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立体几何知识点总结

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结
1.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面平行且全等),②其余各面(即侧面)每相邻两个 面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。 ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是多边形,②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角 形。 ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点,②两底面是平行且相似的多边形。 ⑷圆台:①平行于底面的截面都是圆,②过轴的截面都是全等的等腰梯形,③母线长都相 等,每条母线延长后都与轴交于同一点。 2.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

3.线线平行常用方法总结 (1)定义:在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理:在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(3)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线就和两平面的交线平行。 (4)线面垂直的性质:如果两条直线同时垂直于同一平面,那么两直线平行。 (5)面面平行的性质:若两个平行平面同时与第三个平面相交,那么两条交线平行。 4.线面平行的判定方法。 (1)定义:直线和平面没有公共点。 (2)判定定理:若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行。 (3)面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平 面。 (4)线面垂直的性质:平面外于已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面。 5.判定两平面平行的方法。 (1)依定义采用反证法; (2)利用判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面 平行。 (3)利用判定定理的推论:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直 线,则这两平面平行。 (4)垂直于同一条直线的两个平面平行。 (5)平行于同一个平面的两个平面平行。 6.证明线线垂直的方法 (1)利用定义。 (2)线面垂直的性质:如果一条直线垂直于这个平面,那么这条直线垂直于这个平面的任 何一条直线。 7.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义。 (2)线面垂直的判定定理 1:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,那么,这条直 线与这个平面垂直。

(3)线面垂直的判定定理 2:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条也 垂直于平面。 (4)面面垂直的性质:如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 (5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,那么这条直线必定垂直于另一个平面。 8.判定两个平面垂直的方法 (1)利用定义。 (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。 9.其他定理 夹在两平行平面之间的平行线段相等。 经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。 两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例。 10.空间直线和平面的位置关系 直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行 直线在平面外——直线和平面相交或平行,记作 aα 包括 a∩α =A 和 a∥α 11.空间平面与平面的位置关系

⑶垂直于同一个平面的所有直线(即平面的垂线)互相平行; ⑷垂直于同一条直线的所有平面(即直线的垂面)互相平行。

空间向量在立体几何中的应用
1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明. 对于垂直问题,一般是利用 进行证明;

对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明. 2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般 方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角, 而求两个向量的夹角则可

以利用向量的夹角公式



要点诠释: 平面的法向量的求法: 设 n=(x,y,z),利用 n 与平面内的两个不共线的向 a,b 垂直,其数量积为 零, 列出两个三元一次方程, 联立后取其一组解, 即得到平面 的一个法向量 (如

图)。 线线角的求法: 设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b,则直线 AB 与 CD 所成的角为

。 (注意:线线角的范围[00,900]) 线面角的求法: 设 n 是平面 的法向量, 是直线 的方向向量,则直线 与平面 所成的

角为

(如图)。

二面角的求法: 设 n1,n2 分别是二面角 的两个面 , 的法向量,则

就是二面角的平面角或其补角的大小(如图)

3.用向量法求距离的公式 设 n 是平面 的法向量,AB 是平面

的一条斜线,则点 B 到平面

的距离



(如图)。 要点诠释: (1)点 A 到平面

的距离:

,其中 (2)直线 与平面

, 是平面 的法向量。 之间的距离:

,其中 (3)两平行平面

, 是平面 之间的距离:

的法向量。

,其中



是平面

的法向量。


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