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高中数学 2-3-1等比数列精品课件同步导学 新人教B版必修5_图文

高中数学 2-3-1等比数列精品课件同步导学 新人教B版必修5_图文

? 2.3 等比数列 ? 2.3.1 等比数列 1.已知数列{an}的前 4 项为 2,6,18,54,则它的一个通项 n-1 a = 2· 3 n 公式为 . ,第 10 项为 48 2 2.若数列{an}的通项公式为 an=3( 2)n-1,则其前 4 项 依次为 3,3 2,6,6 2 . 3.若{an}满足 a1=5,an+1=-2an,则该数列的前 4 项 依次为 5,-10,20,-40 a2 a3 a4 - 2 - 2 ,a = ,a = ,a 1 2 3 . (-2)-1 = -2 ,其通项公式为 an=5· ? 1.等比数列的定义 ? 如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一 项的比都等于 同一个常数 ,那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,公比通常用字母 表示. q 2.等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列 an 的首项为 a1,公比为 q(q≠0),填表: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 递推公式 an =q(n≥2) an-1 通项公式 an=a1qn-1 3.等比中项 (1)如果三个数,x,G,y 组成 等比数列 ,则 G 叫做 x 和 y 的等比中项. G y (2)如果 G 是 x 和 y 的等比中项,那么 = ,即 G2=xy . x G ? 4.等比数列的项与序号的关系以及性质 两项关系 通项公式的推广:an=am· n-m (m,nq ∈N+) 多项关系 项的运算性质:若m+n=p+q(m ,n,p,q∈N+),则am·an= ap·aq 5.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方),即 a1· an =a2·an-1 =ak· an-k =a 2n+1 2 (n 为正奇数) 6.等比数列的运算性质 (1)若 an 是公比为 q 的等比数列,则 an (c 是非零常数)是公比为 q 的等比数列; ① c· ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ② |an| 是公比为 |q| 的等比数列; ? ? ? ? ? ? m? ③ an ???(m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是整数常数)是公比为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? qm 的等比数列. (2)若 an 、 bn 分别是公比为 q1、q2 的等比数列,则数列 ? ? ? ? ? an· bn 是公比为 ? ? ? ? ? q1q2 的等比数列. ? 任意两个实数x,y都有等比中项吗?都有等 差中项吗?如果有,有几个? 【提示】 如果 xy>0,则 x 与 y 有等比中项,且有两 个,即± xy;如果 xy≤0,则 x 与 y 没有等比中项,而不论 x+y x,y 是何实数,它们都有且只有一个等差中项,即 . 2 ? 已知等比数列 {an} ,若 a1 + a2 + a3 = 7 , a1a2a3=8,求an. ? 【思路点拨】 由条件列方程组,先求出a1和 q. 【解析】 方法一:∵a1a3=a2 2, ∴a1a2a3=a3 2=8,∴a2=2, ? ?a1+a3=5 从而? ? ?a1a3=4 , 解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1. 1 当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q= . 2 故 an=2n-1 或 an=23-n. 方法二:由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q2, 代入已知得, 2 ? ?a1+a1q+a1q =7 ? ? a1q· a1q2=8 ?a1· 2 ? ?a1?1+q+q ?=7 ,即? 3 3 ? ?a1q =8 , 即 2 将 a1= 代入①得 2q2-5q+2=0, q 1 ∴q=2 或 q= , 2 ? ?a1=1 由②得? ? ?q=2 a =4 ? ? 1 或? 1 ,故 an=2n-1 或 an=23-n. q= ? ? 2 ? a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个 基本量,其他量便可求出来,方法一是常规 解法,先求a1,q,再求an,方法二是运用通 项公式及方程思想建立方程组求a1和q,也是 常见的方法. ? 1.在等比数列中: ? (1)若a1+a2+a3=21,a1·a2·a3=216,求an; ? (2)若a3·a5=18,a4·a8=72,求公比q. 【解析】 3 (1)∵a1· a3=a2 a2· a3=a2 =216, 2,∴a1· 解得 a2=6,代入已知可得 ? ?a1+a3=15, ? ? a3=36, ?a1· ? ?a1=3, 解方程得? ? ?a3=12, ? ?a1=12, 或? ? ?a3=3. 1 当 a1=3 时,q=2,当 a1=12 时,q=2. ∴an=3· 2 n-1 或 ?1? - ? ?n 1 an=12· ?2? (2)由 a3· a5=18,得 a1q2· a1q4=18,即 a2 q6=18①, 1· 又由 a4· a8=72,得 10 a1q3· a1q7=72,即 a2 · q =72②. 1 ②÷ ①得 ∴q=± 2. q4=4, ? 已知数列 {an}中,a1=1,an+2an-1+ 3=0(n≥2). ? (1) 判断数列 {an+ 1}是否为等比数列?并说 明理由; ? (2)求an. an+1 【思路点拨】 将条件变形,用整体代换法证明 an-1+1 是否为常数即可. ? ? ? ? ? 【解析】 (1)数列{an+1}是等比数列,证明如下: ∵a1=1,an+2an-1+3=0, ∴an+1=-2(an-1+1), ∴数列{an+1}是首项为2,公比为-2的等比数列. (2)由上述可知an+1=2·(-2)n-1=-(-2

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