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高考数学分类汇编-极坐标与参数方程

高考数学分类汇编-极坐标与参数方程


2012 高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
1. (安徽)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

( ? ? R ) 的距离是 _____ 。

2. (北京)直线 ?

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数为______。 ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t

3.(福建) 在平面直角坐标系中, 以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 已 知 直 线 l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 ( 2,0), (

2 3 ? , ) , 圆 C 的 参 数方 程 3 2

? x ? 2 ? 2 cos? 。 (? 为参数) ? ? y ? ? 3 ? 2 sin ?
(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 4. ( 广东) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? ? ? x ? 2 cos ? ?x ? t (? 是参数) ,它们的交点坐标为_______. C1 : ? (t 是参数) 和 C2 : ? ? ? ?y ? t ? y ? 2 sin ?
5. (湖北)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? x ? t ? 1, π 建立极坐标系. 已知射线? ? 与曲线 ? (t 为参数) 2 4 ? y ? (t ? 1) 相交于 A ,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 .

6. (湖南)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, (t 为参数 ) 与曲线 C2 : ? y ? 1 ? 2t

? x ? a sin ? , ( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . ? ? y ? 3cos ?

7.(江苏)在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 的交点,求圆 C 的极坐标方程.

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴 3? 2 4 ?

?

1

8(江西)曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 积坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。
2 9(辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

2

2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程。 10(陕西)直线 2 ? cos ? ? 1与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 .

11(上海)如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ? .

?
6



12(新课标)

已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, ?y ? 3sin?

x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都
在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 15:选修部分
一、选择题 1 . ( 2013 年高考大纲卷(文) ) 不等式 x ? 2 ? 2的解集是
2

( D. ? -2,0?



A. ? -1,1?

B. ? -2, 2?

C. ? -1,0?

?0,1?

? 0, 2?

2

【答案】D 二、填空题 2 . ( 2013 年高考陕西卷(文) ) ( 几何证明选做题) 如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC

的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE = ______. (图中 D.E 两点交换)

C

B P D

A E
【答案】

6.

3 . ( 2013 年高考广东卷( 文) ) (坐标系与参数方程选做题)

已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角 坐标系,则曲线 C 的参数方程为____________.
【答案】 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?

4 . ( 2013 年高考陕西卷(文) ) A. (不等式选做题) 设 a, b∈R, |a-b |>2, 则关于实数 x

的不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集是______.
【答案】A:R 5 . ( 2013 年高考天津卷(文) ) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB//DC, 过点 A 作圆的切线

与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为______.

C

D A
【答案】

B E

15 2

6 . ( 2013 年高考湖南(文) ) 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1 : ?

? x ? 2 s ? 1, (s 为参数)和 ?y ? s

直线 l2 : ?

? x ? at , (t 为参数)平行,则常数 a 的值为_____ ? y ? 2t ? 1
3

【答案】4 7 . ( 2013 年高考陕西卷(文) ) (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 ?

? x ? t2 ? y ? 2t

(t 为参数)的

焦点坐标是____________ .
【答案】(1, 0)

8 . ( 2013 年高考广东卷(文) ) (几何证明选讲选做题)

如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ? _______.
B C

E A 图 3 D

【答案】

21 2

9 . ( 2013 年上海高考数学试题(文科) )若 【答案】1 三、解答题

x 2 x y ?0, ? 1 ,则 x ? y ? ________. 1 1 1 1

10 . ( 2013 年高考辽宁卷(文) ) 选修 4-1:几何证明选讲

如图, AB为

BC 垂直于 O直径,直线CD与 O相切于E.AD垂直于CD于D,

CD 于 C,EF ,垂直于 F ,连接 AE, BE .证明:
(I) ?FEB ? ?CEB; (II) EF ? AD BC.
2

【答案】

4

11 . ( 2013 年高考课标 Ⅱ卷(文) )选修 4—1 几何证明选讲 :如图, CD 为△ ABC 外接圆的切

线 , AB 的 延 长 线 交 直 线 CD 于 点 D , E , F 分 别 为 弦 AB 与 弦 AC 上 的 点 , 且

BC ? AE ? DC ? AF , B, E , F , C 四点共圆.
(Ⅰ)证明: CA 是△ ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB ? BE ? EA , 求过 B, E , F , C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比 值.

