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高三数学-【数学】上海交大附中2018届高三上学期期中考试19 精品

高三数学-【数学】上海交大附中2018届高三上学期期中考试19 精品

上海交通大学附属中学 2018 届高三上学期

高三数学期中试卷

(满分 150 分, 考试时间 120 分钟,答案请写在答题纸上)

命题:倪桓华

审核:杨逸峰 校对:龚琼

一.填空题 (本大题满分 56 分)本大题有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接

写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.设 A、B 是非空数集,定义: A ? B ? {a ? b | a ? A,b ? B},若 A ? {1,2} , B ? {3, 4,5},则

A ? B 的子集个数为



2.若函数 f (x) ? ax ? b (a ? 0) 有一个零点是 1,则 g(x) ? bx2 ? ax 的零点是



3.已知 tan? ? 2 ,则 1 sin2 ? ? 1 cos2 ? ?



2

3

? ? 4.若等差数列 an 的前 5 项和 S5 =25 ,且 a7 ? 13,则 a1 ? _____;

5.已知数列?an? 满足 an

?

?n (n ? 1, 2,3, 4) ???an?4 (n ? 5 , n ? N )

,则 a2009 ? ___________;

6.在等比数列{an}中,首项 a1<0,则{an}是递增数列的充要条件是公比 q 满足_______;

7.设函数

f

(x)

?

2 sin(? 2

x

?

? 5

)

,若对任意

x

?

R

,都有

f

(x1) ?

f

(x) ?

f

(x2) 成立,则

x1

?

x2

的最小值为



8.将函数 y ? tan(? ? 3x) 的图像上的各点经过怎样的平移_________________,可以得到函 4
数 y ? ? tan 3x 的图像?

9.已知函数

y

? sin(?x ? ?)

(?

? 0) 与直线

y

?

1 2

的交点中,距离最近的两点间距离为

? 3



那么?=________;

10.数列 {an}

满足

a1

?

2, a2

? 1 ,并且

an?1 an ?

? an an?1

? an ? an?1 an?1 ? an

( n ? 2 ),则数列的第

100

项为

______;

11. lim[ 2n ? ( n ? 3a ? n)] ?1,则实数 a 的值为 ___________; n??

12.已知函数 f ? x? 在定义域 R 上为增函数,且 f ? x? ? 0 ,则 g ? x? ? x2 f ?x ? 在( ??, 0 )的
单调性为_________________;
13.设非常值函数 f ? x? 是 R 上的偶函数,对任意的 x ?R 都有 f (x ? 6) ? f (x) ? f (3) ,试写
出同时满足上述两个条件的一个函数解析式___________;

14.用 n 个不同的实数 a1,a2,…,an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n!

行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,┄,ain,记 bi= -ai1+2ai2-3 ai3+…+(-1)nnain, i=1, 2,3,…,n! .例如,用 1,2,3 可得数阵如右,由于此数阵中每一列各数之 1 2 3
1 32
和都是 12,所以,b1+b2+…+b6=-12+2? 12-3 ? 12=-24.那么,在用 1,2,3,4, 2 1 3

5 形成的数阵中, b1+b2+…+b120=



2 31 3 12

321

二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号的空格内直接写结果,选对得 4 分,否则一律得零分。

15.“ 2a ? 2b ”是 “ log2 a ? log2 b ”的

()

A.充分不必要条件;

B.必要不充分条件;

C.充要条件;

D.既不充分也不必要条件

16.函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3 cos(x+θ)的图像关于点(5,0)对称,则 θ 的值是 ( )

A.- 2? -10; B.- ? -5; C. 2kπ- 2? -10(k?Z); D. kπ- ? -5(k?Z)

3

3

3

3

17.若函数

y

?

2x 2x

?1 的值域为 ?1

M,则只能以

M



M

的子集为定义域的函数可以是(



A. y ? lg1? x ; B. y ? 1? x ; C. y ? 1 ? x ? 1 ? x ; D. y ? 1 ? x2

1? x

1? x

18.设函数 f (x) ? 2x (x ? R) ,区间 M ? [a,b], (a ? b) ,集合 N ? {y | y ? f (x), x ? M} , 1? | x |

则使 M ? N 成立的实数对 ?a,b? 有

()

A.1 对; B.3 对; C.5 对; D.无数对。

三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 定区域内写出必要的步骤。 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。

在△ABC 中, cos B ? ? 5 , cosC ? 4 。

13

5

(1)求 sinA 的值;

(2)设△ABC 的面积 S△ABC

? 33 ,求 BC 的长。 2

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分。

已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn,且 an?1 ? Sn ? n ? 3, n ? N*, a1 ? 2 .

