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第一讲--不等式和绝对值不等式

第一讲--不等式和绝对值不等式


第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式

1、不等式的基本性质:

①、对称:
②、

a?b?b?a

a ? b, b ? c ? a ? c 传递性:_________

a ? b, c ? R ,a+c>b+c

③、a>b, c ? 0 , 那么ac>bc;
a >b ,
c ? 0 ,那么ac<bc

④、a>b>0,

c?d ?0

那么,ac>bd
n

⑤、a>b>0,那么an>bn.(条件 n ? N , n ? 2 ) ⑥、 a>b>0 那么
n

a ? b (条件n ? N , n ? 2)

练习:1、判断下列各命题的真假,并说明理由:
(1)如果a>b,那么ac>bc; (假命题) (2)如果a>b,那么ac2>bc2;(假命题) (3)如果a>b,那么an>bn(n∈N+); (假命题) (4)如果a>b, c<d,那么a-c>b-d。 (真命题) 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 解:因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0,

所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

例2

a b 已知a ? b ? 0, c ? d ? 0, 求证 ? d c

1 1 1 c?d 证明 :? c ? d ? 0,? cd ? 0, c ? d ? 0, ? 0,? ? ? ?0 cd d c cd 1 1 a a ? ? ? 0, 又a ? 0,? ? ? 0, ① d c d c 1 a b 又 ? a ? b ? 0, ? 0,? ? ? 0, ② c c c
a b a b 由①②可得 d ? c ? 0,? d ? c

?x ? y ? a ? b ?x ? a 例3、若a、b、x、y∈R,则 ? 是? ?( x ? a)( y ? b) ? 0 ? y ? b

成立的( C

) B. 必要不充分条件

A. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例4、对于实数a、b、c,判断下列命题的真假:

a b ? (1)若c>a>b>0,则 (真命题) 1 1 c?a c?b (2)若a>b, ? ,则a>0,b<0。 (真命题) a b

例5、已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]

小结:理解并掌握不等式的六个基本性质

2、基本不等式
定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。

探究: 你能从几何的角度解释定理1吗?
分析:a2与b2的几何意义是正方形面积, ab的几何意义是矩形面积,可考虑从图形 的面积角度解释定理。

如图把实数a,
b作为线段长度, 以a≥b为例,在 正方形ABCD中, AB=a;在正方形 CEFG中,EF=b.

b

A H
a

I

D G F

K

b

B

J
a

C
b

E

则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab,其值等于图中有阴影部分的 面积,它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,两个矩形成为正方形, 此时有 a2+b2=2ab。

称为 a,b的 称为 a, b的 定理 2(基本不等式) 如果a, b>0 ,那么

算术平均

当且仅当a=b时,等号成立。
2

a?b ? ab 2

几何平均

C

证明:因为 ( a ? b ) =a+b-2
A O 所以a+b≥ 2 ab , D

ab ≥0,
B

如图在直角三角形中,CO、CD分别是斜边上的中 上式当且仅当 ,即a=b时,等号成 线和高,设AD=a,DB=b,则由图形可得到基本不 立。 等式的几何解释。

a? b

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

例3 求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面 积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长 最短。

结论:已知x, y都是正数。(1)如果积xy是定值p, 那么当x=y时,和x+y有最小值2 p ;(2)如果 和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值

1 2 s 4

小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用, 特别要注意利用基本不等式求最值时, 一定 要满足“一正二定三相等”的条件.

题型二

利用基本不等式求最值

【例2】求下列各题的最值.

2 5 (1)已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 z ? ? 的最 x y
小值;

12 (2)x>0,求 f ( x) ? ? 3x 的最小值; x 4 (3)x<3,求 f ( x ) ? ? x 的最大值; x?3 5 (4)x∈R,求 f ( x ) ? sin2 x ? 1 ? 2 的最小值.
sin x ? 1

1 9 知能迁移2 (1)已知x>0,y>0,且 ? ? 1, 求x+y x y 的最小值; 5 1 (2)已知x< , 求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值; 4 4x ? 5 (3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

