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1102022058-高等数学知识在中学数学中的应用_图文

1102022058-高等数学知识在中学数学中的应用_图文

原 创 性 声 明
本人声明:所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。除了文 中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已发表或撰写过的研 究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。

签 名:

日 期:

本论文使用授权说明

本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权 保留论文及送交论文复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的 全部或部分内容。 (保密的论文在解密后应遵守此规定)

学生签名:

指导教师签名:

日期:

南通大学毕业设计(论文)立题卡
课题名称 高等数学知识在中学数学中的应用 出题人 张晓丽 中学数学与高等数学有着密切的联系,作为数学师范类的应届毕业生,即将走上 中学数学教师的岗位,同时,经过四年系统的专业课程的学习,有一定的专业基础知 识和一定的分析问题解决问题的能力,在毕业论文期间,比较详细地研究高等数学对 课题表述 (简述课 题的背景、 目的、意 义、 主要内 容、 完成课 题的条件、 成果形式 等) 中学数学的指导作用,有利于学生巩固所学知识,有利于今后的中学数学教学。 本课题主要对高等数学与中学数学在思想方法上的一致性、高等数学知识相关知 识点在中学数学中的应用以及对高考命题的研究,对高等数学在中学数学中的应用进 行剖析,旨在站在高等数学的角度,加深理解中学数学内容以及更好地驾驭中学数学 教学。 学生经过教育实习,对中学数学的教材、教法以及学生的知识结构等都有一定的 熟悉,具备了完成该课题的基本条件。成果形式:撰写毕业论文一篇。

课题来源

其它

课题类别

毕业论文

1、具有较好的数学分析以及高等代数的基础。 2、比较熟悉中学数学教材以及了解学生的认知结构和认知水平。 该课题对 学生的要 求 3、具有一定的分析问题解决问题的能力。 4、具有良好的阅读能力和查阅资料的能力以及利用计算机的能力。

该课题的工作量与难易程度适中,符合专业培养目标和毕业设计(论文)要求,同 系(室) 意 见 意立题。 系 (室) 主任签名: ______________ ________年________月________日 同意立题( 学院意见 不同意立题( ) ) 教学院长签名:_______________ ________年________月________日 注:1、此表一式三份,学院、系(室) 、学生档案各一份。 2、课题来源是指:1.科研,2.社会生产实际,3. 其他。 3、课题类别是指:1.毕业论文,2.毕业设计。 4、系(室)意见:在组织专业指导委员会审核后,就该课题的工作量大小,难易程度及是否符合 专业培养目标和要求等内容提出具体的意见和建议。 5、学院可根据专业特点,可对该表格进行适当的修改。

南 通 大 学

毕业论文任务书

题目 《高等数学知识在中学数学中的应用》

学生姓名 学 专 班 学 院 业 级 号 理 学 院 数学与应用数学(师范) 数学师范 112 1102022058

起讫日期 2014 年 12 月 19 日至 2015 年 6 月 12 日 指导教师 张晓丽 职称 副教授

发任务书日期

2014 年 12 月 20 日

课题的内容和要求(研究内容、研究目标和解决的关键问题) 研究内容:本课题研究高等数学知识在中学数学中的应用,将从以下几个方面进行研讨 一是高等数学与中学数学在思想方法上的一致性 二是对中学数学中没有完全解释清楚的知识概念用高等数学知识解释清楚 三是用实例证明高等数学知识在中学数学中的应用 四是对我国的中学数学教学现状和素质教育改革提出肤浅的建议 解决的关键问题: 高等数学与中学数学相关知识点的联系与区别,说明中学数学中蕴含的高等数学知识 目标和要求: 通过本课题的研究, 学生能站在高等数学的角度驾驭中学数学教学, 能高屋建瓴地处理中学 教材,能从方法上指导中学生更好地学习,增强学生学习数学的兴趣,提高教学效果,使学生更 好地掌握中学数学并为以后学习高等数学打下基础。 完成毕业论文一篇。

课题的研究方法和技术路线 研究方法: 1、通过阅读文献资料来全面的了解中学知识与高等数学知识之间存在的联系 2、分析高等数学与中学数学在常用方法上的一致性 3、通过例证说明高等数学知识和中学数学知识的联系与区别,并用高等数学的知识解决中 学数学中的难点以及中学中未能给出证明的知识点。 技术路线: 查阅文献,了解中学知识与高等数学知识的联系→对资料进行分类整理→举例,展示高等数学在 在中学数学的应用,部分在中学数学中无法解释清楚的内容如何用高等数学知识加以解释→总结 归纳,给出中学数学解题方法性指导,拓展思路,培养创新思维。

