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鳌江中学2013学年第一学期第二次月考高一数学答案卷

鳌江中学2013学年第一学期第二次月考高一数学答案卷


鳌江中学 2013 学年第一学期第二次月考 高一数学答案卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B
? 3 2

C

D


C

D
12.

A

A
1 8

D

B

B
. .

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 13. 15.

?2,???
①②

. 14. .

-2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分)已知

sin ? ? 2 cos ? ? 3, sin ? ? cos ?

求值: (1) tan ? ; (2) sin ? ? cos ? . 解:(1)?

sin ? ? 2cos ? ? 3 ,分子分母同除以 cos ? ,得 sin ? ? cos ? tan ? ? 2 ?3 tan ? ? 1 5 解得: tan ? ? ………5 分 2

5 sin ? ?cos ? tan ? 10 10 2 (2) sin ? ? cos ? = ………10 分 ? ? ? 2 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 29 29 ?5? 1? ? ? ?2?
(本题解法很多,视学生解答给分)

17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 6}, B ? { y | y ? 2 , 2 ? x ? 3} .
x

(Ⅰ)分别求 A ? B, (CR B) ? A ; (Ⅱ)已知 C ? {x | a ? x ? a ? 1}, 若 C ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ A ? {x | 3 ? x ? 6} ? [3,6),

B ? { y | y ? 2 x , 2 ? x ? 3} ? { y | 4 ? y ? 8} ? [4,8) …………………2 分

? A ? B ? [4,6) ,

…………………4 分

? ?R B ? (??, 4) ? [8, ??) ,…………………5 分
??R B ? A ? (??, 6) ? [8, ??) .…………………6 分
(Ⅱ)? A ? B ,

?a ? 4 …………………8 分 ?? ?a ? 1 ? 8
解得 4 ? a ? 7 , ∴实数 a 的取值范围 [4, 7] .…………………10 分 18. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?|1 ? 2 x | ( x ? R) (Ⅰ)当函数 y ? f ( x) 的定义 域为[ a, b ] (b ? a ? 0) 时,其值域为[ 1,3 ], 求实数 a, b 的值; (Ⅱ)当 a ? b ,且 f (a) ? f (b) 时,求 2a ? 2b 的值。 解: (Ⅰ)由 f (a) ? f (b) 得: |1 ? 2a |?|1 ? 2b | ,…………1 分

?1 ? 2a ? 1 ? 2b 或 1 ? 2a ? 2b ? 1,…………3 分

? a ? b ,?1 ? 2a ? 1 ? 2b …………4 分
?1 ? 2a ? 2b ? 1,? 2a ? 2b ? 2 …………5 分
(Ⅱ)? x ? 0 ,? f ( x) ? 2 x ? 1 …………6 分
x 又函数 f ( x) ? 2 ? 1 在 (0, ??) 是增函数,则 ? f (b) ? 3 …………8 分

? f (a) ? 1 ?

?2a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? ? b 即 得: ?b ? 2 …………10 分 ?2 ? 1 ? 3 ? ?

19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 1? x ? log 2 x 1? x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明你的结论; (3)试讨论 f ( x) 的单调性.

? x?0 ? 解: (1)依题意,得 ?1 ? x ?1 ? x ? 0 ?
解得: ?1 ? x ? 1, 且x ? 0 …………2 分

?定义域为:( ? 1,0) ? (0,1) …………3 分
(2)函数 f(x)是奇函数.证明如下: 易知定义域关于原点对称, 又对定义域内的任意 x 有 …………4 分

1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) …………6 分 x 1? x x 1? x
即 f ( ? x) ? ? f ( x) 故函数 f(x)是奇函数.

? ?7 分

(3)由(2)知要判断其单调性只需要确定在 (0,1) 上的单调性即可 设 x1 , x 2 是区间 (0,1) 上的任意两个实数,且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

1 ? x1 1 ? x2 1 1 ? log 2 ? ( ? log 2 ) x1 1 ? x1 x2 1 ? x2

=(

1 1 2 2 ? ) ? [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)] x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1
x 2 ? x1 (1 ? x 2 )(1 ? x1 ) ? log 2 x1 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x1 )
…………9 分

?

∵0<x 1 <x 2 <1 ∴

x 2 ? x1 (1 ? x 2 )(1 ? x1 ) (1 ? x 2 )(1 ? x1 ) ?0 由 ? 1 得 log 2 ?0 x1 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x1 ) (1 ? x 2 )(1 ? x1 )
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………11 分 …………12 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

∴ f ( x) 在 (0,1) 上为减函数; 同理可证 f ( x) 在 (?1,0) 上也为减函数.

20. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin x 的最小值为 g (a ) ( a ? R ).
2

(1)当 a=1 时,求 g (a ) ; (2)求 g (a ) ;

1 ,求 a 及此时 f ( x) 的最大值. 2 (1) 当a ? 1 时,f(x)=-2sin 2 x ? 2cos x ? 1 =-2(1-cos2 x) ? 2 cos x ? 1 ? 2 cos 2 x ? 2 cos x ? 3 1 7 ………………………2 分 ? 2(cos x ? )2 ? 2 2 ? -1≤cosx≤1.
(3)若 g (a) ?

1 7 ?当cos x ? 时,y min ? ? 2 2

………………………4 分

(2)由 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x =1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2cos2x-2acosx-(2a+1) a a2 =2?cosx-2?2- -2a-1,这里-1≤cosx≤1. ………………………………………5 分 ? ? 2 a a a2 ① 若-1≤ ≤1,则当 cosx= 时,f(x)min=- -2a-1; 2 2 2 a ② 若 >1,则当 cosx=1 时,f(x)min=1-4a; 2 a ③ 若 <-1,则当 cosx=-1 时,f(x)min=1. ……………………8 分 2

?1 a ? 因此 g(a)=?- 2 -2a-1 ?1-4a (a>2) ?
2

(a<-2) (-2≤a≤2) …………………………………………9 分

1 (2) ∵ g(a)= . 2 1 1 ∴① 若 a>2,则有 1-4a= ,得 a= ,矛盾; 2 8 a2 1 ② 若-2≤a≤2,则有- -2a-1= ,即 a2+4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3(舍). 2 2 1 ∴g(a)= 时,a=-1. ………………………………………………………………11 分 2 1 1 此时 f(x)=2?cosx+2?2+ , ? ? 2 当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为 5. ………………………………………………13 分


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