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复数·复数的乘法及其几何意义

复数·复数的乘法及其几何意义


复数·复数的乘法及其几何意义·教案

教学目标 1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程. 2.掌握复数乘法的几何意义. 3.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法. 4.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点与难点 重点:复数的三角形式是本节内容的出发点,复数的乘法运算. 难点:复数乘法运算的几何意义,不易为学生掌握. 教学过程设计 师: 前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式, 请大家用 5 分钟的时间, 完成以下两道题的演算. (利用投影仪出示) 1.(1-2i)(2+i)(4+3i);

想出算法后,请大家在笔记本上演算,允许同学之间交换意见. (教师在教室里巡视,稍过几分钟,请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程) 学生板演: z1·z2=r1(cosθ 1+isinθ 1)·r2(cosθ 2+isinθ 2) =(r1cosθ 1+ir1sinθ 1)·(r2cosθ 2+ir2sinθ 2) =(r1r2cosθ 1cosθ 2-r1r2sinθ 1sinθ 2)+i(r1r2sinθ 1cosθ 2+r1r2cosθ 1sinθ 2) =r1r2[(cosθ 1cosθ 2-sinθ 1sinθ 2)+i(sinθ 1cosθ 2+cosθ 1sinθ 2] =r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]. 师:很好,你是怎样想出来的?为什么这样想? 生:我们已经学过复数的代数形式运算,因此把三角形式化为代数形式,按着代数形式 的乘法运算法则就可以完成运算.根据数学求简的原则,运用三角公式把结果化简. 在已知的基础上发展和探索未知的东西,解题时,把未知转化成已知,这是重要的思想 方法.我是根据这个思想才想出来的. 师:观察这个问题的已知和结论,同学们能发现有什么规律吗? 生:两个复数相乘,积的模等于各复数模的积,积的复角等于各复数的辐角的和. 师:利用这个结论,请同学们计算:

这就是复数的三角形式乘法运算公式. 三角形式是由模和辐角两个量确定的, 进行乘法运算时要清楚模怎样算?辐角怎样算? 使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式, 辐角不要求一定 是主值. 同学们已经了解,复数通过几何表示,把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立 起一一对应后,复数不仅取得了实际的解释,而且确实逐步展示了它的广泛应用.我们 已经研究了复数加、减法的几何意义,并感觉到了它的用途,请大家讨论一下,学习了 复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢? (同学分组讨论,请小组代表发言.如果条件允许,在学生发言同时,用多媒体辅助教 学,演示模伸缩情况,辐角终边的旋转) 生:复数的乘法对应的向量,就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个 角θ 2(θ 2>0,如果θ 2<0,按顺时针方向旋转一个角|θ 2|,再把其模变为原来的 r2 倍 (r2>1, 应伸长; 0<r2<1, 应缩短; r2=1, 模长不变) , 所得的向量就表示积 z1· z2. 这

是复数乘法的几何意义.

师:解此题复数是否一定化成三角形式? 生:复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系,无论是代数形式还是三角形式都表 示同一个复数和向量,运算结果是一个数,因此不一定化成三角形式,应根据需要来选 择. 师:说得好,请同学们写一下解题过程. (找一名同学到黑板板演) 解:所求的复数就是-1+i 乘以一个复数 z0 的积,这个复数 z0 的模是 1,辐角的主值是 120°.所求的复数是:(-1+i)·1·(cos 120°+isin 120°)

师:为什么? 生丙:乘数 sin30°+icos 30°不是复数三角形式的标准式,应化为 cos 60°+isin 60°, 这样才能应用复数乘法的几何意义来解题. 师:同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的,而辐角的大小又是由复数的三角形式

的标准式来确定.

同学们开始讨论解决: 生庚:复数运算的几何意义是在复平面内实施的,因此要建立直角坐标系. 师:你分析得正确,如图 8-13,建立坐标系.取正方形的边长为单位长 1. 生辛: ∠B1Ox=∠1, ∠B2Ox=∠2, ∠B3Ox=∠3, 这样, ∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+ ∠B3Ox.而∠B1Ox,∠B2Ox,∠B3Ox 可以分别看作 B1,B2,B3 三个点对应复数的 辐角主值,下面应考虑 B1,B2,B3 对应复数是什么? 按着老师规定的单位长,B1,B2,B3 三点对应的复数分别为 1+i,2+i,3+i. 师:好,你先谈到这里,如果单位长度有新的规定,例如边长为 2,则三点对应复数分

别为 2+2i,4+2i,6+2i,并未影响复数的辐角主值的大小,不过计算要繁一些.同学 们继续讨论. 生壬:2+i,3+i 的辐角主值都不是特殊角,只能查表求近似值再相加,误差较大.根 据复数乘法的几何意义,积的辐角等于两个乘数辐角之和,可以先作乘法,看乘积是什 么?假若其辐角主值也不是特殊角,但只取一次近似值. 师:你分析得很好,请你计算一下:

师:今天这节课,从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何 意义及其推导过程.从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互 相转换角度上考虑问题.现在布置作业:


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