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2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第1讲直线的方程_图文

2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第1讲直线的方程_图文

基础诊断

考点突破

课堂总结

第1讲 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线 位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过

两点的直线斜率的计算公式; 3. 掌握确定直线位置的几何要
素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了 解斜截式与一次函数的关系.

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知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角

①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正
向与直线l_____ 向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;② 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 [0,π) . __ 0 ;③范围:直线的倾斜角α的取值范围是________

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(2)直线的斜率 π ①定义: 当直线 l 的倾斜角 α≠2时, 其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母 k 表示,即 k

tanα ; =______ ②斜率公式: 经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)(x1≠x2) y2-y1 x2-x1 的直线的斜率公式为 k=_______.

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2.直线方程的五种形式 名称 几何条件

斜截式 纵截距、斜率 点斜式 过一点、斜率 两点式 过两点

方程 __________ y=kx+b y-y0=k(x-x0) ________________
y-y1 x-x1 = y2__________________ -y1 x2-x1

适用条件

与x轴不垂直 的直线
与两坐标轴 均不垂直的 直线 不过原点且 与两坐标轴 均不垂直的 直线 所有直线
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截距式

纵、横截距

x y a+b=1 ____________

一般式

Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
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3.线段的中点坐标公式

若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2 的中 x1+x2 , ?x=____________ 2 ? y1+y2 点 M 的坐标为(x,y),则? 此公式为线 ? 2 , ?y=_____________ 段 P1P2 的中点坐标公式.

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诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ×)

(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.
(3)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. (4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. 示. 以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.
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( ×)
(× ) (× ) ( ×) (√ )
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(5) 经过点 P(x0 , y0) 的直线都可以用方程 y - y0 = k(x - x0) 表
(6)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可

2.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为 A.30° C.150° B.60° D.120°

(

)

解析 直线的斜率为 k=tan α= 3,又因为 0° ≤α<180° , 所以 α=60° .

答案 B

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3 .如果 A·C<0 ,且 B·C<0 ,那么直线 Ax + By + C = 0 不通过 ( )

A.第一象限
C.第三象限

B.第二象限
D.第四象限

C 解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距-A>0, C 在 y 轴上的截距-B>0,故直线经过一、二、四象限,不经 过第三象限.

答案 C

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3 4.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为-4,则直线 l 的方程 为 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 ( )

3 解析 由点斜式,得 y-5=-4(x+2),即 3x+4y-14=0.

答案 A

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5 . ( 人教 A 必修 2P100A9 改编 ) 过点 P(2,3) 且在两轴上截距相等 的直线方程为________.

解析 当截距为 0 时,直线方程为 3x-2y=0; x y 2 3 当截距不为 0 时,设直线方程为a+a=1,则a+a=1,解得 a=5.所以直线方程为 x+y-5=0.
答案 3x-2y=0或x+y-5=0

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考点一 直线的倾斜角与斜率
【例 1】 (1)直线 xsin α-y+1=0 的倾斜角的变化范围是 (
? π? A.?0,2? ? ? ? π π? C.?-4,4? ? ?

)

B.(0,π)
? π? ? D.?0,4?∪? ? ? ? ? ? 3 ? π , π 4 ?

(2)经过 P(0, -1)作直线 l, 若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1) 的线段总有公共点, 则直线 l 的倾斜角 α 的范围是________.
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解析

(1)直线 x· sin α-y+1=0 的斜率是 k=sin α,

又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k≤1, 当 0≤k≤1
? π? 时,倾斜角的范围是?0,4?; ? ? ?3 ? π,π ?4 ? ? ?. ?

当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是

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(2)法一

如图所示,

-2-?-1? kPA= =-1, 1- 0 1-?-1? kPB= =1, 2-0 由图可观察出:直线 l 倾斜角 α
?3π ? ? π? 的范围是? 4 ,π?∪?0,4?. ? ? ? ?

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法二 由题意知,直线 l 存在斜率.设直 线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y+1 =kx,即 kx-y-1=0. ∵A,B 两点在直线的两侧或其中一点在 直线 l 上, ∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0, 即 2(k+1)(k-1)≤0,∴-1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α
? π? ?0, ?. 4? ? ?3π ? 的范围是? 4 ,π?∪ ? ?

深度思考

同学

们的解法应该多
数是求kPA,kPB, 再根据图象观察 出倾斜角α的范 围,但是还有一

种方法不妨试一
试,在线性规划 中提到过.

答案 (1)D

?3π ? ? π? (2)? 4 ,π?∪?0,4? ? ? ? ?
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规律方法

(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围

或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时, 常借助正 切函数 y=tan x 在[0, π)上的单调性求解, 这里特别要注意, 正切函数在[0,π)上并不是单调的;(2)过一定点作直线与已 π 知线段相交,求直线斜率范围时,应注意倾斜角为2时,直 线无斜率.