基 础 条 件 (1) 本课题的指导者多年来一直从事高等数学的教学工作,对中学数学内容也比较熟悉; (2) 数学师范专业的学生已经具备了教学研究的理论基础; (3) 学生已经具备了一定计算机应用能力和文献检索能力; (4) 学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料供学生参考; (5) 学生经过教育实习后对中学数学教材内容,对学生的知识结构认知水平,对高考试题等 都有了一定的熟悉; (6) 作为一名预备老师,研究者掌握了一定的《教育学》《心理学》《中学数学学科教学法》 《数学教育学》方面的理论知识。

参考文献 [1]赵临龙.常微分方程的思想方法及在中学数学在的应用[J].安康师专学报,2000,12(2):47 [2]包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报,2003,23(2):4-5 [3]蒋亦东.论高等数学课程对中学数学教育的功能[J].杭州师范学院学报,1999(2):16 [4]高九安.导数在初等数学中的简单应用[J].高等数学教与学,2005(4):13 [5]谢芳.高等数学与初等数学的联系[J].昭通师专学报,1997,19(2):41-44 [6]崔素红.高等数学在解决初等数学中的应用[J].哈尔滨师专学报,1998(1):23-24 [7]肖永红.高等数学与中学数学衔接问题的调查分析[J].高师理科学刊,2009 (27):105-107 [8]夏师.高等代数在中学数学的一些应用[J].广西右江民族师专学报,2002,15(3):11-13 [9]姜兆敏.关于如何做好高等数学与高中数学衔接的见解[J].四川教育学院学报,2010(2):4 [10]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)上册,下册[M].高等教育出版社,2010 [11]王萼芳,石胜明.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社,2003 [11].斯蒂芬·弗莱彻·休森(美).A MATHEMATICAL BRIDGE An Intuitive Journey in Higher Mathematics[M].上海科技教育出版社,2010

本课题必须完成的任务

本课题主要从教材内容、解题方法、解题思想三个方面入手,加以对高考命题 的研究,对高等数学知识在中学数学中的应用进行剖析,发现知识的相似点,找到 数学思想的共同点。

成果形式 本课题的成果是研究论文

进度计划 起讫日期 12 月 19 日-2 月 25 日 2 月 25 日-3 月 25 日 工作内容 选题、查阅文献资料 开题报告 根据开题报告情况继续查阅文献资料 3 月 26 日-4 月 9 日 4 月 9 日-5 月 9 日 5 月 9 日-5 月 13 日 5 月 13 日-5 月 28 日 完成外文翻译初稿及论文大纲 写出毕业论文第一稿 指导老师批阅毕业论文第一稿 修改毕业论文,并定稿 指导教师评定成绩,评阅老师评阅毕业论 5 月 28 日-6 月 2 日 文,写出评阅意见。 答辩 备 注

6 月 2 日-6 月 12 日

该任务书的内容符合南通大学毕业设计要求和本专业的培养目 数学系审核意见 标,同意下发。

系主任签名:







学院意见 教学院长签名: 年 月 日

南通大学本科生毕业论文开题报告
学生姓名 课题名称 阅读文献 国内文献 11 篇 学 号 1102022058 专业 数学与应用数学(师范)

高等数学知识在中学数学中的应用
开题日期 2015.3.25

18-110 国外文献 1 篇 开题地点 情 况 文献综述与研究的意义(阐述课题研究的现状及发展趋势,本课题研究的意义和价值、参考文献) 近年来,随着对中学数学的深入改革,中学数学知识也渐渐地从体现基础性向着基础性与选 择性转变,因此中学数学知识体系增加了不少导数、算法、概率、统计、矩阵等内容,实际上这 些内容就是对高等数学中相关知识的初步了解。改革下的中学数学与高等数学之间的联系越来越 密切,针对这一现象,作为一位即将走上中学教师岗位的我来说,必须具备扎实的高等数学的基 础,注重善于从高等数学的角度去审视中学数学的内容,更好地理解中学数学教材,驾驭课堂教 学,使学生进入高校以后能较好地适应高等数学的学习。因此,本课题的研究对我教育工作有着 重要的意义。 自论文题目定下来,我查找了一系列的文献资料,总结发现肖永红和范发明两位老师在《高 等数学与中学数学教学衔接问题的调查分析》 这篇文章中,注重研究现行高等数学与中学数学教学 差异,分析了形成这种差异的原因,并在此基础上提出了做好高等数学与中学数学教学衔接的对策 与方法;姜兆敏老师在他的《关于如何做好高等数学与高中数学衔接的见解》中讲述了从教材内 容和学生的知识结构等方面分析新课标下高中数学的改革对高等数学教学产生的影响,探讨了如 何做好高等数学和高中数学在教学上的衔接;蒋亦东老师则在他的《论高等数学课程对中学数学 的功能》中提出高师院校的高等数学课程对培养现代中学教学教师具有特别重要的作用,并结合 课堂教学实践,就如何发挥高等数学课程指导中学教学教育进行了分析和探索 抓住高等数学与初等数学之间的联系,加强高等数学对初等数学的指导作用以及注重高等数 学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。中学数学教材中的教学难点经常让 新教师费劲口舌,但学生仍然晕头转向,不知其意。比如极限定义、集合和函数等。一位新数学 教师在解释从非空数集 A 到数集 B 的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是 B。 如果 他的数学分析中的映射掌握得好,完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。法国数学家 F?克莱因 曾经说过:“教师应具备较高的数学观点,理由是,观点越高,事物就显得越简单。”所以,我 们学习过高等数学的数学师范生绝不可以轻视高等数学对中学数学的指导作用。纵观前人的研究 大都是知识点之间的衔接以及用高等数学知识解决中学数学中的问题, 所以我将立足前人的研究, 深入挖掘知识点之间的联系,重要的是站在高等数学的角度对中学数学加以分析,用高等数学知 识去解释中学中模糊不清的概念、用高等数学知识简便解决中学中的难题以及将高等数学思想渗 透到中学教学中去。 要使高等数学课程学有所用,必须要尽可能了解中学数学教材内容,明确教材改革方向和趋 势,这样才能在教学中将两者有机结合起来,从而提高学生的思维,居高临下地解决问题。

