 2 x3 ? ax2 ? bx ? 1 的导数为 f ?( x ) , 若函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称, 且 f ?(1) ? 0 . 2 1 (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若对于任意实数 x , f ?( x) ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 6 a 3 3 2 (2)已知函数 f ( x) ? x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a为实数。(Ⅰ)已知 f ( x ) 在 x ? 1处取得极值, 求 3 2
5、 (1) (2009 江西卷文)设 f ( x) ? x ?
3

(Ⅱ)已知不等式 f ?( x) ? x2 ? x ? a ? 1对任意a ? (0, ??)都成立, 求实数 x 的取值范围。 a; 练习 1: 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b(a ? 0)在区间??2,1? 上的最大值是 5, 最小值是 ?11 。 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ) t ???1,1?时,f ?( x)+tx ? 0恒成立,求实数x的取值范围。 练习 2: 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, g ( x) ? f ?( x) ? ax ? 5, 对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 值, 都有 g ( x) ? 0 , 求实数 x 的取值范围。 (3) 定义在 R 上的 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? 3 同时满足以下条件: ① f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数, 在 ?1, ?? ? 上是增函数;② f ?( x ) 是偶函数;③ f ( x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (Ⅰ)求函数

y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? 4ln x ? m ,若存在 x ? ?1, e? ,使 g ( x) ? f ?( x) ,求 m 的范围.
练习: (2011 江苏)已知 a , b 是实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx

f ?( x ) 和 g ?( x ) 是 f ( x), g ( x) 的

导函数, 若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立, 则称 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致, 设a ? 0, 若函数 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围。 6、 (1) (2011 全国Ⅰ文 21)设函数 f ( x) ? x(e ?1) ? ax (Ⅰ)若 a ?
x

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围
ax 练习 1: 【2012 湖南理】已知 f ( x ) = ? e ? x ,其中 a ? 0 .若对 ? x ? R , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值

( a ? 1)
x 练习 2: 【2012 湖南文】已知函数 f ( x) ? e ? ax( a ? 0 ).[~]若对一切 ? x ? R , f ( x ) ≥1 恒成立,求 a

( a ? 1) 练习 3: 设函数 f ( x) ?

1 2 x x ? e ? xe x , (Ⅰ) 求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若 x ? [?2, 2] 时, 若不等式 f ( x) ? m 2
(m ? 2?e )
2

恒成立,求实数 m 的取值范围.
4

(2) 【2008 山东理】设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

练习 1:已知 m ? R ,函数 f ( x) ? ( x2 ? mx ? m)e x , (Ⅰ)若函数没有零点,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? 0 时,求证: f ( x) ? x 2 ? x3 . 练习 2:(2013 辽宁理)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e?2 x ,求证: 1 ? x ? f ? x ? ? 【 (0, 4) 】

1 1? x

练习 3: 【2014 福建理】已知函数 f ?x ? ? e x ? ax( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点
2 x A 处的切线斜率为 ?1 .(I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x ? e

( 极小值为f (ln 2) ? 2 ? ln 4, 无极大值;g ( x) ? e x ? x2在R上 ?, g ( x) ? g (0) ? 0得证 ) 练习 4: 【2014 江苏】 已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数.(I)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (II)关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围 ( 偶函数;m(e x ? e? x ? 1) ? e? x ? 1, 令t ? e x ( x ? 0), m ?

1 , 基本不等式m ? ? ) 1 3 t ?1 ? ?1 t ?1

1

7、 (1) (2011 全国Ⅱ理)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 x?2

练习 1: (2011 浙江文)设函数 f ( x) ? a 2 ln x ? x2 ? ax , a ? 0 ①求 f ( x ) 的单调区间;②求所有实数的 a 使 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ??1, e? 恒成立.
2

(提示: f (1) ? e ? 1 )

练习 2: 【2012 山东文】 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平 ex

行.(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) , 其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明: 对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 练习 3: 【2012 山东理】已知函数 f ( x ) =

ln x ? k (k 为常数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x ex

2 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 为

f ( x) 的导函数,证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e ?2 。

(1; (0,1) ?,(1, ??) ? )

2a 2 ? x( a ? 0 ),(I)若曲线 y ? f ( x ) 在点(1, 练习 4: (2013 临沂一轮文)已知函数 f ( x ) ? ? a ln x ? x
5

f ( 1 ) )) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值;(Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性;(Ⅲ)当 a ? ( ??,0 ) 时,记函数 f ( x) 的最小值为 g (a) ,求证: g (a) ? ?e?4 .
( a ? 1或 ?

3 ; a ? 0, (0, 2a) ?, (2a, ??) ?; a ? 0, (0, ?a) ?, (?a, ??) ? ; a ? 0时,令g (a) ? 2

f ( x)min ? f (?a), g (a)求导,g (a)max ? g (?e?4 ) ? ?e?4 , 所以g(a) ? ?e?4 )
练习 5: (2012 临沂一轮)设 f ( x) ? xe x , g ( x) ? ax2 ? x , (Ⅰ)若 f ( x)与g( x) 具有完全相同的单调区间, 求 a 值; (Ⅱ)若当 x ?

1 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2

( a ? 2( e ?1) )

练习 6:设函数 f ( x) ? ln x ? ax ,若对任意 x ? 0, 都有f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。 练习 7: (2013 临沂三轮理)已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g ( x) ? xe1? x (a ? R, e 为自然对数的底 数) ( . Ⅰ) 若不等式 f ( x)>0 , 对一切 x ? (0, ) 时恒成立, 求 a 的最小值; (Ⅱ) 若对任意的 x0 ? (0,e], 在 (0, e] 上总存在两个不同的 xi (i ? 1,2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. (即 a>2 ?

1 2

2 ln x 1 在 (0, ) 内恒成立, a≥2 ? 4ln 2, ;函数 g ( x) 在(0,e)内的值域为(0,1],需满 x ?1 2 3 .) 足 f (e) ? 1 ,即 a ? 2 ? e ?1

(2) (2011 辽宁文)设函数 f ( x) ? x ? ax 2 ? b ln x ,曲线 y ? f ( x) 过 p(1, 0) ,且在 P 点处的切斜线率 为 2. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 2 x ? 2 练习 1: (2011 新课标文)已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x ln x x ? 2y ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? . x ?1

x2 ?1 2 ln x 1 x2 ?1 ( x ? 0) ,h?( x) ? ? (1,1; f ( x) ? 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? ? (2ln x ? ), 2 x x x ?1 1 ? x x

2 x2 ? ( x2 ? 1) ( x ? 1)2 ,以当 x ? 1 时, h?( x) ? 0, 而h(1) ? 0, 故 x ? (0,1) ? , x ? (1, ??) ? ) ? ? x2 x2
x ? ?1, 证明: 1? 练习 2: 已知 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , (Ⅰ) 求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ) 1 ? ln( x ? 1) ? x x ?1

练习 3: 【2012 辽宁理】设 f ( x) ? ln( x ?1) ? x ? 1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) ,曲线 y ? f ( x) 与直线

3 9x x 在(0,0)点相切。(Ⅰ)求 a , b 的值。 (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ? 。 2 x?6 ln x 练习 4:(2013 北京理)设 l 为曲线 C: y ? 在点(1,0)处的切线.①求 l 的方程;②证明:除切点(1,0) x y?
6

之外,曲线 C 在直线 l 的下方 ( y ? x ? 1; 需证?x ? 0且x ? 1时,x ? 1 ?

ln x , f ( x) ? x( x ? 1) ? ln x, (0,1) ?, (1, ??) ?, x

f ( x) ? f (1) ? 0 )
(3)已知 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x, (a ? R) ,①讨论 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数;②若函数 f ( x ) 在

x ? 1 取得极值,若 ?x ? (0, ??), 都有f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值服范围。
练习 1:已知函数 f ( x) ? x ln x 。 (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对任意正实数 x ,不等式

1 f ( x) ? kx ? 恒成立,求实数 k 的取值范围。 2
( (0, ) ?, ( , ??) ?; k ? ln x ?