例2

某居民小区要建一座八边
D

H

G

形的休闲场所,它的主体造型 平面图(右图)是由两个相同的 矩形ABCD和EFGH构成的面积 为200平方米的十字型地域,计
A

Q

P

C

M

N

B

划在正方形MNPQ上建一座花坛,

E

造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺 花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角(图中四个直 角三角形)上铺上草坪,造价为每平方米80元。 (1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式。 (2)当x为何值时S最小,并求出这个最小值。

F

补充例题 已知a,b ?(0,+?),且a+b=1,求证: 1 (1)a ? b ? ; 2 1 1 (2) 2 ? 2 ? 8; a b 1 2 1 2 25 (3)(a+ ) ? (b ? ) ? ; a b 2
2 2

a 2 ? b2 a ? b 2 运用 ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b

练习:
1、设a, b∈R+,且a≠b,求证: a b (1) ? ? 2; (2) 2ab ? ab b a a?b 2、设a,b,c是不全相等的正数,求证: (1)(a+b)(b+c)(c+a)>8abc;
(2)a+b+c>

ab ? bc ? ca .

x2 ? y 2 x? y 2 ?( ). 3、已知x、y∈R,求证: 2 2

小结:理解并熟练掌握基本不等式及 其应用,特别要注意利用基本不等式 求最值时, 一定要满足“一正二定三 相等”的条件。

3、三个正数的算术-几何平均不等式
a?b?c 3 定理3 如果a, b, c ? R?,那么 ? abc,当且仅 3 当a ? b ? c时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

把基本不等式推广到一般情形:对于n个正数a1 , a2 , 即: a1 ? a2 ? an n ? a1a2 an , n 当且仅当a1 ? a2 ? ? an时,等号成立。 , an , 它们的算术平均不小于它们的几何平均,

例1:
1 已知x ? 0, 求函数y ? 2 x ? 2 的最小值. x

1 例2:求函数y ? x (1 ? 5 x )(0 ? x ? )的最大值。 5
2

5 2 2 5 2 解:y ? x ( ? 2 x) ? x x( ? 2 x), 2 5 2 5 1 2 0 ? x ? ,? ? 2 x ? 0, 5 5 2 下面的解法对吗? x ? x ? ( ? 2 x) 5 4 3 5 1 4x ? 1 ?y ? [ 1 ] ? . x ? 1 ? 5x 3 y ? 4x 3 x(1 ? 5 x) ? ( ) ? , 2 675 4 4 3 108 2 2 4 1 ? ? 2 x,即x ? 时,y max ? 当且仅当 x ? x . ? ymax ? .5 15 675 108

在对角线有相同长度的所有矩形中,怎 样的矩形周长最长,怎样的矩形面积最 大?

类比

例3:在体对角线有相同长度的长方体中, 怎样的长方体体积最大?

二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上 坐标为a的点A到原点的距离:
|a|
A O a

x

任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B, 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
|a-b|
A a B
b

x

联系绝对值的几何意义,从“运算”的角度研 究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系:
分ab>0和ab<0两种情形讨论:

(1)当ab>0时,如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x

O

a

b

a+b

a+b

b

a

O

x

(2)当ab<0时,也分为两种情况:如果a>0,b<0, 如下图可得:|a+b|<|a|+|b|
b O a x

a+b

如果a<0, b>0,如下图可得:|a+b|<|a|+|b|

a

O

a+b

b

x

(3)如果ab=0,则a=0或b=0,易得: |a+b|=|a|+|b|

定理1

这个不等式称为绝 如果a, b是实数,则

对值三角不等式。

|a+b|≤|a|+|b|

当且仅当ab≥0时,等号成立。
探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果?并解释它的几何意义?
y

探究 当向量 a, b共线时, 有怎样的结论?
O

a?b
a

b

x

探究 你能根据定理1的研究思路,探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗?例如: |a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a|-|b|与|ab|等之间的关系。
≤ |a|-|b|_____|a+b|, 》 |a|+|b|_____|a-b|, ≤ |a|-|b|_____|a-b|.

如果a, b是实数,那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

例1 已知ε >0,|x-a|<ε ,|y-b|<ε ,求证:

|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .

定理2

如果a, b, c是实数,那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 证明:根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。
例 : 若 x ? m ? ? , y ? m ? ? , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y ? ? C . x ? y ? 2? B . x ? y ? 2? D. x ? y ? ?