(1)求数列{an} 的通项;

(2)设 bn

?

3 (n ? an ?1

N * ) ,求

lni?m?(b1

? b2

?

? bn ) .

21.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。
函数 f ? x? ? loga x ?a ? 0, a ? 1? ,若数列:2, f (a1), f (a2 ), , f (an ), 2n ? 4 成等差数列。 (1)求数列?an? 的通项;
(2)若 a ? 2 ,令 bn ? an f (an ) 对任意 n ? N* 都有 bn ? f ?1(t) ,求 t 的取值范围;
? ? (3)记 Sn?m 表示数列 an 的第 n 项到第 m 项共 m-n+1 项的和,已知: Sn?n?m , S p? p?m ,
Sr?r?m (m,n,p,r 都是正整数)成等比,求 n,p,r 满足的关系式。

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。
? ? 已知集合 A ? x x ? a ? ax,a ? 0 ,函数 f (x) ? sin? x ? cos? x .
(1)写出函数 f (x) 的单调递增区间; (2)求集合 A; (3)如果函数 f (x) 是 A 上的单调递增函数,求 a 的取值范围。

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。

已知数列{an}中,a1=1,且点 P(an,an+1)(n∈N)在直线 x-y+1=0 上。

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ?
n ? a1 n ? a2 n ? a3 小值;

? n (n∈N,且 n≥2),求函数 f(n)的最 n ? an

(3)设 bn

?

1 an

,Sn 表示数列{bn}的前

n 项和。试探索是否存在关于 n 的整式 g(n),使得等

式 S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g(n)的

解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

上海交通大学附属中学 2018—2018 学年度第一学期

高三数学期中试卷

(满分 150 分, 考试时间 120 分钟,答案请写在答题纸上)

命题:倪桓华

审核:杨逸峰

一.填空题 (本大题满分 56 分)本大题有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接

写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.设 A、B 是非空数集,定义: A ? B ? {a ? b | a ? A,b ? B},若 A ? {1,2} , B ? {3, 4,5},则

A ? B 的子集个数为

; 16

2.若函数 f (x) ? ax ? b (a ? 0) 有一个零点是 1,则 g(x) ? bx2 ? ax 的零点是

;0,-1

3.已知 tan? ? 2 ,则 1 sin2 ? ? 1 cos2 ? ?

2

3

;7 15

? ? 4.若等差数列 an 的前 5 项和 S5 =25 ,且 a7 ? 13,则 a1 ? _____; 1

5.已知数列?an? 满足 an

?

?n (n ? 1, 2,3, 4) ???an?4 (n ? 5 , n ? N )

,则 a2009 ? ___________;1

6.在等比数列{an}中,首项 a1<0,则{an}是递增数列的充要条件是公比 q 满足_______;0<q<1

7.设函数

f

(x)

?

2 sin(? 2

x

?

? 5

)

,若对任意

x

?

R

,都有

f

(x1) ?

f

(x) ?

f

(x2) 成立,则

x1

?

x2

的最小值为

;2

8.将函数 y ? tan(? ? 3x) 的图像上的各点经过怎样的平移_________________,可以得到函 4

数 y ? ? tan 3x 的图像? 向左平移 ? 个单位 12

9.已知函数

y

? sin(?x ? ?)

(?

? 0) 与直线

y

?

1 2

的交点中,距离最近的两点间距离为

? 3



那么?=________;2

10.数列 {an}

满足

a1

?

2, a2

? 1 ,并且

an?1 an ?

? an an?1

? an ? an?1 an?1 ? an

( n ? 2 ),则数列的第

100

项为

______; 1 50

11. lim[ 2n ? ( n ? 3a ? n)] ?1,则实数 a 的值为 ___________; 2

n??

3

12.已知函数 f ? x? 在定义域 R 上为增函数,且 f ? x? ? 0 ,则 g ? x? ? x2 f ?x ? 在( ??, 0 )的

单调性为_________________;单调递增
13.设非常值函数 f ? x? 是 R 上的偶函数,对任意的 x ?R 都有 f (x ? 6) ? f (x) ? f (3) ,试写

出同时满足上述两个条件的一个函数解析式___________; f (x) ? cos ? x+1 3

14.用 n 个不同的实数 a1,a2,…,an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n!