参考文献 [1]赵临龙.常微分方程的思想方法及在中学数学在的应用[J].安康师专学报,2000,12(2):47 [2]包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报,2003,23(2):4-5 [3]蒋亦东.论高等数学课程对中学数学教育的功能[J].杭州师范学院学报,1999(2):16 [4]高九安.导数在初等数学中的简单应用[J].高等数学教与学,2005(4):13 [5]谢芳.高等数学与初等数学的联系[J].昭通师专学报,1997,19(2):41-44 [6]崔素红.高等数学在解决初等数学中的应用[J].哈尔滨师专学报,1998(1):23-24 [7]肖永红.高等数学与中学数学衔接问题的调查分析[J].高师理科学刊,2009 (27):105-107 [8]夏师.高等代数在中学数学的一些应用[J].广西右江民族师专学报,2002,15(3):11-13 [9]姜兆敏.关于如何做好高等数学与高中数学衔接的见解[J].四川教育学院学报,2010(2):4 [10]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)上册,下册[M].高等教育出版社,2010 [11]王萼芳,石胜明.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社,2003 [11].斯蒂芬·弗莱彻·休森(美).A MATHEMATICAL BRIDGE An Intuitive Journey in Higher Mathematics[M].上海科技教育出版社,2010

一、本课题的基本内容,预计解决的难题,预期达到的目标 研究内容:本文中高等数学知识在中学数学中的应用将体现在以下四个方面: 一是高等数学知识与中学数学知识点的联系 二是对中学数学中没有完全解释清楚的知识概念用高等数学知识解释清楚 三是用实例证明高等数学知识在中学数学中的应用 四是结合我国教育现状,对我国的中学数学教学现状和素质教育改革提出敷浅的建议 解决的关键问题: 找到高等数学与中学数学知识的连接点, 找出中学知识中蕴含的高等数学知识, 预期的目标:在以后的教学中站在高等数学的角度去讲解中学数学中的知识,能让学生们以一种 居高临下的感觉去学习中学知识,增强他们学习的兴趣,提高学习的效率,能够很好地掌握中学 数学并为以后学习高等数学打下基础。 二、 课题的研究方法、技术路线 研究方法: 1、通过文献资料来全面的了解中学知识与高等数学知识之间存在的联系 2、分析如何用了高等数学知识简便解决解决中学数学中的问题 3、通过大量的事例来比较用高等数学知识和中学数学解决中学中相对要复杂的问题 技术路线: 查阅文献,了解中学知识与高等数学知识的联系→对资料进行分类整理→举例,展示高等数 学在在中学数学的应用,哪些在中学数学中无法解释清楚的如何用高等数学知识解释→总结归纳 哪些中学知识以后可以考虑用高等数学知识来解决 三、 研究工作条件和基础 (7) 本课题的指导者多年来一直从事高等数学的教学工作,对中学数学内容也比较熟悉; (8) 数学师范专业的学生已经具备了教学研究的理论基础; (9) 学生已经具备了一定计算机应用能力和文献检索能力; (10) 学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料供学生参考; (11) 学生经过教育实习后对中学数学教材内容, 对学生的知识结构认知水平, 对高考试题等都 有了一定的熟悉; (12) 作为一名预备老师,我对《教育学》《心理学》《中学数学学科教学法》《数学教育学》 都让我掌握了一定的教育专业理论。 研究者需要具备一定的教育理论知识,有着良好的阅读与调研能力。研究者需要具备利用调研结 果从各个方面对研究的课题进行分析论证的能力。综上所述,本课题的研究已经具备了该课题的 研究条件。