1 e

1 e

1 ? k ? (??,1 ? ln 2) ) 2x

练习 2:已知函数 f ( x)=

1+ ln x k ( x ? 1) 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对 f ( x ) ? 恒成立,求实 x x ?1 ( x ? 1)(1 ? ln x) ? k ? 2) 数 k 的取值范围。 ( [1, ?? ?; k ? x

8、 (1)函数 f ( x) ? x3 ? 3x( x ? R), 若f (mx2 ) ? f (1 ? mx) ? 0 恒成立,求实数 m 的范围。 练习 1: ( 2010 天津文数)设 f ( x)=x ? 练习 2: 已知 f ( x) ?

1 ,对任意 ?x ?[1, ??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,求 m 的范围 x

1 3 ? 1? x ? 2x , 3] ,f (tx ? 2) ? f ( x) ? 0 , 对 ? t ?[?3, 则 x 的取值范围是___. ( ? ?1, ? ) 3 2? ?

(2)定义域为 R 的函数 f ( x)=

?2 x ? b 为奇函数, (Ⅰ)求 a , b ; 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对 ?t ? R, f (t 2 ? 2t )

? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
练习:定义在 (?1,1) 上的单调递增函数 f ( x)=

ax ? b 1 2 为奇函数,且 f ( ) ? , (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; 2 1? x 2 5

(Ⅱ)求满足 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 时的 t 的取值范围。 9、 (1) (2011 陕西文)设 f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

(Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系。
2 练习 1: (2011 辽宁理)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

1 x

7

(Ⅱ)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) a a a

练习 2:设 f ? x ? ? ex ? ax ?1。 (Ⅰ)若 f ? x ? 在 (??, 0] 上单调递减,在 [0, ??) 上单调递增,求实数 a 的 取值范围; (Ⅱ)设 g ? x ? ? ?x2 ? 2x ? 2 ,在(1)的条件下,求证: g ? x ? 的图像恒在 f ? x ? 图像 下方. 10、已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 a ? R.(Ⅰ)当 a ? 1 时, 求 f ( x ) 的单调性、极值; x 1 1 (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ? ; (提示: f ( x) min ? g ( x) max ? ) 2 2
(Ⅲ)是否存在实数 a 使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由[

练习 1:已知 f ? x ? ? x ? ax ? ln x , a ? R , (Ⅰ) 若函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,求实数 a 的取值
2

范围; (Ⅱ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] 时,函数 g ( x) 的最小值是 3 ,若存
2

7 ; a ? e2 ) 2 1 1 练习:已知f ( x)=ax ? ln x, x ? (0, e], a ? R ; (Ⅰ) 若函数y ? f ( x)的图像在点( , f ( )) 的切线方程为 e e
在, 求 a (Ⅲ) 当x ? (0, e]时,证明:e x ? ln x ?
2

ln x 5 ? x 2

(a ? ?

(Ⅱ)若a ? 1, 求f ( x)的极小值; (Ⅲ)是否存在实数a, 使f ( x)的最小值 y ? ?ex ? b, 求a, b ;

为3 。
11、 (1)已知函数 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? ? x ? ax ? 3 。 (Ⅰ)求函数 f ?x ? 在 ?t , t ? 2? (t>0)上的最小值;
2

(Ⅱ) 对一切 x ? ? 0, ??? ,2 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 求证: 对 ?x ? ? 0, ??? , 都有 x ln x > (① 0 ? t ?

x 2 ? . ex e

1 1 1 , min ? ? ; t ? , min ? t ln t ;②分离参数构造函数 a ? 4 ;③min>max) e e e
2

练习:已知 f ? x ? ? x ? ax ? ln x , a ? R , (Ⅰ) 若函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,求实数 a 的取值范 围; (Ⅱ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] 时,函数 g ( x) 的最小值是 3 ,若存在,
2

求a; (Ⅲ) 当x ? (0, e]时,证明:e x ?
2

5 ln x ? ln x ? 2 x

2 2 (2)设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? a x ,是否存在正实数 a ,使 f (x) ? g (x) 对一切正实数 x 都成立?

若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

8

练习 1:设 f ( x) ? ax ? 2, g ( x) ? a2 x2 ? 2 ? ln x, 其中a ? R, x ? 0 , (Ⅰ)若 a ? 2, 求y ? g ( x)在(1,g (1)) 点处的切线方程; (Ⅱ)是否存在负实数 a ,使 f ( x) ? g ( x) 对一切正实数 x 都成立?若存在, 求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。 练习 2:设 f (x) ?7 x 2 ?28 x ?a, g( x) ? 2 x 3? 4 x 2? 40 x , 当 x?? 3,3 ?

? 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立。求 a 范围。

12、 ?x1 ? D1 , ?x2 ? D2 , 若f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )min ? g ( x2 )max ; 若f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )max ? g ( x2 )min (1)已知函数 f ( x) ? x ?

a2 (a ? 0), g ( x) ? x ? ln x ,(Ⅰ)若 x ? 1 是函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值点, x
(a ?

求实数 a 的值;(Ⅱ) 对?x1, x2 ??1, e? , 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 求a的范围 练习 1:已知函数 f ( x) ?

e)

1 3 m mx ? (2 ? ) x 2 ? 4 x ? 1, g ( x) ? mx ? 5, 是否存在m ? 0.使得对?x1,x2 3 2 15 ? [2,3], 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 ,若存在,求出 m 的范围,若不存在,请说明理由。 ( [ ? , 0) ) 7
1 3 (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 设 g ( x) ? ? x 2 ? 2bx ? 4 , x? ?1 . 4 4x

练习 2: 已知函数 f ( x) ? ln x ?

若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 b 的取值范围. ( ? ?? ,

? ? ?

14 ? ?) 2 ?
2

x2 练习 2:已知定义在 [0, 2] 上的两个函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4(a ? 1), g ( x) ? , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最 x ?1
小值 m( a ) ; (Ⅱ)对任意的 x1 , x2 ?[0, 2], f ( x2 ) ? g ( x1 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围. ( a ? [1, 2), m(a) ? 4 ? a , a ?[2, ??), m(a) ? 8 ? 4a;[1,
2

2 6 )) 3

练习 3: 【2014 新课标卷Ⅰ理】设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x

y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .
( a ? 1, b ? 2; 原不等式等价x ln x ? xe
?x

2 1 1 ? , g ( x) ? x ln x, min ? g ( ) ? ? ; e e e

2 1 h( x) ? xe ? x ? , max ? h(1) ? ? ) e e
13、?x1 ? D1 , ?x2 ? D2 , 若f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )min ? g ( x2 )min ; 若f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )max ? g ( x2 )max
9

(1)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) , (Ⅰ)若 a ? 2, 求曲线y=f ( x)在x=1处的切线的斜率;(Ⅱ) 求 f ( x ) 的单调区间;③设 g ( x) ? x2 ? 2x ? 1, 若对?x1 ? (0, ??), 均存在x2 ??0,1? 使

f ( x1 ) ? g ( x2 ), 求a范围
( a ? 0, (0, ??) ?, a ? 0, (0, ? ) ?, ( ? 练习 1:已知函数 f ( x) ?

1 a

1 1 , ??) ?; f ( x1 ) max ? g ( x2 ) max 得a ? ? 2 ) a e

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) , (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 2

g ( x) ? x2 ? 2x, 若对?x1 ? (0, 2], 均存在x2 ? (0, 2] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 求a的取值范围。
练习 2: 【2010 山东理】已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 性; (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 .当 a ?
2

1? a 1 ? 1(a ? R) (Ⅰ)当 a ? 时,讨论 f ( x) 的单调 x 2

1 时,若对 ?x1 ? (0, 2), ?x2 ?[1, 2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 4

求实数 b 的取值范围。 练习 3: 已知向量 m ? (ex ,ln x ? k ) , ( k 为常数, , 曲线 y ? f ( x) m / /n e 是自然对数的底数) n ? (1, f ( x)) , 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x) ? xex f ?( x) . (Ⅰ)求 k 的值及 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ)已知函数 g ( x) ? ? x ? 2ax ( a 为正实数),若对于任意 x2 ?[0,1] ,总存在 x1 ? (0, ??) , 使
2

得 g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.