练习:
求证:(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|

(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
2.用几种方法证明

1 |x ? |? 2( x ? 0) x

小结:理解和掌握绝对值不等式的两个定理:

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立) |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立) 能应用定理解决一些证明和求最值问题。

2、绝对值不等式的解法
? 复习:如果a>0,则 |x|<a的解集是(-a, a); |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a

O |x|<a

a

x

-a

O |x|>a

a

x

(1)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法: ①换元法:令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式,然后再求x,得原不等式的解集。 ②分段讨论法:

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7 补充例题:解不等式

1 1 (1) (3 | x | ?1) ? | x | ?3 4 2 2 (2) x ? 3 ? 4 | x | .

|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较:
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},

|ax+b|<c

-c<ax+b<c



例5

(1)解不等式 1 ? 3x ? 4 ? 6

? ? 3x ? 4 ? 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组? ? ? 3x ? 4 ? 6 5 ? x ? ?1或x ? ? ? ? 3 x ? 4 ? 1或 3 x ? 4 ? ?1 ? 3 即? ?? ?? 6 ? 3 x ? 4 ? 6 ? ? 10 ? x ? 2 ? 3 ? 3 10 5 2 解得 ? ? x ? ? 或?1? x ? 3 3 3 2? ? 10 5 ? ? 故原不等式的解集为 ? ? 3 ,? 3 ? ? ? ? 1, 3 ? . ? ? ? ?

补充练习:解不等式:
(1)||x-1|-4|<2.

(2)|3x-1|>x+3.

答案:(1){x|-5<x<-1或3<x<7}

1 (2) {x | x ? ? 或x ? 2} 2

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法

例6

解不等式x ?1 ? x ? 2 ? 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x

解 法1: 设 数 轴 上 与 ? 2, 1对 应 的 点 分 别 是 A,,B

?? 2, 那 么A,, 两 点 的 距 离 是 3, 因 此 区 间 1?上 的

数都不是原不等式的。 解将 点A向 左 移 动 1个 单 位 到 点A1, 这 时 有A1 A ? A1 B ? 5; 同 理, 将 点B向 右移动一个单位到点 B1, 这 时 也 有B1 A ? B1 B ? 5, 从数轴上可以看到点 A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点 A, B的 距 离 之 和 都 小 于 5; 点A1的 左 边 或 点 B1的 右 边 的任何点到点 A,, 的 距 离 之 和 都 大 于 。 故原不等

?? ?,? 3? ? ?2,? ? ? 式的解集是

例6

解不等式x ?1 ? x ? 2 ? 5

解 法2: 当x ? ?2,时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5,

?? ?,?3? 解 得x ? ?3, 此 时 不 等 式 的 解 集 为
即3 ? 5, 矛 盾, 此 时 不 等 式 的 解 集 为?

当 ? 2 ? x ? 1时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5, 当x ? 1时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5, 综 上 所 述 可 知 原 不 等的 式 解 集 为 ?? ?,? 3? ? ?2,? ? ? 解 得x ? 2, 此 时 不 等 式 的 解 集 为?2,? ??

例6

解不等式x ?1 ? x ? 2 ? 5

解 法3: 将 原 不 等 式 转 化 为 x ?1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 构造函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5, 即 ?? 2 x ? 6, x ? -2 ? y ? ?- 2, -2? x?1 ?2x - 4 , -3 x?1 ? 作出函数图象 ,
y

O -2

2 x

?? ?,?3?? ?2,? ?? 由 图 象 可 知 原 不 等 式解 的集 为

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法

③构造函数法

含参不等式解法
【例7】已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a.
的解集为空集,求实数a的取值范围;

?7 ? 2 x ? 解:可知y ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ?1 ?2 x ? 7 ?
作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象,

x?3 3≤x ? 4 x≥4

若使不等式|x-3|+|x-4|<a的解集为空集,则必有y=|x-3|+|x-4|的 图象在y=a的图象的上方,或y=a与y=1重合,∴a≤1. 所以,a的取值范围为(-∞,1].

变式1:对任意实数x,若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,则实数k的 取值范围是________.

(-∞,1)


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