四、 进度计划 起讫日期 12 月 19 日-2 月 25 日 2 月 25 日-3 月 5 日 3 月 5 日-3 月 25 日 3 月 25 日-4 月 9 日 4 月 9 日-5 月 9 日 5 月 9 日-5 月 13 日 5 月 13 日-5 月 28 日 5 月 28 日-6 月 2 日 6 月 2 日-6 月 12 日 论文阶段完成日期 文献调研完成日期 撰写论文完成日期 指 导 教 师 评 语 导师签名: 2015 年 3 月 18 日 该课题选题合适,难度适中,该生能认真查阅相关的文献资料,到中学调研,准备 较充分,文章研究的方向正确,方法可行,论文已初具雏形,同意开题。 3月5日 5 月 24 日 工作内容 选题、查阅文献资料 完成外文翻译 开题报告 根据开题报告情况继续查阅文献资料 写出论文第一稿 指导老师批阅论文第一稿 修改论文,并定稿 指导教师评定成绩,评阅老师评阅论文,写出评阅意见。 答辩 论文实验完成日期 评议答辩完成日期 4月9 日 6月3日

系 科 意 见
学院 意见 通过开题( 开题不通过( ) ) 教学院长签名: 注:1、学院可根据专业特点,可对该表格进行适当的修改。 年 月 日 系主任签名: 年 月 日

南 通 大 学 毕 业 论 文

题目: 高等数学知识在中学数学中的应用

姓 名: 指导教师: 张晓丽 专 业: 数学与应用数学(师范)

南通大学理学院 2015 年 6 月

南通大学毕业论文





随着中学数学改革的不断深入,高等数学知识与中学数学之间的联系越来越密切,高 等数学知识在中学数学中的应用也越来越广泛。 本课题以数学新课程标准为研究依据,以江苏省现用的中学数学教材为研究对象,旨 在站在高等数学的角度分析中学数学与高等数学之间的联系。本课题主要从教材内容、解 题方法、解题思想三个方面入手,加以对高考命题的研究,对高等数学在中学数学中的应 用进行剖析,目的是站在高等数学的角度,加深理解中学数学内容以及更好地驾驭中学数 学教学。

关键词:新课标,高等数学,中学数学,联系,应用

I

南通大学毕业论文

ABSTRACT
With the deepening of the reform of middle school mathematics, the connection between the middle school mathematics and advanced mathematics is too closely, and the application of higher mathematics in middle school mathematics is becoming more and more widely. This topic use the new mathematics curriculum standard as the research basis and current middle school mathematics teaching material of Jiangsu province as the research object, to stand in the perspective of higher mathematics analysis of secondary mathematics and advanced mathematics. This topic mainly from the teaching material content, the problem solving method, the problem solving thought three aspects, to the study of the college entrance examination proposition, analyzes the application of higher mathematics in middle school mathematics, to stand in the perspective of higher mathematics, deepen understanding of middle school mathematics content and better control the middle school mathematics teaching.

Keywords: New curriculum standard, Higher mathematics, Middle school mathematics,
connection,application

II

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目 摘



要 ........................................... I

ABSTRACT .......................................... II 目 一 录 ......................................... III 前言 ............................................ 1
1.1 课题研究的背景 ........................................................................... 1 1.2 课题研究的意义 ........................................................................... 1



高等数学知识在中学数学中的应用................... 2
2.1 高等数学和中学数学在数学思想上具有一致性....................... 2
2.1.1 数形结合思想 ...................................................................................... 2 2.1.2 函数思想 .............................................................................................. 4

2.2 高等数学与中学数学知识点的联系与应用............................... 6
2.2.1 中学数学中的数列求和与高等数学中的数项级数 .......................... 6 2.2.2 函数的凹凸性巧证中学数学中的不等式 .......................................... 9 2.2.3 中学数学的有关导数知识与高等数学中的导数 ............................ 10 2.2.4 高等数学知识为中学中几个常见无理数的数值计算提供依据 .... 13 2.2.5 利用积分对中学立体几何一些熟知的结果进行证明 .................... 14 2.2.6 中学数学中的数量积与高等数学中的内积 .................................... 16

2.3 从高等数学的角度审视高考 ..................................................... 18

三 对中学数学教学的几点肤浅建议 ..................... 23 参考文献 ............................................ 24 致 谢 ............................................ 25