1 1 ] ?; 当 [ 2 , ?? ) ? ;g ( x)max ? F ( x)max , 当 0 ? a ? 1 时,g ( x)max ? g (a) ? a2 , 2 e e 1 1 ? a 2 ? 1 ? 2 ,从而 0 ? a ? 1 ,当 a ? 1 时, g ( x)max ? g (1) ? 2a ?1 , ? 2a ? 1 ? 1 ? 2 ,从 e e 1 1 而1 ? a ? 1 ? 2 0 ? a ? 1 ? 2 ) 2e 2e 1 3 14、 (1)已知 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) ,①求 f ( x) 的单调区间;②若 a ? 1, b ? 0 ,函数 g ( x) ? bx ? bx , 3
( k ? 1 ; 当 (0, 若对任意的 x1 ? (1,2) ,总存在 x2 ? (1,2) ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

( ? ?, ln 2 ? 3] ? [3 ? (提示:子集的关系) (
练习 1: 已知函数 f ? x ? ? ? ln

3 2

3 ln 2,?? ) ) 2

ex f ?(1) ? 1 2 2 ) ; (I) 求 f ?( (II) 设 a ? 1, 函数 g ? x ? ? x2 ? 3ax ? 2a2 ? 5 , ? x +3x . 2 2

1] ,总存在 x1 ? ? 2,+? ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x0 ? 成立,求 a 的取值范围. 若对于任意 x0 ? (0,

【 ? ;f ( x)的值域(??, 2) ? g ( x)的值域[2a ? 3a ? 4, 2a ? 5)得1 ? a ?
2 2

1 2

14 】 2

10

练习 2:设 f ( x) ?

2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0), 若对任意 x1 ?[0,1], 总存在x0 ?[0,1], 使得 g( x0 ) ? x ?1
( [ , 4] )

f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。
练习 3:已知函数 f ? x ? ? ln

5 2

ex (I)求 f ?(2) ; (II)设 a ? 1 ,函数 g ? x ? ? x2 ? 3ax ? 2a2 ? 5 ,若对 ? f ?(1) x . 2

于任意 x0 ? (0, 1) ,总存在 x1 ? ? 0,2? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x0 ? 成立,求 a 的取值范围. (2) 已知函数 f ?x ? ? ax ? ln x?a > 0 ?, g ? x ? ?

8x ?1 2? . I) ( 求证 f ?x ? ? 1 ? ln a;(II) 若对任意的 x1 ? ? , ? , x?2 ?2 3?

总存在唯一的 x2 ? ?

?1 ? ,使得 g ?x1 ? ? f ?x2 ? ,求实数 a 的取值范围. , e? (e 为自然对数的底数) 2 ?e ?

8 8 ? ? f ( e ) ? f ( e ) ? ? f (e) ? 2 ? ? 1 1 ? ? ?8 ? 5 5 2 ? ; ⅱ、 ? a ? e , ? 或? 1 (提示: g ( x) ? ? , 2 ? , ⅰ、 0 ? a ? 时, 8; ? 1 1 e e f ( ) ? ?5 ? ?f( )?2 ?f( )?2 ? 5 ? e2 ? ? ? e2 ? e2
ⅲ、 a ? e , 则f (e) ? 2, f (
2

1 8 13 ) ? 。综上得, 0?a? ) 2 e 5 5e

15 、 已 知 函 数 g ? x ? ?

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? a ? 0 ? . ( I ) 求 函 数 g ? x ? 的 单 调 区 间 ; ( II ) 若 函 数 ln x

2 (III)若 ?x1 , x2 ? ? f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值; ? e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a

成立,求实数 a 的取值范围.

1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, a ≥ 1 ;③等价 (① (0,1),(1,e) ? , (e, ??) ? ;②当 f ?( x) ? ln x ?2 4 (ln x)
“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 问题等价于:“当 x ? [e, e 2 ] 时,有

f ( x)min ? 1 ”. 分 a ? 1 ,0< a ? 1 讨论, a ? 1 ? 1 2 ) 2 4e 4 4 4
x 2 16、 (1) (2013 临沂一轮文)设 f ( x ) ? e ( ax ? x ? 1 ) .(I)若 a ? 0 ,讨论 f ( x ) 的单调性;

? ]时, | f (cos ? ) ? f (sin ? )|? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 a ? , (??, ?2), (? , ??) ?, (?2, ? ) ? ; ( a ? , R ?;0 ? a ? , (??, ? ), (?2, ??) ?, (? , ?2) ? , 2 2 a a 2 a a
(Ⅱ) x ? 1 时, f ( x ) 有极值,证明:当 ? ∈[0,

f ( x )在[ ? 2,1]上递增, sin? ,cos ? ??0,1? ,| f (cos ? ) ? f (sin? )|? f ( 1) ? f ( 0 ) ? e ?1 ? 2 )
x 2 练习: (2009 辽宁文)设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行。

11

(Ⅰ) 求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)证明:当 ? ? [0,

?
2

]时, f ( cos ? ) ? f (sin? ) ? 2

( (??, ?2) , (1, ??) ? ,在 (?2,1) ? ; | f (cos ? ) ? f (sin? )|? f ( 1 ) ? f ( 0 ) ? e ? 1 ? 2 ) (2)已知函数 g ( x) ? (2 ? a) ln x , h( x) ? ln x ? ax2 ( a ? R ) ,令 f ( x) ? g ( x) ? h?( x) .(Ⅰ)当 a ? 0 时, 求 f ( x ) 的 极 值 ; ( Ⅱ ) 当 a ? 0 时 , 求 f ( x ) 的 单 调 区 间 ; ( Ⅲ ) 当 ? 3 ? a ? ?2 时 , 若 对 存 在

?1 , ?2 ?[1,3] ,使得 | f (?1 ) ? f (?2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 恒成立,求 m 的取值范围.
( f ( x ) 的极小值 2 ? 2 ln 2 ,无极大值; ?2 ? a ? 0时, (0, ), (?

1 2

1 1 1 , ??) ?, ( , ? ) ?; a ? ?2, a 2 a

1 1 1 1 (0, ??) ?; a ? ?2时, (0, ? ), ( , ??) ?, (? , ) ? ; ?3 ? a ? ?2, f ( x)在[1,3]? , a 2 a 2 2 | f (?1 ) ? f (?2 ) |max ? f ( x)max ? f ( x)min ? f (1) ? f (3) ? ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 ? (m ? ln 3)a 3 2a 38 ?2 ln 3 ,得 m ? ? 4, a ? (?3, ?2)得m ? ? 3 9
练习 1:已知 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ? b(a, b ? R, a ? 1) 。 (Ⅰ)试判断 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性; (Ⅱ) 当 a ? e , b ? 4 时,求整数 K 的值,使得函数 f ( x ) 在区间 (k , k ? 1) 上存在零点; (Ⅲ)若存在

x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 ,试求 a 的取值范围。
(① (0, ??) ? ;② k ? 1或k ? ?2 ;③等价于 | f ( x)max ? f ( x)min |? f ( x)max ? f ( x)min ? e ?1 ,

1 f ( x)min ? 1 ? b; f ( x)max ? max ? f (?1), f (1)?, f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2 ln a ? 0 (求导, a

求最值a ? 1) , f (1) ? f (0) ? e ?1, a ? ln a ? e ? ln e, h(a) ? a ? ln a(a ? 1) ?, 得a ? e )
练习 2:已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x,(a, b ? R), 在点(1, f (1))处的切线方程为y ? 2 ? 0.(Ⅰ)求函数
3 2

f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对应区间 [?2, 2] 上任意两个自变量 x1 , x2都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c, 求实数c的 最小值。
1 2
( a ? 1, c ? 0;4 )

2 17、已知 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x (a ? R ) , (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值; (Ⅱ)若在

x ? (1, ??) 上 f ( x) ? 2ax 恒成立,求 a 的取值范围。
练习 1:已知 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) , (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若在 x ? (0, ??) 上 ln x ? ax 恒成 立,求 a 的取值范围。
2 练习 2: 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ( a 为实常数).(Ⅰ) 若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;

12

( Ⅱ ) 求 函 数 f ( x ) 在 [1, e] 上 的 最 小 值 及 相 应 的 x 值 ; ( Ⅲ ) 若 存 在 x ? [1, e ], 使 得

f ( x ) ? (a ? 2 ) x 成立,求实数 a 的取值范围。
【 ( Ⅱ ) 若 a ? ?2 , [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . 若 ? 2e 2 ? a ? ?2 , [ f ( x)] min ? f (

?a a a a ) ? ln(? ) ? 2 2 2 2



a ? ?2e 2 , [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 . ( Ⅲ ) a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x , 因 而 a ?
g ( x) ? x 2 ? 2x ( x ?[1, e] ) , g ?( x) ? 0 , a ? [?1,??) 】 x ? ln x

x 2 ? 2x ( x ?[1, e] ) 令 x ? ln x

11、 (1)已知 f ( x ) ? ln x ?