C
F

D

B

E

A

【答案】

12 . ( 2013 年高考课标 Ⅰ卷(文) ) 选修 4—4:坐标系与参数方程

5

已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为极点 , x 轴的正半 ? y ? 5 ? 5sin t

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ).
【答案】解:(1)将 ?

? x ? 4 ? 5cos t ,消去参数 t,化学普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t

即 C1: x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 , 将?

? x ? p cos? , 代入x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0得 ? y ? p sin ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ;
所以 C1 极坐标方程为

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 .
(2) C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,
2 2 ? ? x =1, ? x =0, ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 解得 ? 或? ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? y=2, ? y=2. ?

所以 C1与C2 交点的极坐标为 ( 2,

?

), (2, ) . 4 2

?

13 . ( 2013 年高考课标 Ⅱ卷(文) ) 选修 4—4;坐标系与参数方程

已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标 原点.

【答案】

6

14 . ( 2013 年高考课标 Ⅰ卷(文) ) 选修 4—1:几何证明选讲

如图, 直线 AB 为圆的切线, 切点为 B ,点 C 在圆上 , ?ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , DB 垂直 BE 交圆于点 D . (Ⅰ)证明: DB ? DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1 , BC ?

3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 ?BCF 外接圆的半径.

【 答 案 】 解 :(1) 连 接 DE, 交 BC 为 G, 由 弦 切 角 定 理 得 ,

?ABE ? ?BCE , 而

?ABE ? ?CBE, 故?CBE ? ?BCE, BE ? CE . 又 因 为 DB ? BE , 所 以 DE 为 直
径, ? DCE=90°,由勾股定理可得 DB=DC.

(II)由(1), ?CDE ? ?BDE , DB ? DC ,故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG ?

3 ,圆 2

0 0 心为 O,连接 BO,则 ?BOG ? 60 , ?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30 ,所以 CF ? BF ,

故外接圆半径为

3 . 2

15 . ( 2013 年高考课标 Ⅰ卷(文) ) 选修 4—5:不等式选讲

7

已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围 2 2

【答案】解 :(I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为

2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 <0.

设函数 y= 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,则

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 x 0 ? x ? 2 (II)当 x ? ? ?

?

?;

? a 1 , ? 2 2

? , f ( x) ? 1 ? a.

不等式 f ( x ) ≤g(x)化为 1+a≤x+3.

所以 x≥a-2 对 x? ? ?

a 4 ? a 1? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? , 3 2 ? 2 2?

从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3

? ?

4? ?

16 . ( 2013 年高 考课标 Ⅱ卷(文) ) 选修 4—5;不等式选讲

设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?
【答案】

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

8

17 . ( 2013 年高考辽宁卷(文) ) 选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x ? ? x ? a ,其中 a ? 1 . (I)当 a =2 时,求不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 f ? 2x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2 的解集为 ?x |1 ? x ? 2? ,求 a 的 值.

?

?

18 . ( 2013 年高考辽宁卷(文) ) 选修 4-4:坐标系与参数方程

9

在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a , b 的值. y ? t ?1 ? ? 2
【答案】

014 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 15: 选修 4 系列
1 选修 4-1 几何证明选讲 15.[2014· 广东卷] (几何证明选讲选做题)如图 11 所示,在平行四边形 ABCD 中,点 E △CDF 的周长 在 AB 上且 EB =2AE ,AC 与 DE 交于点 F ,则 =________. △AEF 的周长

图 11 15.3 21.[2014· 江苏卷] A.[选修 41:几何证明选讲] 如图 17 所示,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点.
10

证明:∠OCB =∠D.