III

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前言

1.1 课题研究的背景
在新课程标准的要求下, 数学教师的要求不再是局限于自身的专业知识,更 重要的是会引导学生进行自主学习,进而改变传统课堂的师生地位,进行角色的 互换, 所以这就要求教师会站在更高的角度去对教材进行剖析,用发展的观点来 看待教育问题, 用先进的教育理念指导教育工作, 从而发展学生的数学专业素养。 自《2011 数学课程标准》颁布以来,为顺应新课程改革的要求,高等数学 部分知识下移到了中学数学教材中。近年来,人们关注到了中小学知识间的衔接 问题,这是值得肯定的,但是,相对的,中高等数学的衔接问题却没有得到广泛 的关注。 由于高等数学知识的下移趋势越来越明显,研究高等数学知识在中学数 学中的应用具有一定的可行性与现实意义。 本课题的目的是找出高等数学与中学 数学知识点之间的联系, 感受数学思想之间的共性并结合一定的高考题目说明高 等数学知识在中学数学解题中的应用以及如何运用高等数学知识对中学数学中 仅要求学生记忆而未证明的部分知识点进行证明。

1.2 课题研究的意义
中学数学教材为了适应学生的认知水平和年龄特征, 编写时不仅要以新课程 标准为基础,还要充分围绕在学生的最近发展区,所以,中学教材相对于高等教 材在逻辑性、理论性上要薄弱一点。正是因为这样,中学教师在课堂上就不能只 局限于课本知识,要适时地进行拓展与扩充,帮助学生进行知识点的迁移,而学 好高等数学知识是我们准确把握中学数学教学的关键,只有如此,中学教师才能 全面系统地处理教材。 站在高等数学的角度, 研究高等数学知识在中学数学中的应用,可以感受到 数学知识之间联结。 首先, 对于中学生提出的、 用中学知识难以解释的数学问题, 老师可以借助高等数学或者数学史的内容进行补充说明, 以此调动学生学习的积 极性,反之,老师未能及时说明或者敷衍了事,则会打消学生学习的自觉性。同 时,借助于高等数学知识解决中学数学中的问题,可以使问题化难为易、化繁为
1

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简并巧妙解题。其次,高等数学与中学数学在数学思想的应用上有着共通性,对 于中学数学中出现的数学思想, 在高等数学的教学中也得到了充分的应用,因此 理解了高等数学中的数学思想能够更全面的把握中学数学思想。最后,基于高考 命题越来越以高等数学知识为背景的趋势, 研究高等数学知识在中学数学中的应 用具有现实意义。



高等数学知识在中学数学中的应用

2.1 高等数学和中学数学在数学思想上具有一致性
数学思想是前人在研究数学的过程中总结出来的并对数学解题具有概括意 义的观点,对研究数学具有指导性的意义。 《数学课程标准》 要求不仅要重视基础知识与基本技能的双基教学,还要重 视基本数学思想和基本活动经验的教学,从“双基到四基”的改革表明重视数学 思想能更好地促进数学教学。 数学思想是贯穿于整个数学知识体系中的一条主线, 无论是哪个阶段的数学 教学, 数学思想的应用都有着一定的共通性。 常见的数学思想包括数形结合思想、 函数思想、类比思想、常量与变量的转化思想、分类讨论以及公理化思想等,这 些思想都是通过对数学活动经验概括而获得的成果。 前人对常见的数学思想进行 了深刻的总结和探索, 通过对不同层次的数学加以研究发现:数学思想在高等数 学和中学数学中的应用具有一致性。接下来,本文对其中的几个数学思想举例加 以说明。

2.1.1 数形结合思想
数形结合思想, 顾名思义就是借助数与形的对应关系并相互转化来解决数学 问题的思想。 例 1 已知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ,

2

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求证: a 2 ? b 2 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? a 2 ? (b ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 2 2 证明
1-b D C

O b

A

a

1-a

B

1的正方形, O是正方形内任一点 如图, 构造边长为单位 , O 到 AD 、AB 的

距离为 b、 a

AO ? BO ? CO ? DO ? AC ? BD
其中, AO ? a 2 ? b 2 , BO ? (a ? 1) 2 ?b 2 ,
CO ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 , DO ? a 2 ? (b ? 1) 2

因为 AC ? BD ? 2
所以 a 2 ? b 2 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? a 2 ? (b ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 2 2 类似地,当拓展到三维空间时,可以构造棱长为 1 的单位正方体,结合图像进行 求证。 同样的, 中学教师讲授完全平方公式时通常是通过数形结合的思想,借助图形的 面积计算公式来达到讲解的效果。

如图是由一个边长为 a 的小正方形, 一个边长为 b 的大正方形和两个一样的 长为 b,宽为 a 的长方形构成的大正方形,求它的面积 整体算 (a ? b) 2 ,分开算 a 2 ? 2ab ? b 2 ,由于整体算和分开算都是计算的同一 个图形的面积,故得到 (a ? b) 2 = a 2 ? 2ab ? b 2 ,即完全平方公式。借助图形可以