1? x ,其中 a 为大于零的常数。 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 [1,??) 内单调递增, ax
?

求 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值; (Ⅲ)求证:对于任意的 n ? N ,

1 1 1 ? ? ?? ? 成立。 2 3 n 1 1 1 1 1 ( [1,??) ; ;①当 0 ? a ? 时, f ( x ) min ? ln 2 ? ;②当 ? a ? 1 时, f ( x) min ? ln ? 1 ? . 2 2a 2 a a 1 ? ?) 上 为 增 函 数 , 当 n ? 1 时 , ③ 当 a ? 1 时 , f ( x) m i n? 0 ; ; f ( x) ? ? 1 ? ln x 在 [1, x n n 1 ? ? ? 1,? f ( ) ? f (1) , 即 ln n ? l nn(? 1) ? , 对 于 n? N , 且 n ?1 恒 成 立 n ?1 n ?1 n
且 n ? 1 时,都有 ln n ?

ln n ? [ln n ? ln(n ? 1)] ? [ln(n ? 1) ? ln(n ? 2)] ? ? ? [ln 3 ? ln 2] ? [ln 2 ? ln1] ) 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? . n n ?1 3 2
练习 1: (2012 临沂一轮)已知函数 f ( x) ? 1 ?

a ? ln( x ? 1), (a为实常数), (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在区间 x ?1 1 2 * (Ⅱ)已知 n ? N ,求证: ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ?1,1? 内无极值,求实数 a 的取值范围; 2 3 ? n ) n ?1

( (??,0] ? [2, ??) ;提示:数学归纳法或累加法 a ? 2, f ( x)在? ?1,1? ?, f ( x) ? f (1) ? 0,

ln( x ? 1) ? 1 ?

2 1 1 1 , 令x ? 1, , ......... 累加 ) x ?1 2 3 n
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

练习 2:已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1(k ? R) ,

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: ( n ? N , n >1).

ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) ? ?…? < 3 4 n ?1 4

13

(① k ? 0, (1, ??) ?, k ? 0, (1 ? ) ?, (1 ?

1 k

1 , ??) ? ;②分离参数 k ? 1 ;③ k ? 1时,在?1, ??? 上 k

f ( x) ? 0,且f ( x)在[2, ??) ?, f (2) ? 0, x ? (2, ??), f ( x) ? 0, 即ln( x ?1) ? x ? 2, 令x ? 1 ? k 2 ,
则 ln k 2 ? k 2 ? 1,即2 ln k ? (k ? 1)(k ? 1)得
练习 3:已知 f ( x) ? x ?

ln k k ? 1 ? , 令k ? 2,3, 4??n, 累加得证) k ?1 2

a * ? ln( x ? 1), a为是常数 , (Ⅰ)求实数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 n ? N , x ?1 1 1 ???? 2 n 1 1 ,( ?1, x1),( x2, ??) ?,( x1, x2) ?; a ? , (?1, ??) ? ; 4 4

求证: ln(n ? 1) ? 1 ?

(当 a ? 0,( ?1, x2 ) ?,( x2, ??) ?;0 ? a ?

a ? 0, ln( x ? 1) ? x, 令x ?
练习 4: 【2014 陕西理】设

1 , n式累加得证。 ) n

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.(I)

(II)若 f ( x) ? ag ( x) 恒成立, g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( gn ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式; 求实数 a 的取值范围; (III)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ? 证明. ( g n ( x) ?
x ax (数学归纳法证明);? ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? 0), a ? 1时,导数>0,? ( x) ?, ? ( x) ? ? (0) ? 0 1 ? nx 1? x

? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以

a ? 1时,? ( x)在(0, a ?1] ?, ? (a ?1) ? ? (0) ? 0, 综上,a ? (??,1] ,不等式等价于
1 1 1 x 1 n ?1 ? ? ....... ? ? ln(n ? 1), 在(2)中取a=1得 ln(1 ? x) ? , 令x ? , ln ? ln(n ? 1) 2 3 n ?1 1? x n n 1 ? ln n ? ,由累加法可证得结论) n ?1
n 练习 5: 【2012 湖北文】 设 f ( x) ? ax (1 ? x) ? b( x ? 0) , n 为正整数,a , b 为常数, 曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1))

处的切线方程为 x ? y ? 1 . (Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅲ) 证明: f ( x ) ? ( (a ? 1, b ? 0;(0,

1 . ne

n n n 1 ) ?, ( , ??) ?, max ? f ( ); p (t ) ? ln t ? 1 ? (t ? 0) n ?1 n ?1 n ?1 t 1 1 p(t ) min ? p(1) ? 0 ? ln t ? 1 ? (t ? 1), 令t ? 1 ? 及结合第二问可证) t n ln x ln x 练习 6:已知 f ( x) ? kx, g ( x) ? 。 (Ⅰ)求 g ( x) ? 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区 x x ln 2 ln 3 ln n 1 间 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)求证: 4 ? 4 ???? 4 ? 2 3 n 2e 1 ln x 1 ln x 1 1 得 4 ? ? 2 ( x ? 2) (① (0, e) ?,(e, ??) ? ;②分离参数 k ? max ? ;③ 2 ? 2e x 2e x 2e x
14

令 x ? 2,3, 4??n ,然后将各式累加,放缩裂项求和得证。 ) 18、设函数 f ( x) ? b ln(x ? 1) ? x 2 , (Ⅰ)若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若 b ? ?1 ,证明对任意正整数 n ,不等式 (提示:证明在 x ? ? 0, ??? 上 f ( x) ? x3 ) 练习: (2007 山东)设 f ( x) ? b ln(x ? 1) ? x 2 , (Ⅰ) 当b ?
* ln(1 ? ) ? (Ⅱ) ?x ? N 证明:

? f ( k )<1 ? 2
k ?1

n

1

1
3

?

1 1 ? ...... ? 33 n3

都成立

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2

1 n

1 1 ? n 2 n3

19、构造函数问题 (Ⅰ) (1) (2012 浙江理)设 a ? 0, b ? 0 ,则( A、若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b ) B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b )
b

练习: 【2012 浙江文】设 a ? 0, b ? 0 ,e 是自然对数的底数,则(
a b A、 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b a b C. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b a

B. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b D. 若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b
a b

(2)①已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , ( (?1, 0) ? (1, ??) ) 练习 1: 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (2) ? 0 , 的解集为( ) A. (?2,0) ? (2, ??) B、 (??, ?2) ? (0, 2)

xf ?( x ) ? f ( x) ? 0 ( x ? 0) ,解不等式 f ( x) ? 0 x2

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ( x ? 0) ,则不等式 x2 ? f ( x) ? 0 x2

C. (?2, 0) ? (0, 2)

D. (??, ?2) ? (2, ??)

练习 2:定义在 (0, ??) 上的可导函数 f ( x ) 满足 xf ?( x) ? f ( x)且f (2)=0,解不等式xf ( x) ? 0 ②若函数 y ? f ( x)在R上可导,且满足不等xf '( x) ? ? f ( x)恒成立, 且常数a, b 满足

a ? b, 则下列不等式一定成立的是 (
A. af (b) ? bf (a ) B、 af (a ) ? bf (b)
15

) C. af (a ) ? bf (b) D. af (b) ? bf (a )

练习:设 f ( x)、g( x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x ? 0时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0

且g (?3) ? 0, 求不等式f ( x) g ( x) ? 0的解集。

( (??, ?3) ? (0,3) )

(Ⅱ) (1)已知 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x ,①当 a ? 1 时,求 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;当

a ? 1 时, 若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 ?2 , 求 a 的取值范围; ③若对 ?x1 , x2 ? (0, ??), f ( x1 ) ? 2 x1

? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值范围.
练习 1 :已知函数 f ( x) ?