图 17 证明:因为 B ,C 是圆 O 上的两点,所以 OB =OC, 所以∠OCB =∠B . 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 所以∠B ,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B =∠D,因此∠OCB =∠D. [2014· 江苏卷] B.[选修 42:矩阵与变换] 2 ?-1 2? ?1 1 ? 已知矩阵 A=? ?,B=? ?,向量 α=? ?,x,y 为实数.若=,求 x+y 的值. ?1 x ? ?2 -1? ?y ? 22.[2014· 辽宁卷] 选修 41:几何证明选讲

图 16 如图 16,EP 交圆于 E ,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB =ED. 22.证明:(1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA =∠DBA . 又由于∠PGD=∠EGA ,故∠DBA =∠EGA , 所以∠DBA +∠BAD=∠EGA +∠BAD, 从而∠BDA =∠PFA . 因为 AF ⊥EP ,所以∠PFA =90°, 所以∠BDA =90°,故 AB 为圆的直径. (2)连接 BC,DC.

由于 AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中, AB =BA , AC=BD, 从而 Rt△BDA ≌Rt△ACB , 所以∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故 DC∥AB. 因为 AB ⊥EP ,所以 DC⊥EP ,∠DCE 为直角. 所以 ED 为直径.又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 ED=AB.
11

22.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 41:几何证明选讲 如图 15,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B ,C, PC=2PA ,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E. 证明: (1)BE =EC; (2)AD· DE =2PB 2.

图 15 22.证明:(1)连接 AB ,AC. 由题设知 PA =PD, 故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA =∠DAC+∠DCA , ∠PAD=∠BAD+∠PAB , ∠DCA =∠PAB , 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE =EC. 因此 BE =EC.

(2)由切割线定理得 PA 2 =PB· PC. 因为 PA =PD=DC,所以 DC=2PB ,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE =BD· DC, 所以 AD· DE =2PB 2 . 22.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-1:几何证明选讲 如图 15,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E , 且 CB =CE .

图 15 (1)证明:∠D=∠E ; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB =MC, 证明: △ADE 为等边三角形. 22.证明:(1)由题设知 A ,B ,C,D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE .
12

由已知得∠CBE =∠E ,故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB =MC 知 MN⊥BC,故点 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点, 故 OM⊥AD,即 MN⊥AD, 所以 AD∥BC,故∠A =∠CBE . 又∠CBE =∠E ,故∠A =∠E . 由(1)知,∠D=∠E ,所以△ADE 为等边三角形.

15. [2014· 陕西卷] B.(几何证明选做题)如图 13 所示,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB , AC 于点 E ,F ,若 AC=2AE ,则 EF =________.

图 13 15. 3 7.[2014· 天津卷] 如图 11 所示,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E ,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F . 在上述条件下,给出下列四 个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB2 =FD· FA ;③AE · CE =BE· DE ;④AF· BD=AB· BF . 则所有正 确结论的序号是( )

A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ 7.D 2 3
2

选修 4-2 矩阵 选修 4-4 参数与参数方程 14.[2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别

为 2ρcos θ =sin θ 与 ρcos θ =1. 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 14.(1,2)

13

12.[2014· 湖南卷]

?x=2+ 22t, 在平面直角坐标系中,曲线 C:? (t 为参数)的普通方程 2 ?y=1+ 2 t

为________. 12.x-y-1=0 3[2014· 江苏卷] C.[选修 44:坐标系与参数方程]

?x=1- 22t, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),直线 l 2 ?y=2+ 2 t
与抛物线 y2 =4x 相交于 A ,B 两点,求线段 AB 的长.

?x=1- 22t, 解:将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x, 2 ?y=2+ 2 t
2

得?2+ 2t? =4?1- 2t?, ? ? 2 ? 2 ? 解得 t1 =0,t2 =-8 2, 所以 AB =|t1 -t2|=8 2. 23.[2014· 辽宁卷] 选修 44:坐标系与参数方程 2 2 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P 1 ,P 2 ,以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P 1 P 2 的中点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程. ? ?x=x1 , 23.解:(1)设(x1 ,y1 )为圆上的点,经变换为 C 上的点(x,y),依题意,得? 由 x2 1 ?y=2y1 . ? y ?2 y2 2 2 ? +y2 = 1 得 x + = 1 ,即曲线 C 的方程为 x + =1. 1 ?2? 4 ?x=cos t, ? 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=2sin t y2 ? ? ?x2 + =1, ?x=1, ? ?x=0, 4 (2)由? 解得? 或? ?y=0 ?y=2. ? ? ?2x+y-2=0, ? 1 1 ? 不妨设 P 1(1,0),P 2 (0,2),则线段 P 1P 2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率 k =2,于 1 1 是所求直线方程为 y-1= ? x- ?,即 2x-4y=-3, 2? 2? 化为极坐标方程,得 2 ρcos θ -4ρsin θ =-3, 3 即 ρ= . 4sin θ -2cos θ 23.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 极坐标方程为ρ =2cos θ ,θ∈? ?0, (1)求 C 的参数方程;
14

2

π? . 2?