3

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明白清楚地传递完全平方公式的来源,学生能更加直观清楚的明白理解。 通过上面两个例子可以看出, 数形结合思想在中学数学和高等数学中是一脉 相承的,有着异曲同工之妙,但要注意的是数形的转化要等价(数与形的对应不 唯一) 。有人说通过几个例题的练习就可以掌握数形结合思想,这是不科学的, 在平时的中学课堂中老师要深入系统地讲解数学知识, 帮助学生理解几何图形的 性质并会运用数形结合思想解题。在做题时,老师要引导学生注意改变观察和理 解问题的角度,通过数的精确性画图,通过图的直观性解题,从而简便解题。

2.1.2 函数思想
函数不仅是数学知识体系中要学习的重要内容, 更是用来解决数学问题的首 要手段。应用函数思想解题有两个方面,一方面是直接借用函数的性质解题,另 一方面是根据题意构造函数,运用函数的知识来巧妙解题。 例 2 ?2 ? 设非负实数 x, y, z满足x ? y ? z ? 1, 求证 0 ? xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? 分析
7 27

理解题意,根据一元多次函数的根与系数的数量关系,

构造三次多项式函数

f (t ) ? ?t ? x??t ? y ??t ? z ? , 由 函 数 式 特 征 可 知

x, y, z是函数f (t )的零点,借助特殊点的函数值可以巧妙解题。
证明 构造函数 f (t ) ? ?t ? x??t ? y ??t ? z ? ? t 3 ? t 2 ?x ? y ? z ? ? t ?xy ? yz ? zx ? ? xyz 令
1 ?1 ?? 1 ?? 1 ? 1 1 1 f ( ) ? ? ? x ?? ? y ?? ? z ? ? ? ? ( x ? y ? z ) ? xyz 2 ?2 ?? 2 ?? 2 ? 8 4 2
u ? xy ? yz ? zx ? 2 xyz



? ? 1 ? 1? ?1? 1 u ? 2 f ? ? ? ? 2? f ? ? ? ? ? 2? 4 ? ? 2 ? 8?
1 ? 当 x、y、z均不超过

1 时, 2

4

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又因为

1 ?? 1 ? ?1 ? ?1 ?? ?1 ?? 1 ?? 1 ? ? ? x ? ? ? ? y ? ? ? ? Z ?? ? 3 ? ? x ?? ? y ?? ? z ? ? 3 ?? 2 ? ?2 ? ?2 ?? ?2 ?? 2 ?? 2 ?
3

?3 ? ? 2 ? ?x ? y ? z ?? 1 1 1 1 7 ,u ? 2 ? ? ? 所以 f ( ) ? ? ? ? 2 ? 3 216 216 4 27 ? ? ? ? ?
2 ? 当 x、y、z中只可能有一个大于

1 时, 2

1 7 ?1? f ? ? ? 0, u ? ? 4 27 ?2? 1 1 1 1 另一方面,由 0 ? x, y, z ? 14知 - x , ? y , ? z 均不超过 , 故恒有 2 2 2 2
1 1 f ( ) ? ? 0,即u ? 0 2 8
a ?b ? c 3

例 3 证明不等式 ?abc?

? a a b b c c ,其中 a, b, c均为正数

分析 观察不等式,可以发现 构造函数f ( x) ? x ln x ,借助于它的凹凸性可以巧妙 地证明。 证明 构造函数 f ( x) ? x ln x

x ? ?0,???
1 ?0 x

f / ( x) ? ln x ? 1

f // ( x) ?

所以 f ?x?在?0, ? ??为凹函数,由 Jensen不等式
?a, b, c ? 0. f ( a?b?c 1 ) ? ? f (a) ? f (b) ? f (c)? 3 3

所以

a?b?c ?a?b?c? 1 ln? ? ? ?a ln a ? b ln b ? c ln c? 3 3 ? ? 3

?a?b?c? ? ? 3 ? ?
又因为 3 abc ? 所以 ?abc?
a ?b ? c 3

a ?b ? c

? a abb c c

1 ?a ? b ? c ? 3

? a abbc c

通过以上两个例题可以发现通过分析题意,加以构造不同的函数,利用函数
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的性质来解题,对我们的解题有着意想不到的效果。 由此可见,加强利用函数思想在解题中的教学,通过构造函数,使学生领悟 函数思想的运用规律,形成方法,有利于学生提高解决问题的能力。

2.2 高等数学与中学数学知识点的联系与应用 2.2.1 中学数学中的数列求和与高等数学中的数项级数
1.定义上 定义 1 给定一个数列 ?un ?,对它的 各项 依次用“ ? ”连接起来的表达式

u1 ? u2 ? ? ? un ? ?

(1)

称为常数项无穷级数或数项级数(简称级数) ,其中 un 称为数项级数 ?1?的 通 项或一般项
数项级数?1?也常写作? u n 或简单写作 ?un
n ?1 ?