(构造函数)

1 3 x ? 5 x ? 4, (Ⅰ)求函数的图像在点 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)求证:对 3

?x1, x2 ? (?2, 2)且x1 ? x2 , 恒有f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2
( 12x ? 3 y ?10 ? 0; g ( x) ? f ( x) ? x,(?2, 2) ?; g( x1) ? g( x2 ) ) 练 习 2 : 设 函 数 f ( x) ? xe . ① 求 f ( x) 的 单 调 区 间 与 极 值 ; ② 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的
x

x1、x2 ? (a,??) ,当 x1 ? x2 时,恒有
不存在,请说明理由. ( 极小值f (?1) ? ?

f ( x2 ) ? f (a) f ( x1 ) ? f (a) 成立.若存在,求 a 的范围,若 ? x2 ? a x1 ? a

1 f ( x) ? f (a) g ( x) ? ; 单调递增, g?( x) ? 0,即分子h( x)=x2ex ? axex ?ae x ? aea x?a e

? 0, h?( x) ? ( x ? 2)( x ? a)e x , 分a ? ?2, a ? ?2 讨论,得 [?2, ??) )
练习 3:已知 x, y ? R, 且2 ? 3 ? 2
x y ?y

? 3? x ,那么( )
C. xy ? 0 D、 x ? y ? 0

A. x ? y ? 0

B. xy ? 0
2

(2)已知 f ( x) ? ln x ? ax ? bx ,①若 a ? ?1,函数f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围;②当

a ? 1, b ? ?1 时,证明函数 f ( x) 只有一个零点;③ f ( x) 的图像与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)两点,

AB中点为C( x0 ,0), 求证:f ?( x0 ) ? 0
(提示: ( 当x ?

1 1 1 1 时,f ( x) min ? (1n ? 1) ? ? ; 当 a ? 0 时,在 (0, ??) ? ,当 a ? 0 时, e2 e2 e2 e2
; 要 证 x1 ?

(0, ?

1 1 ) ?, ( ? , ??) ? 2a 2a

1 x 2 ? x1 ? x 2 , 即 证 x1 ? ? x2 , 等 价 于 证 k 1nx 2 ? 1nx1

x2 ?1 t ?1 x2 x2 ? t ,由 t>1,知 1nt>0,等价于证明 1nt<t-1< t ln t , 1 ? x1 ? 令t ? ,则只须证 1 ? x 2 x1 1nt x 1 1n x1
16

(t>0),构造两函数分段证明即可。 ) 练习 1: (2014 临沂一轮理)已知函数 f ( x) ? ln x . ( I)若直线 y ? x ? m 与函数 f ( x ) 的图像相切,求实数 m 的值;(Ⅱ)证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ? 与

1 f (b ) ? f ( a ) 有唯一公共点; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , 比较 x b?a

2 的大小,并说明理由. a?b

b ln 1 f (b) ? f (a) 2 b ? a ? 0, (提示:m ? ?1; h( x) ? f ( x) ? ( x ? ), h?( x) ? 0, h(1) ? 0; 比较 , ? a与 x b?a b?a a ?b b 2( ? 1) 2( x ? 1) b 2(b ? a) b ( x ? 1) , g ?( x) ? 0,(1, ??) ?; ,构造函数 g ( x) ? ln x ? ln ? ? ln ? a b x ?1 a b?a a ?1 a
g (1) ? 0, g ( x) ? 0 )
练习 2: (2014 临沂一轮文) 已知函数 f ( x) ? ln x ,( I)若直线 y ? x ? m 与函数 f ( x ) 的图象相切,求实 数 m 的值; ( Ⅱ ) 证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ?

f (b) ? f ( a ) b ? a 与 的大小,并说明理由。 2 b?a b ?1 b 1 x ?1 f (b) ? f (a) b ? a 1 b a ( x ? 1) , ? 1 , 构 造 函 数 g ( x) ? ln x ? ( , ? ? ln ? b 2 x ?1 a 2 b?a 2 a ?1 a

1 有唯一的公共点; ( Ⅲ ) 设 0 ? a ? b ,比较 x

g ?( x) ? 0,(1, ??) ?; g (1) ? 0, g ( x) ? 0 )
练习 3: (2013 陕西文) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? 的大小, 并说明理由. (y = x+ 1; 令h( x) ? f ( x) ?

1 2 f (b) ? f (a) ?a?b? x ? x ? 1 有唯一公共点. (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? ?与 2 b?a ? 2 ?

1 2 1 x ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, , h' ' (0) ? 0
当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减 ;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增 ? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一 个零点x ? 0 即证
(Ⅲ)设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ? ? ?e 2 b?a 2 ? (b ? a)
x x x

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e ? 1 ? ( x ? 1) ? e ,
17

g ''( x) ? (1 ? x ?1) ? ex ? x ? ex ? 0, g '( x)在(0, ? ?) ? , g '(0) ? 0, g '( x) ? 0,g ( x)在 (0, ??)上 ?, 而g (0) ? 0, 所以在(0,??)上g ( x) ? 0
练习 4: 【2014 陕西文】 设函数

当x ? 0,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? ex ? 0 )

f ( x) ? ln x ?

m . 当m?e ( e 为自然对数的底数) 时, 求 f ( x) , m ? R(Ⅰ) x g ( x) ? f '( x) ? x 零 点 的 个 数 ;( Ⅲ ) 若 对 任 意 3

的 最 小 值 ;( Ⅱ ) 讨 论 函 数

b ? a ? 0,

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

( (0, e) ?, (e, ??) ?, min ? f (e) ? 2; g ( x) ? f ?( x) ? 0 ? m ? ?

1 3 x ? x ? ? ( x) , 求 导 , 3 2 2 2 2 ? ( x), (0,1) ?, (1, ??) ?, max ? ? (1) ? , ? (0) ? 0, 得m ? , g ( x)无零点 , m ? ,1个; 0 ? m ? , 2个, 3 3 3 3 1 m ? 0,1个; ? f (b) ? b ? f (a) ? a, 令h( x) ? f ( x) ? x ? h?( x) ? 0得m ? ? x 2 ? x ? ) 4

七、函数中的导中导问题 1、已知 f ( x) ? ln x ? 值为

a , ( a ? R )①判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; ②若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小 x

3 2 ,求 a 的值。③若 f ( x) ? x 在( 1, ?? )上恒成立,求 a 范围. 2

( a ? 0,(0, ??) ?, a ? 0,(0, ?a) ?,(?a, ??) ?; a ? ? e; a ? ?1) 练习:(2013 辽宁文)(Ⅰ)证明:当 x ? ? 0,1?时,

2 x ? sin x ? x; (Ⅱ)若不等式 2

ax ? x 2 ?

x3 ? 2 ? x ? 2 ? cosx ? 4对x ? ?0,1? 恒成立,求实数a的 取值范围. 2

2、函数中的导中导问题及数形结合的应用 (1) (2012 山东理)已知函数 f ( x ) =

ln x ? k (k 为常数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴 ex

平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
2 ?2 (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x ) 的导函数,证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e 。

(① k ? 1 ;②利用函数的导中导,取值为 0 的数, (0,1) ?,(1, ??) ? ;③等价于证明

h( x) ? 1 ? x ? x ln x ?

ex (1 ? e?2 ) ,而 h( x)max ? 1 ? e?2 ,只需证明 x ?1
18

ex ex ? 1(构造? ( x)=e x ? ( x ? 1)) 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? (1 ? e ?2 ) 得证) x ?1 x ?1
练习 1:已知函数 f ? x ? ? ln x ? x, g ? x ? ?

a ? x ? 1? a ? 0 ? .(I)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0, e? 上 x

的最小值; (II)对于正实数 m ,方程 2mf ? x ? ? x2 有唯一实数根,求 m 的值.

x2 1 ?m? ) ( 2m ? ln x ? x 2
练习 2: (2013 陕西文)已知 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f ( x ) 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? ( y ? x ? 1 ;当 m ? (0, 个。 令h( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2

e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ? ?) ,有 1 个公共点;当 m ? 有2 4 4 4

1 2 1 x ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 h '( x) ? e x ? x ?1, h ''( x) ? e x ?1, 且 2 2

h(0) ? 0,h '(0) ? 0, , h ''(0) ? 0 当x ? 0时h ''( x) ? 0 ? y ? h '( x) ?

? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一 个零点x ? 0 )
x ?1 练习 3: (2012 新课标) f ( x ) 满足 f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ( f ( x) ? e ? x ?

1 2 x ,求 f ( x) 的解析式及单调区间 2

1 2 x ; (0, ??) ↑) 2

x 练习 4: (2010 安徽)设 a 为实数,函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a( x ? R) ,①求 f ( x ) 的单调区间和极值;

②求证:当 a ? ln 2 ? 1且x ? 0时,e ? x ? 2ax ? 1
x 2

练习 5: 【2012 辽宁文】设 f ( x) ? ln x ? x ?1,证明:当 x ? 1 时, f ( x) ?

3 ( x ? 1) 2

八、导数的实际应用 1、面积之最问题 (1) 把一条长为 60cm 的铁丝围成矩形, 问长和宽各为多少时, 矩形面积最大? ( x ? y ? 15, Smax ? 225 ) 练习 1:(课本)一条长为 100cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝的长度分别是多少? ( 50,50, Smax ? 625 )

练习 2:一条长为 100cm 的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截取才能使正方形和圆

19

的面积之和最小? 练习 3: (课本)用铁丝围成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为 a ,为使用料最省,底与宽应 ( 2r ? 2

为多少?

2a 2a ) ,h ? ? ?4 ? ?4

练习 4: (课本)过点 P(1,1) 作直线 AB, 分别与x正半轴,y正半轴交于点A, B,当AB在什么

位置时,?AOB 的面积最小?最小面积是多少?
(2)做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,它的高为多少时材料最省? (4)

练习 1:做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27? ,且用料最省,求圆柱的底面半径。 练习 2: (课本)圆柱形金属饮料罐容积 V 一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省? A.h= 2R B.h=R C.h= 2R D、h=2R

(3) (课本)已知一个扇形的周长为 l ,当扇形的半径和中心角分别为多少时,扇形的面积最大? 练习: (课本)用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形, 制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角 ? 多大时,容器的容积最大? (4)已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x 在 x 轴上方的曲线上,则这种矩 形中面积最大者的边长为 (
2

4 3 8 , ) 3 3

2、体积之最问题 (1)有一边长为 60cm 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方 盒。(Ⅰ)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数; (Ⅱ) x 多大时,方盒的容积 V 最大? 练习 1:有一矩形铁皮的长为 8cm ,宽为 5cm ,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后将四边翻转

90 0 制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

(1)

练习 2: (课本)有一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个 无盖方盒,为使方盒的容积最大,则 x 的值是( A. ) D、

a 3

B.

a 4

C.

a 5
20

a 6

练习 3: (2011 江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正 好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB= xcm .(1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值?(2)若广告商 要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
3 2

D

C

A

x

E

F x

B

练习 3: (2011 江西文)如图,在 ?ABC中,?B =

?
2

,AB ? BC ? 2 P为AB边上一动点,PD||BC

交 AC 于 点 D,现将 ?PDA沿PD翻折至?PDA? ,使平面 PDA? ? 平面PBCD ,当棱锥 A? ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;
0 练习 4: 【2012 湖北理 19】如图 1, ?ACB ? 45 , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上

且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90 (如图 2 所示) . (Ⅰ)当 BD 的长
0

为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别 为棱 BC , AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角 A 的大小. A M D B

B

D 图1

C

. · E

C

图2

练习 5: (2011 山东理 21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为 圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
21

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的 3

建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造 费用为 c(c ? 3) .设该容器的建造费用为 y 千元.(Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式, 求该函数的定义域(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 练习 6: (2013 重庆文)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度) . 设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米, 底面 的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. ( V (r ) ? ? r h ?
2

?
5

(300r ? 4r 3 ), r ? (0,5 3) ; (0,5) ?,(5,5 3) ? , r ? 5, h ? 8 )

练习 7:周长为 20 厘米的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,求圆柱的最大体积。 练习 8:用半径为 6cm 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角 ? 多 大时,容器的容积最大. 练习 9: (课本)用总长 14.8 米的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一边的长比另一边长 多 0.5 米,那么高为多少时容器的容积最大?最大容积是多少?

3、利润最大问题 (1)例 1:某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价为每天 180 元时,房间会全部住满,房间单 价每增加 10 元, 就会有一个房间空闲。 如果游客居住房间, 宾馆每间每天花费 20 元的各种维护费用。 问房间定价多少时,宾馆利润最大? 例 2: (课本)某旅行社在暑期期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元,如 果团体的人数超过 100 人,那么每超 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人,如 何组团,可使旅行社的收费最多? (150;112500)

练习 1:某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以增加,且每 星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ? x ? 30 )的平方成正比,已知商品单价
22

降低 2 元时,一星期可卖出 24 件。①将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数;②如何定价才能 使一个星期的商品销售利润最大? 练习 2: 某公司在甲、 乙两地销售一种品牌产品, 利润 (单位: 万元) 分别为 L1 ? 5.06x ? 0.15x 2 和 L2 ? 2 x , 其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606 B、 45.6 C.45.56 D.45.51

练习 3: (2010 山东文数)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关 系式为 y ? ? (A)13 万件

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) 3
(B)11 万件 (C) 9 万件。 (D)7 万件

练习 4:在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量 p 是网箱个数 x 的一次函数,即

p( x) ? kx ? b(k ? 0) .如果放置 4 个网箱,则每个网箱的产量为 16 吨;如果放置 7 个网箱,则 每
个网箱的产量为 10 吨.由于该水域面积限制,最多只能放置 10 个网箱. (Ⅰ)求 p ( x) ,并说明放 置多少个网箱时,总产量 Q 达到最高,最高为多少?(Ⅱ)若鱼的市场价为

1 万元 / 吨,养殖的总 4

成本为 5ln x ? 1 万元,则应放置多少个网箱才能使总收益 y 最高?(注:不必求出 y 的最大值) 练习 5:已知一家公司生产某种品牌服装的每年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元。设 该 公 司 一 年 内 生 产 该 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R? x ? 万 元 , 且

1 ? 10.8 ? x3 , 0 ? x ? 10 ? ? 30 R ? x? ? ? ,(Ⅰ)求年利润 W(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; ?108 ? 1000 , x ? 10 ? 3x 2 ? x
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。 (注:年利润一年销售收入一年总成本) (9,38.6) 练习 6: (课本)已知某养猪场每年的固定成本是 20000 元,每年最大规模的养殖量为 400 头,每养 1 头猪, 成本增加 100 元,如果收入函数是 R(q ) ? ? 总利润最大,最大利润是多少?

1 2 q ? 400q (q是猪的数量) ,问每年养多少头猪可使 2

23

(2) (2011 福建理)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克),满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价格为 x?3
(Ⅱ) 若该商品的成品为 3 元/千克,

5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克.(Ⅰ) 求 a 的值;

试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 练习 1:时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网 校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式

y?

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出套题 21 千 x?2

套.(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出 的套数) ,试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数 3.3) 练习 2: 某厂家拟对一商品举行促销活动, 当该商品的售价为 x 元时, 全年的促销费用为 12(15 ? 2 x)( x ? 4) 万元; 根据以往的销售经验, 实施促销后的年销售量 t ? 12( x ? 8) ?
2

a 万件, 其中 4 ? x ? 7.5, a x?4

为常数.当该商品的售价为 6 元时,年销售量为 49 万件.(Ⅰ)求出 a 的值; (Ⅱ)若每件该商品的 成本为 4 元时,写出厂家销售该商品的年利润 y 万元与售价 x 元之间的关系; (Ⅲ)当该商品售价 为多少元时,使厂家销售该商品所获年利润最大. (2;5,50)

练习 3:某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a(3 ? a ? 5) 元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9 ? x ? 11) 元时,一年的销售量为 (12 ? x) 万件。
2

(Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). ( L( x) ? ( x ? a ? 3)(12 ? x) ; a ? [3, 4.5], Q( a) ? 54 ? 9a; a ? (4.5,5], Q( a) ? 4(
2

a ? 3) 3 ) 3

4、费用最少问题 例:经统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (km/h) 的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) ,若已知甲、乙两地相距 100 千米。 128000 80