行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,┄,ain,记 bi= -ai1+2ai2-3 ai3+…+(-1)nnain,

i=1,2,3,…,n! .例如,用 1,2,3 可得数阵如右,由于此数阵中每一

4 23 3 32

列各数之和都是 12,所以,b1+b2+…+b6=-12+2 ? 12-3? 12=-24.那么,在 4 1 3

用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1+b2+…+b120=



答案:4!?(1+2+3+4+5)(-1+2-3+4-5)=360(-3)= -1180

5 31 6 12 321

二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在

答题纸的相应编号的空格内直接写结果,选对得 4 分,否则一律得零分。

15.“ 2a ? 2b ”是 “ log2 a ? log2 b ”的

(B)

A.充分不必要条件;

B.必要不充分条件;

C.充要条件;

D.既不充分也不必要条件

16.函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3 cos(x+θ)的图像关于点(5,0)对称,则 θ 的值是 ( D )

A.- 2? -10; B.- ? -5; C.2kπ- 2? -10(k?Z); D.kπ- ? -5 (k?Z)

3

3

3

3

17.若函数 y ?

2x 2x

?1 的值域为 M,则只能以 M 或 M 的子集为定义域的函数可以是( ?1

A



A. y ? lg1? x ; B. y ? 1? x ; C. y ? 1 ? x ? 1 ? x ; D. y ? 1 ? x2

1? x

1? x

18.设函数 f (x) ? 2x (x ? R) ,区间 M ? [a,b], (a ? b) ,集合 N ? {y | y ? f (x), x ? M} , 1? | x |

则使 M ? N 成立的实数对 ?a,b? 有

(B)

A.1 对; B.3 对; C.5 对; D.无数对。 三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 定区域内写出必要的步骤。

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。

在△ABC 中, cos B ? ? 5 , cosC ? 4 。

13

5

(1)求 sinA 的值;

(2)设△ABC 的面积 S△ABC

? 33 ,求 BC 的长。 2

解:(1)由 cos B ? ? 5 ,得 sin B ? 12 ,由 cosC ? 4 ,得 sin C ? 3 。

13

13

5

5

所以 sin A ? sin(B ? C) ? sin BcosC ? cos Bsin C ? 33 。 65

(2)由

S△ ABC

?

33 得 2

1? 2

AB ?

AC ? sin

A?

33 2

,由(1)知 sin

A?

33 65

,故

AB×AC=65,

又 AC ? AB ? sin B ? 20 AB ,故 20 AB2 ? 65 , AB ? 13 。所以 BC ? AB ? sin A ? 11 。

sin C 13

13

2

sin C 2

★ 或 AB×AC=2RsinC·2RsinB=4R2·3 ? 12 =65,∴R= 65 。∴BC=2RsinA=2·65 ·33 = 11 。

5 13

12

12 65 2

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分。

已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn,且 an?1 ? Sn ? n ? 3, n ? N*, a1 ? 2 . (1)求数列{an} 的通项;

(2)设 bn

?

3 (n ?
an ?1

N * ) ,求

lni?m?(b1

?

b2

?

? bn ) .

解:(1) an?1 ? Sn ? n ? 3 ,当 n ? 2 时, an ? Sn?1 ? (n ?1) ? 3

?an?1 ? an ? an ?1 ,即 an?1 ? 2an ?1 ? an?1 ?1 ? 2(an ?1)(n ? 2, n ? N*)

a1 ? 2 , a2 ? 4 ,?an ? (a2 ?1)2n?2 ?1 ? 3 ? 2n?2 ?1(n ? 2, n ? N*)

?2,

n ?1

? an ? ??3 ? 2n?2 ? 1, n ? 2

(2) bn

?

3 an ?1

?

?3,

?

???(

1 2

)n

?2

,

n ?1 n ? 2 ? lni?m?(b1 ? b2 ?

?

bn

)

=

3

?

1

1 ?

1

?5

2

21.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 6 分。

函数 f ? x? ? loga x ?a ? 0, a ? 1? ,若数列:2, f (a1), f (a2 ), , f (an ), 2n ? 4 成等差数列。

(1)求数列?an? 的通项;

(2)若 a ? 2 ,令 bn ? an f (an ) 对任意 n ? N* 都有 bn ? f ?1(t) ,求 t 的取值范围;
? ? (3)记 Sn?m 表示数列 an 的第 n 项到第 m 项共 m-n+1 项的和,已知: Sn?n?m , S p? p?m ,

Sr?r?m (m,n,p,r 都是正整数)成等比,求 n,p,r 满足的关系式。 解:(1)2n+4=2+(n+2-1)d,可得 d=2.

f (an ) ? 2 ? (n ?1 ?1)d ? 2n ? 2 ? an ? a2n?2 .