(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 23.解:(1)C 的普通方程为 2 2 (x-1) +y =1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为
?x=1+cos t, ? ? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t, ?

(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= π π 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即?3, 3 ?. ? ?2 2 ? 3 3? 23.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程
?x=2+t, ? x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

π . 3

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求|PA |的最大值与最 小值. 23.解:(1)曲线 C 的参数方程为? 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ , 3sin θ )到直线 l 的距离 d= d 2 5 则|PA |= = |5sin(θ+α)-6|, sin 30° 5 4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA |取得最大值, 22 5 最大值为 . 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA |取得最小值, 2 5 最小值为 . 5 15. [2014· 陕西卷] C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点? ?2, 是________. 15. 1 4 选修 4-5 不等式选讲 π? π 到直线 ρ sin? θ - ? =1 的距离 ? ? 6 6? 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5
? ?x=2cos θ , ?y=3sin θ ?

(θ 为参数),

4[2014· 江苏卷] D.[选修 45:不等式选讲]
15

已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y )(1+x +y)≥9xy. 证明:因为 x>0,y>0, 3 2 2 所以 1+x+y ≥3 xy >0, 3 2 2 1+x +y≥3 x y >0, 3 2 3 2 2 2 故(1+x+y )(1+x +y)≥3 xy ·3 x y =9xy. 15. [2014· 江西卷] x, y∈R, 若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2, 则 x+y 的取值范围为________. 15.[0,2] 24.[2014· 辽宁卷] 选修 45:不等式选讲 设函数 f (x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2 -8x+1. 记 f (x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集 为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2 ≤ . 4 ? 3 x - 3 , x ∈ [1 ,+∞), ? 24.解:(1)f (x)=? ? ?1-x,x∈(-∞,1). 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤ , 3 4 故 1≤x≤ ; 3 当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0, 故 0≤x<1. ? 4? 所以 f (x)≤1 的解集 M=?x0≤x≤ ?. ? 3? 1 ?2 (2)由 g(x)=16x2 -8x+1≤4 得 16? x - ? 4 ? ≤4, 1 3 解得- ≤x≤ , 4 4 ? 1 3? 因此 N=?x- ≤x≤ ?, ? 4 4? ? 3? 故 M∩N=?x0≤x≤ ?. ? 4? 当 x∈M∩N 时,f (x)=1-x,于是 x2 f(x)+x· [f(x)]2 =xf(x)[x+f (x)]=xf (x)= 2 1 1? 1 x(1-x)= -? x - ≤ . 4 ? 2? 4 24.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 45:不等式选讲 1 设函数 f (x)=?x+ ?+|x-a|(a>0). ? a? (1)证明:f (x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1? ? 1 ? 1 24.解:(1)证明:由 a>0 ,有 f (x)=? ?x+a?+|x-a|≥?x+a-(x-a) ?=a+a≥2, 所以 f (x)≥2. 1? (2)f (3)=? ?3+a?+|3-a|.

2

2

16

5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+ ,由 f(3)<5 得 3<a< . a 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 综上,a 的取值范围是

?1+ 5 5+ 21? ? 2 , 2 ?.

24.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-5:不等式选讲 1 1 若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3 +b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?请说明理由. 1 1 2 24.解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3 +b3 ≥2 a3 b3≥4 2, 当且仅当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3 +b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使 2a+3b=6. 2 2 15. [2014· 陕西卷] A.(不等式选做题)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5, 则 m +n 的最小值为________. 15.A. 5 [解析]由柯西不等式可知(a2 +b2 )(m2 +n2 )≥(ma+nb)2 ,即 5(m2 +n2 )≥25, 当且仅当 an=bm 时,等号成立,所以 m2 +n2 ≥ 5.
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