(Ⅰ) 若速度为 40 千米/时, 则汽车从甲地到乙地需行驶多少小时?耗油多少? (Ⅱ) 设耗油为 h( x)升,
24

,当汽车以多大的速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

(2.5,17.5;80)

练习: (课本)一艘船的燃料费与船速度的平方成正比,如果此船速度是 10 千米每小时,那么每小时的燃 料费是 80 元,已知船航行时其他费用为 480 元每小时,在 20 千米的航程中,船速多少时船行驶总费 用最少?此时每小时的费用是多少? ( y ? ( x ? 480)
2

4 5

20 , x ? 10 6 ) x

练习:某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行的速度的平方成正比,比例系数为 K,轮船 的最大速度为 15 海里/小时,当船速为 10 海里/小时,它的燃料费是每小时 96 元,其余航行运作费用 (不论速度)总计是每小时 150 元,假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行, (Ⅰ)求 K 的值; (Ⅱ) 求该轮船航行 100 海里的总费用 W(燃料费+航行运作费用)的最小值 ( k ? 0.96;W ? 0.96v ?
2

100 100 ?150 ? ? 2400, 当且仅当v ? 12.5 ? 15 ) v v

练习:(课本)已知 A,B 两地相距 130 千米,按交通法规规定,A,B 两地之间的公路车速应限制在 50—100 千 米每小时。假设汽油的价格是 3 元每升,以 xkm / h 速度行驶时,汽油的耗油率为 (3 ?

x2 )L / h , 360

司机每小时的工资是 14 元,那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多 少? 练习 1:有甲、乙两城,甲城在一直线形小河的岸边,乙城离河岸边 40 千米,乙城到岸边的垂足 D 与甲城 相距 50 千米,两城在此河岸边合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500 元 和 700 元,问水厂应建在河岸边的何处,才能使水管费用最省?

( 水厂距甲50-

50 6 千米时,费用最省 ) 3

练习 2:有甲乙两个工厂,甲厂位于一直线性河岸的岸边 A 处,乙厂位于离河岸 40km 的 B 处,乙厂到河岸 的垂足 D 与 A 相距 50km。两厂要在此岸合建一个供水站 C。若从供水站到甲厂和乙厂的铺设费用分 别为每千米 3a 元和 5a 元,问,供水站建在岸边何处才能使水管铺设费用最省? ( 供水站建在A, D之间距甲厂20千米处,可使水管费用最省 ) 练习 3: (2011 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均 仓储时间为

x 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之 8
25

和最小,每批应生产产品(

) A.60 件

B.80 件

C.100 件

D.120 件

练习 4:为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。 该建筑物每年的能源消耗费用 C (单 位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: c( x) =

k (0 ? x ? 10), 若不建隔热层,每年能 3x ? 5

源消耗费用为 8 万元。 设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 ①求 k 及 f ( x ) 的表达 式。②隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值。 十三、定积分

1、㈠曲边梯形的面积(相同的区间上上函数减下函数同时积分得面积) (1)求直线 x ? 1, x ? 2, y ? 0和曲线y=x3 围成的图形的面积。 练习 1: (2011 全国Ⅰ理)由曲线 y ? 练习 2:求直线 x ?

x , y ? x ? 2及y轴 所围成的图形的面积

16 ( ) 3

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积 2 x


练习 3:由曲线 y ? 2x , y ? x ? 4及x轴 所围成的图形的面积
2 3

40 ) 3

(2) (2010 山东理)由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为( ) (A)

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

练习 1:(2013 北京理)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积为( )

A.

4 3

B.2

C、

8 3

D.

16 2 3
3

练习 2: 【2014 山东理】直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为() (A) 2 2
2

(B) 4 2
2

(C)2

(D.)4

练习 3:求直线曲线y=x 和y ? x 围成的图形的面积。 (3)求函数 y ? 3 ? x 与y ? 2x 围成的封闭图形的面积
2

练习 1:曲线 C: y ? 2 ? x 与y ? x 围成的封闭图形的面积
2

练习 2:求函数 y ? ? x 与y ? 2x ? 3 围成的封闭图形的面积
2

26

(4)求曲线 f ( x) ? x2 ? 2x与直线x ? 1, x ? 3及x轴 围成的封闭图形的面积。 练习:求曲线 f ( x) ? x2 -1与直线x ? 0, x ? 2及x轴 围成的封闭图形的面积。 (5)①(2011 湖南理)由直线 x ? ? 练习 1:求曲线 y ? cos x (0 ? x ?

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积
(3)

( 3)

3? ) 与坐标轴围成的图形的面积 2 1 练习 2:求曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y ? 围成的图形的面积 2
练习 3: (课本)求曲线 y ? cos x、y ? sin x与直线x ? 0, x ?

?

2

所围成的图形的面积

②在 y 轴右侧,有两边平行于 x 轴,且关于 x 轴对称,边长为π 的正方形内的正弦曲线 y ? sin x与x 轴围 成的区域记为 M(图中阴影部分) ,随机往正方形内投一个点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率是() A.

1 ?2

B、

2 ?2

C.

3 ?2

D.

4 ?2

练习 1:如图,圆 O : x 2 ? y 2 ? ? 2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分) , 在圆 O 内随机取一个点 A,则点 A 取自区域 M 内的概率是___________. (

4 ) ?3

练习 2: 【2014 福建理】如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到 阴影部分的概率为______. (

2 ) e2
2

练习 3: 【 2014 辽宁理】正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x 和 如图, 若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中, 则质点落在阴影区域的概率是 y ? x2 上, . (

2 ) 3

练习 4: (2014 临沂一轮理)在长方形区域 ?( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1? 中任取一点 P,则点 P 恰好取自曲 线 y ? cos x, (0 ? x ?

?

1 ) 与坐标轴围成的区域内的概率为____________.( ) 2 2
3 2 2

(6) (2012 临沂一轮)求 f ( x)=x ? x ? x ? 1在点(1,2)处的切线与函数g( x) ? x 围成的图形面积。

27

练习 1:已知 y ? 2 x ? 3 x ? 2 x ? 1, 点P ( , 0), 求过点P的切线l与曲线C围成 C 的封闭图形的面积。
3 2

1 2

练习 2: 抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为_____。 (7)如图曲线 y ? x 2 和直线 x ? 0, x ? 1, y ? A.

2 3

2 3

B.

1 3

1 所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) 4 1 1 C. D、 2 4
3
2

㈡ (1) (课本) 直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分, 求 k 的值。 (1- 练习 1:直线 y ? kx(k ? 0)与曲线y ? x 围成图形的面积为 ,求k的值
2

4 ). 2

4 3

练习 2: 【2012 山东理】设 a ? 0 .若 y ?
2

x 与直线 x ? a, y ? 0
_ (

所围成封闭图形的面积为 a ,则 a ? 练习 3:设 a>0.若曲线 y ?

4 ) 9

x 与直线 x=a,y=0 所围成封
__.

闭图形的面积为 a,则 a=____

(2)如图,在区间(0,1)上给定曲线 y ? x2 ,试在此区间内确定点 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1 ? S2 最小. 练习 1:已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x. ①若不等式 f ( x) ? k ? 2005 对于 x ?? ?2,3? 恒成立,求最小的正整 3 1 2 数 k ; ②令函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? x(a ? 2), 求曲线 y ? g ( x) 在 ?1, g (1) ? 处的切线与两坐标 2
轴围成的三角形面积的最小值.

练习 2:设函数 f ? x ? ? e .(I)求证: f ? x ? ? ex ; (II)记曲线 y ? f ? x ? 在点P t , f ?t ? 其中t ? 0 处
x

?

??

?

的切线为 l ,若 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S,求 S 的最大值. 练习 3:已知 f (a) ?



2 ) e

? (2ax
0

1

2

? a 2 x)dx, 则f (a) 的最大值为



2 ) 9
1 7

(3) 【2012 福建理 6】如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的 概率为( ) A.

1 4

B.

1 5

C、

1 6

D.

28

练习 1: (2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ( x, y ) , 则点 M 取自阴影部分的概率为___ 练习 2:已知 ? ?

?? x, y ? | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1? ,A 是由直线 y ? 0, x ? a(0 ? a ? 1)和曲线y ? x
1 8 1 2 1 4

3

围成的曲

边三角形的平面区域,若向区域 ? 上随机投一点 P,点 P 落在区域 A 内的概率是 A.