(2)∵ bn ? an f (an ) ? (2n ? 2)22n?2 ? 2t 对任意 n ? N* 恒成立,

而 bn 在 n ? N* 上单调递增,即 bn 最小值为 b1 ? 26 ,∴ t ? 6

(3)令 a2 ? q ,则 Sn?n?m ? qn?1(1 ? q ? q2 ? ? qm ) ,S p? p?m ? q p?1(1 ? q ? q2 ? ? qm ) ,

Sr?r?m ? qr?1(1 ? q ? q2 ? ? qm ) ,又 (S p? p?m )2 = Sn?n?m ? Sr?r?m ? 2 p ? r ? n . 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。
? ? 已知集合 A ? x x ? a ? ax,a ? 0 ,函数 f (x) ? sin? x ? cos? x .

(1)写出函数 f (x) 的单调递增区间; (2)求集合 A; (3)如果函数 f (x) 是 A 上的单调递增函数,求 a 的取值范围。

解:(1) f (x) ? sin ?x ? cos ?x ? 2 sin(?x ? ? ) , 4

令 ? ? ? 2k? ? ? x ? ? ? ? ? 2k? ,得到单调递增区间[ ? 1 ? 2k , 3 ? 2k ],( k ?Z )

2

42

4

4

(2)

x

?a

? ax

?

?x ??x ??x

? ? ?

0 a a

? ?ax ? ax

?

?x ? 0

???x ?

?

1

a ?

a

??(1 ? a)x ?

a(*)

对于(*)当

a

?1



x

?

0

;当

0

?

a

?1



x

?

1

a ?

a



∴当

a

?1时

A=

( 1

a ?

a

,??)

;当

0

?

a

?

1



A=

( 1

a ?

a

,

1

a ?

a

)



(3)当 a ?1时显然不单调。



0

?

1

a ?

a

?

1 2

,故

(a 1? a

, a) 1? a

?

[

?

1 4

,

3 4

]

,即:

?0 ? a ? ?a ??1 ? a

? ?

1 3 4

,∴

a ?(0,

3 7

]



23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。

已知数列{an}中,a1=1,且点 P(an,an+1)(n∈N)在直线 x-y+1=0 上。

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ?
n ? a1 n ? a2 n ? a3 小值;

? n (n∈N,且 n≥2),求函数 f(n)的最 n ? an

(3)设 bn

?

1 an

,Sn 表示数列{bn}的前

n 项和。试探索是否存在关于 n 的整式 g(n),使得等

式 S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g(n)的

解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

解:(1)an-an+1+1=0?{an}成公差为 1 的等差数列,∴an=n。

(2) f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n

n?1 n? 2 n?3

n? n

∴f(n+1)-f(n)= n ? n ?1 ? ( 1 ? 1 ? ? 1 ) ? n ? n ?1 ? n

2n ?1 2n ? 2 n ?1 n ? 2

2n 2n ?1 2n ? 2 n ?1

? n ? n ?1 ? 2n ? 0 , 2n ? 2 2n ? 2 2n ? 2

∴f(n)在 n∈N,且 n≥2 上单调增。∴在 n=2 时,f(n)有最小值 f(2)= 5 , 6

(3)Sn=1? 1 ? 1 ? ? 1 ,计算:g(2)=2,g(3)=3,g(4)=4,猜测:g(n)=n,

23

n

证明:①当 n=2 时,由上述过程已得。

②假设当 n=k 时成立,即存在 g(k)=k,有 S1+S2+S3+…+Sk-1=(Sk-1)k 成立。

则 n=k+1 时,S1+S2+S3+…+Sk-1+Sk=(Sk+1-1)g(k+1)?(Sk-1)k+Sk=(Sk+1-1)g(k+1),

∵(Sk-1)k+Sk=Sk(k+1)-k=Sk+1(k+1)-1-k=(Sk+1-1)(k+1),∴g(k+1)=k+1,

∴n=k+1 命题成立。由①②可知不等式对任意正整数 n≥2 均成立。

另证:S1+S2+S3+…+Sn-1=(n-1)?1+(n-2)?

1 2

+(n-3)?

1 3

+…+[n-(n-1)]?

n

1 ?1



=n(1+

1 2

+

1 3

+?+

n

1 ?1

)-(n-1)=n(Sn-

1 n

)-(n-1)=n(Sn-1)?g(n)=n。精品推荐

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