数项级数 ?1? 的前 n 项和,记为
s n ? ? u k ? u1 ? u 2 ? ? ? u n
k ?1 n

称它为 数项级数?1?的第 n 个部分和,也简称部分和。

中学数学中我们把形如 一列a1 , a2 , a3 ?an 按照一定顺序排列着的数称为数
列, 数列中的每一个数叫做这个数列的项, 记 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an叫做数列求和。 ⑴. 等差数列的定义与性质

a ? a1 ? ? n ?1? d 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , n
等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y
Sn ?

前 n 项和

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

6

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⑵. 等比数列的定义与性质
an ?1 ?q a q1 a n 定义: ( q 为常数, q ? 0 ) , an ?
n ?1

.

2 等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G ? xy ,或 G ? ? xy .

前 n 项和:
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (q ? 1) ? ? 1? q

从书本的定义上可以看出, 中学数学中的数列求和与高等数学中的数项级数 是有限与无限的关系,中学数学的数列求和即是数项级数的部分和 2.应用上 中学数学中不仅要求学生会根据基本公式对常见的数列进行求和, 还要求学 生会采用裂项相消、分组求和、倒序相加等方法对复杂的数列进行求和,而高等 数学中则是要求学生对级数进行求和,并会判断级数的敛散性。 定义 2 若 数项级数?1? 的部分和数列 ?sn ? 收敛于 S (即 lim s n = S ) ,则称
n ??

数项级数?1?收敛,称 S 为 数项级数?1?的和,记作

S ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? 或 S ? ?un
若 ?sn ? 是发散数列,则称数项级数(1)也发散。

?1? 例 1 求 ? n? ? n ?1 ? 3 ?

?

n ?1

?1? ?1? ?1? 中学里我们令 sn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?
1 则 sn ? 3
1 2

0

1

n ?1

?1? ?1? ?1? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? (n ? 1)? ? ? 3? ? 3? ? 3?
9 1 1 n 1 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 4 4 3 2 3

n ?1

?1? ? n? ? ? 3?

n

两式相减并求和化简得 s n ?
? ?1? 取极限 ? n? ? n ?1 ? 3 ? n ?1

=

9 4

高等数学里利用逐项微(积)分求级数的和函数。
7

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?1? n? ? 看做 ? n ?1 ? 3 ?

?

n ?1

? nx
n ?1

?

n ?1

级数在

1 x ? 时的值 , 级 数 收 敛 域 为 ?? 1,1? , 3

?? 1,1? 在区间
令 S ( x) ? ? nxn ?1
n ?1 ?

则 ? S (t )dt ? ? ? nt n ?1dt ? ? x n ?
0 n ?1 0 n ?1

x

? x

?

x 1? x

x / 1 所以 S ( x) ? S ?0? ? ( ) ,? S (0) ? 0,? S ( x) ? 1? x ?1 ? x ?2
? 1 ?1? 当 x ? 时, ? n? ? 3 n ?1 ? 3 ? n ?1

=

9 4

本题中的求和即可以用中学方法,又可以用高等数学方法,但有的题目中学 方法解决起来就繁琐得多,有的甚至无法解,那时就要考虑用高等数学方法 就如 ?
1 1 ? ( ) 4 n ?1 用中学方法就无从下手,而高等数学中就可用类似于 2 n ?1 4n ? 1
?

上述的方法可简便求出该和。 令 S ( x) ? ? 数,
1 1 1 1? x ,当 x ? 时 S ( x) ? ? x ? arctanx ? ln 2 2 4 1? x

1 ?? 1,1? ,采用逐项微(积)分求出级 x 4 n?1 , 该级数的收敛域为 n ?1 4n ? 1

?

? 4n ? 1 ? ( 2 )
n ?1

?

1

1

4 n ?1

=?

1 1 1 1 ? arctan ? ln 3 2 2 2 4

鉴于上述例子,中学中的数列是学习高等数学中级数的基础,相对的,全面 学习数项级数的知识对解决中学中的数列问题有着事半功倍的效果。同样的,作 为一个即将走上工作岗位的中学教师来说,只有站在高等数学的角度,对数项级 数进行了系统的学习,才会能学生所不能,更好地传递数列知识,让学生掌握不 同的方法进行数列求和

8

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2.2.2 函数的凹凸性巧证中学数学中的不等式
定 义 1 设 f是定义在区间 I上的函数 , 若 对 I 上 的 任 意 两 点 x1 , x 2 和

任意实数? ? (0,1) 总有 f ??x1 ? ?1 ? ? ?x2 ? ? ?f ( x1 ) ? ?1 ? ? ? f ( x2 )
则称 f 为 I 上的凸函数,反之,如果总有 (1)

f ??x1 ? ?1 ? ? ?x2 ? ? ?f ( x1 ) ? ?1 ? ? ? f ( x2 )
则称 f 为 I 上的凹函数

(2)