1 ,则 a =( ) 64

1 64

B.

C、

D.

练习 3(2013 临沂一模) :如图所示,在边长为 l 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分 的概率为( ) (A)

1 3

(B).

1 4

(C)

1 5

(D)

1 6

(4) 【2012 湖北理】已知二次函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( ) A.

2π 5

B、

4 3

C.

3 2

D.
3

π 2


2、 (1)计算:①(2010 湖南)

?

4

2

1 dx x
2



?

1

(2 x ?
1

1 ) dx x2

?

3

?1

(3x2 ? 2 x ? 1)dx

练习: 【2014 江西理】若 f ( x ) ? x ? 2 A. ?1 B、 ?

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0



1 3

C.

1 3

D.1 (3)

(2)若等比数列 {an } 的首项为

4 2 ,且 a4 ? ? (1 ? 2 x)dx ,则公比等于_________ 1 3

练习1:已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? A、

?

3 0

(1 ? 2 x)dx ,则 a5 ? a6 ? ( )

12 5

B. 12

C. 6

D.

6 5

练习2:已知各项均不相等得等差数列满足: a2 ? 3, 且a1 , a3 , a7 成等比数列,设 Tn 为数列 ? 项和, t ? T4? , 则 cos xdx ? ( )
0

?

1 ? ? 的前n ? an an ?1 ?

?

t

A、

3 2

B.

2 2
?

C.

1 2

D.1
?

3、计算:①

??

2?

sin xdx



?? cos 2xdx
4 6

③(2009 福建理)

? ? (1 ? cos x)dx
2 ? 2

29



?

?

2 0

x x (sin ? co s ) 2 dx 2 2

⑤【2012 江西理】计算

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ?
?
?

_



2 ) 3

练习:①

??
?

?

sin 2 mxdx



??
?

?

cos mxdx



??
?

cos2 mxdx



?

2 0

x sin 2 dx 2

练习: 【2014 湖南理】已知函数发 f(x)= sin(x ? ? ) ,且 称轴是() 4、计算:①
2

?

2x 3 0

f ( x)dx ? 0 ,则函数 f(x)的图像的一条对
C、x=

A. x=
x

5? 6
__

B、x=

7? 12
2

? 3


D、x=

? 6

? ? 2 x ? e ?dx ? _
0

(5 ? e )

?

3

1

2 x dx
(e)

练习 1: (2011 福建理 5)

? ?e
1 0

x

? 2 x ?dx

练习 2: 【2014 陕西理】定积分

? (2 x ? e )dx 的值为(
x 0

1



A.e ? 2
5、计算:①(课本) 6、计算:① ③积分

B.e ? 1

C、 e

3

D.e ? 1


?

4

?2

e|x|dx

? | x ? 2 |dx
1

?

3

0

(2 ? x) 2 dx

?
?

2

?2
a

4 ? x 2 dx



?(
0

1

1 ? ( x ? 1)2 ? x)dx
B、

?a

. A. a 2 ? x 2 dx ? ( )

1 ?a 2 4

1 ?a 2 2

C. ?a 2

D. 2?a

2

7、①计算:设 f ( x) ? ?

? x 2 , (0 ? x ? 1) ? 1, (1 ? x ? 2)

,求

?

2

0

f ( x)dx

练习 1:设 f ( x) ? ?

? 2 ?2 x ? 1,( x ? 0) ,求 ? f ( x)dx ? ? 2? sin x cos xdx ?2 ? ?3x ? 1,( x ? 0) 2

练习 2: 【2012 上海理】已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B( ,5) 、 C (1,0) ,函数

1 2

y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为



5 4

②(2011 陕西)设 f ( x) ? ? 练习 1:若

? ?

lg x,( x ? 0)
a

2 ? x ? ?0 3t dt ,( x ? 0) ?

, 若f ( f (1))=1,求a
(2)

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 1 x
a

练习 2:若

?

a 0

? 1 ? ? x3dx ? 4 ,则 a ? _________; 若 ? 3 sin xdx ? (? ? a ? ) ,则 a ? ___ . a 2 2 2

练习 3:已知 t ? 0 ,若

? (2 x ? 2)dx ? 8 ,则 t ?
0

t





30

A.1 练习 4:(2013 湖南理)若

B. 2

C、4 .

D.2 或 4 (3)

?

T

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为

③(2008 山东理)设 f(x)=ax2+c(a≠0).若 练习:设 f ( x) ?

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x 0 ) ,0≤x0≤1,则 x0 的值为


3 . 3

e 1 ? 1,若 ? f ( x)dx ? f ( x0 ), 则 x0 的值为 1 x

1 ) e ?1

④若( ( x ? 2 3 x )11 的二项展开式中有 n 个有理项,则 (A).

?

1

0

x n dx ? ( )
(D)2

1 3
3

(B)

1 2

(C)1

?1 ? 练习 1:设 ? ? x 2 ? 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x2 围成图形的面积为() ?x ?
A.

27 2

B.9

C、

9 2

D.

27 4
( ?160 )

练习 2:设 a ?

?

?

0

sin xdx,则二项式(a x ?

1 6 ) 的展开式中的常数项等于 x

? x ? 1,?1 ? x ? 0 a 6 ? 练习 3:若函数 f ( x) ? ? ? 的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 a ,则 ( x ? 2 ) x cos x ,0 ? x ? ? 2 ?
开式中各项系数和为________(用数字作答 8、设 a ?

的展

1 ). 64

5 1 1 dx, c ? ? dx ,则下列关系式成立的是 ( ) 1 x 1 x b a c c a b a c b B. ? ? C、 ? ? D. ? ? 3 2 5 5 2 3 2 5 3 2 21 2 2 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1S2 S3 的大小关系为( ) 练习 1:(2013 江西理)若 S1 ? ? x dx, S 2 ? ? 1 1 x 1

1 dx, b ? 1 x a b c A. ? ? 2 3 5

?

2

?

3

A. S1 ? S2 ? S3

B、 S2 ? S1 ? S3

C. S2 ? S3 ? S1
1 ?1

D. S3 ? S2 ? S1

练习 2: 【2014 湖北理】若函数 f ( x), g ( x)满足

?

f ( x) g ( x)dx ? 0, 则称 f ( x), g ( x)为区间?? 1,1? 上

的一组正交函数,给出三组函数:① f ( x) ? sin

1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ 2 2


f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 其中为区间 [ ?1,1] 上的正交函数的组数是(
A.0 B.1 C、2 D.3

9、将和式表示为定积分: lim ln n (1 ? ) (1 ? )
2 n ??

1 n

2 n

2

n (1 ? )2 n

(2

?

2

0

ln xdx )

31

练习 1:将和式表示为定积分: lim(
n ??

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 ) 2n

(

?

2

0

1 dx ) x
1 0

练习 2:将和式表示为定积分: lim

1p ? 2 p ? 3 p ? n ?? n p ?1

? np



?

x p dx )

10、有一物体沿直线以 v ? 2t ? 3 的速度运动,求该物体在 3 ~ 5 间行进的路程。 练习:一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度 v(t ) ? 5 ? t ?

55 紧急刹车至停止, 1? t

求: (Ⅰ)从开始急刹车至完全停止所经过的时间; (Ⅱ)紧急刹车后火车运行的路程 11、 有一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 的作用下, 沿着与力 F 相同的方向, 从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处, 求力 F ( x) 所做的功。 练习 1:弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F ? kl 计算。如果 10N 的力能使弹簧压缩 1cm,那 么把弹簧从平衡位置压缩 10cm(在弹性限度内)要做多少功? 练习 2:有一物体在变力 F ( x) ? 5 ? x2 (力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F ( x) 成 30°方向作直线 运动,则由 x ? 1 运动到 x ? 2 时 F ( x) 作的功为( 2 3 B. J 3 4 3 C、 J 3 ).

A. 3 J

D.2 3 J

练习 3: (2013 湖北理)一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车, 以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ? ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是( A. 1 ? 25ln 5 B. 8 ? 25ln

25 1? t


11 3

C、 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50ln 2



?

25 ? ? 7 ? 3t ? ? ? dt ? 4 ? 25ln 5 ) 0 1? t ? ?
4

32


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