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椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程

胶南职业中专 2009---2010 学年度第一学期电子教案 (试用)

学科: 数学
授课人:

使用班级:

10 年 2 月

16 日

10 年
第 课 单元共 题 知 目 能 目 情 目 教 重 教 难 教 关 课 型 识 标 力 标 感 标 学 点 学 点 学 键 课时

2月

16 日备

本节为第 1 课时
椭圆及其标准方程 使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及 标准方程. 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导,培养学生分 析探索能力,增强运用坐标法解决几何问题的能力. 通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知 识的综合运用能力.
椭圆的定义和椭圆的标准方程. 椭圆的标准方程的推导. 椭圆的定义中常数加以限制的原因.

教学 目标

教材 分析

新授课 合作探究教学法 多媒体

教法、学法 使用教具

完成目标的教学过程及教学内容

双边活动及教法 运用

〖组织教学〗 :清点人数,控制教学气氛 〖复习提问〗圆的标准方程和一般方程

〖引入新课〗椭圆在现实生活中的运用,人造卫星的轨道
〖讲授新课〗 演示 图 2-13),当绳长大于 F1 和 F2 的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使 生观察 笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.
教师进一步追问:“椭圆,在哪些地方见过?”有的同学说:“立体几 何中圆的直观图.”有的同学说:“人造卫星运行轨道”等?? 取一条一定长的细绳, 把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如

引导

在此基础上,引导学生概括椭圆的定义: 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的

注意事项

轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦 距.
学生开始只强调主要几何特征——到两定点 F1、F2 的距离之和等于

常数、教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是

椭球形,使学生认识到需加限制条件:“在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意:若

拓宽学生的思维

常数=|F1F2|,则是线段 F1F2;若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;若 要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:“此常数大于|F1F2|”.
(二)椭圆标准方程的推导

1.标准方程的推导 由椭圆的定义, 可以知道它的基本几何特征, 但对椭圆还具有哪些性质, 我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程. 如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分:(1)建系设

点;(2)点的集合;(3)代数方程;(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量

建系的准则

(距离、 直线斜率等)的表达式简单化, 注意充分利用图形的对称性, 使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点 F1、 F2 的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,

建立直角坐标系(如图 2-14).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆 上任意一点,则有 F1(-1,0),F2(c,0).

复习无理方程的 解法
(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为: P={M||MF1|+|MF2|=2a}. (3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在 下面完成,教师巡视,适当给予提示:

①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由详见问 题 3 说明.整理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2
)

②为使方程对称和谐而引入 b,同时 b 还有几何意义,下节课还要

注意 a、b、c 的含 义及关系

(a>b>0). 关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.

培养学生观察能 力
示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1(-c,0)、F2(c,0).这里

c =a -b2.
2 2

2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

语言表达能力
0)、F2(c,0),这里 c2=a2-b2;

-c)、F2(0,c),这里 c2=a2+b2,只须将(1)方程的 x、y 互换即可

得到.

利用定义做题, 进 一步说明定义的 教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来 重要性 判定焦点在哪一个坐标轴上.
(三)例题与练习

平面内两定点的距离是 8,写出到这两定点的距离的和 是 10 的点的轨迹的方程.
例题 分析:先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出 轨迹方程. 解:这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用 F1、F2 表示.取过

点 F1 和 F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直

角坐标系.
∵2a=10,2c=8.

推广
∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.∴b=3 因此,这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想,焦点 F1、F2 放在 y 轴上,线段 F1F2 的垂直平分

〖巩固练习〗
教师巡视 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

练习 2

下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是

上黑板说明理由

[

]

〖小

结〗
学生归纳

定义:椭圆是平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形如图 2-15、2-16.

4.焦点:F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c).

〖作

业〗
1.如图 2-17,在椭圆上的点中,A1 与焦点 F1 的距离最小,

|A1F1|=2,A2
F1 的距离最大,|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.

【板书设计】 一、定义

椭圆及其标准方程 二、推导、 三、应用

【教学反思】 课堂气氛活跃,课后反馈效果好


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