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【 训 练 1】 已 知 线 段 PQ 两 端 点 的 坐 标 分 别 为 P( - 1,1) 和 Q(2,2),若直线l:x+my+m=0 与线段PQ有交点,则实数

m的取值范围是________.

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解析 如图所示,直线 l:x+my+m=0 过定点 A(0,-1), 3 1 当 m≠0 时,kQA=2,kPA=-2,kl=-m, 1 1 3 ∴-m≤-2 或-m≥2, 1 2 解得 0<m≤2或-3≤m<0; 当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点. ∴实数 m 的取值范围为 2 1 -3≤m≤2. ? 2 1? 答案 ?-3,2? ? ?
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考点二

直线方程的求法

【例 2】 根据所给条件求直线的方程: 10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5.

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解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 10 设倾斜角为 α,则 sin α= 10 (0<α<π), 3 10 1 从而 cos α=± 10 ,则 k=tan α=± 3. 1 故所求直线方程为 y=± 3(x+4), 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为a+ =1, 12-a 又直线过点(-3,4), -3 4 从而 a + =1,解得 a=-4 或 a=9. 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0.
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(3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k=4. k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

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规律方法

根据各种形式的方程,采用待定系数的方法求

出其中的系数,在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存 在与否,凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在

性.

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【训练2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;

(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2
倍.

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解 (1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(4,1), 1 ∴l 的方程为 y=4x,即 x-4y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 4 1 ∵l 过点(4,1),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x-4y=0 或 x+y-5=0.

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(2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾 2tan α 3 斜角为 2α.∵tan α=3,∴tan 2α= 2 =- . 4 1-tan α 又直线经过点(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1), 即 3x+4y+15=0.

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考点三 直线方程的综合应用 【例3】 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交

于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时
直线l的方程.

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法一

x y 设直线方程为a+b=1(a>0,b

>0), 3 2 点 P(3,2)代入得a+b=1≥ 2 6 ab,得 ab≥24,

深 度 思 考

本题有两种
解法,主要 从所求直线

方程的设法
上入手,可 设截距式或 点斜式,可 以 尝 试 一

1 3 2 从而 S△ABO=2ab≥12, 当且仅当a=b时等号 b 2 成立,这时 k=-a=-3,从而所求直线方 程为 2x+3y-12=0.
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下.
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法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k<0), 且有
? 2 ? A?3-k ,0?,B(0,2-3k), ? ?

? 2? 1 ∴S△ABO=2(2-3k)?3-k? ? ? ? 4 ? 1? ? ? 1? =2?12+?-9k?+?-k??≥2?12+2 ? ? ?

4 ? ? ?-9k?· ?-k?? ?

1 =2×(12+12)=12. 4 2 当且仅当-9k= ,即 k=-3时,等号成立, -k 即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.
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规律方法

直线方程综合问题的两大类型及解法: (1)与函

数相结合的问题,解决这类问题,一般是利用直线方程中 的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数

的性质解决;(2)与方程、不等式相结合的问题,一般是利
用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问 题,不等式的性质、基本不等式等)来解决.

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【训练3】 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点;

(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面 积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线 l 的方程可化为 k(x+2)+(1-y)=0,
? ?x=-2, 解得? ? ?y=1,

? ?x+2=0, 令? ? ?1-y=0,

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1).

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(2)解

1+2k 由方程知, 当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- k ,

在 y 轴上的截距为 1+2k,要使直线不经过第四象限,则必 ? 1+2k ?- ≤-2, k 须有? 解之得 k>0; ? ?1+2k≥1, 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.

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(3)解 得

由题意可知 k≠0,再由 l 的方程,

? 1+2k ? ? ? A?- , 0 ?,B(0,1+2k). k ? ?

? 1+2k ?- <0, k 依题意得? 解得 k>0. ? ?1+2k>0,
? 1 1? ?1+2k? ∵S=2· |OA|· |OB|=2· |1+2k| ? k ?· ? ? ? 1 1 1 ?1+2k? 1? =2· k =2?4k+k+4?≥2×(2×2+4)=4, ? ?
2

1 1 等号成立的条件是 k>0 且 4k=k,即 k=2, ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.
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[思想方法] 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜 y2-y1 率公式:k= ,该公式与两点顺序无关,已知两点坐标 x2-x1 (x1≠x2)时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角 为 90° .

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2.求斜率可用k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见

倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两
段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直

线方程中的系数,这种方法叫待定系数法.

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[易错防范]

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都
有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考

虑正切函数的单调性.
3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以 为0,这是解题时容易忽略的一点.

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