如果 ?1?、 ?2?中的不等号改为严格不 等号 ,则称相应的函数为严格凸函数和严格凹 函数 特别地,当 f 为凸函数,取 ? ?
1 1 ? 1 1 ?1 时, f ? x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? 2 2 ? 2 2 ?2

例 2 在△ABC 中,求证 sin A ? sinB ? sinC ? 中学数学 画出 y ? sin x 的图像

3 3 2

设三个点 ? A, sin A?, ( B, sin B), (C, sin C)

? A ? B ? C sin A ? sin B ? sin C ? 构造三角形的重心坐标为 ? , ? 3 3 ? ?
由图像知,该重心在 y ? sin x 的下方

sin A ? sin B ? sin C A? B ?C 3 ? sin( ) ? sin 60? ? 3 3 2
sin A ? sinB ? sinC ?

3 3 2

高等数学 证明 设函数 f ( x) ? sin x 因为 sin x 在(0, ? )上为凸函数,由 Jensen 不等式
9

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sin A ? sin B ? sin C A? B?C ? sin 3 3

= sin

?
3

?

3 2

所以 sin A ? sinB ? sinC ?

3 3 2

中学数学中运用三角函数证明很复杂,借助数形结合才能理解证明,高等数学直 接采用函数的凹凸性带来了意想不到的效果。 类似地,由中学里的不等式

1 2 ?x? y? x ? y2 ? ? ? ,推广可以得到 n 维上有 2 ? 2 ?

?

?

2

1 n ?x? y? x ? yn ? ? ? , ( x ? 0, y ? 0, x ? y, n ? 1) ,中学里没要求证明,大学里可以 2 ? 2 ?

?

?

n

用幂函数的凹凸性进行证明 取函数 f (t ) ? t n , t ? (0,??), f / (t ) ? nt n?1 , f // (t ) ? n(n ? 1)t n?1 当 n ? 1时,f // (t ) ? 0.因此f (t )在t ? (0,??)内是凹函数 所以对任何 x ? 0, y ? 0, x ? y, 恒有
1 ? f ( x ) ? f ( y )? ? f ( x ? y ) 2 2

1 ?x? y? 即 xn ? yn ? ? ? , ( x ? 0, y ? 0, x ? y, n ? 1) 2 ? 2 ?

?

?

n

2.2.3 中学数学的有关导数知识与高等数学中的导数
1.定义上 中学数学中通过两个实际问题从平均变化率引伸到瞬时变化率从而引出导数的 概念:
比值 ?y ? ?x
f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 无限趋近于一个常数 A , ?x f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?A ?x

即当 ?x ? 0 时,

( A 即为 f ( x) 在 x ? x0 处的导数)
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而高等数学则是在实际问题背景下通过极限对导数进行定义 lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim = f ' ( x0 ) 。 ?x ? 0 ? x ?x ?0 ?x
lim

?y 存在,则 ?x ? 0 ? x

从定义上来说,中学教材中没有学习极限的定义,所以只能借助具体的问题 情境,让学生从比较熟悉的平均变化率出发,进一步抽象为瞬时变化率,最后得 到导数的概念; 而教师在讲授导数概念的同时,应该告诉学生这一部分知识在大 学将会进行系统的学习,对于函数可导其实质可转化为 要利用极限的思想进一步理解导数的定义。 2.应用上 ⑴. 直接求导 中学数学里虽然要求学生会运用导数的定义求一些简单函数的导数, 但常见 的还是记忆并应用基本初等函数的求导公式对基本函数进行求导, 对于复合函数 的求导, 中学教材只对形如 “若 y ? f (u ) , u ? ax ? b , f (ax ? b) 的函数作了要求, 则 y' x = y' u ? a 。 例 f ( x) ? ln x 2
f / ( x) ? 1 2 ? 2x ? 2 x x

?y 的极限问题,所以需 ?x

高等数学中, 要求学生在导数定义的基础上,对课本中的每个基本初等函数 的求导运算法则都进行了推导和证明,甚至对教材中的复合函数也利用了
dy dy du ? ? 进行求导。 dx du dx

⑵. 导数在研究函数中的应用 应用导数解决函数问题有两个方面:其一是函数单调性、凹凸性的判定,其 二是求解函数的极值和最值, 虽然导数的应用大体上是一致的,但是在一些细节 的处理上还是有区别的。 第一点,函数单调性的判别,中学教材中说“如果函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上 是 增 函 数 , 那 么 对 任 意 x1 , x2 ? (a, b) , 当 x1 ? x 2 时 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?y ? 0,即 ? 0,这表明导数大于 0 与函数单调递增密切相关。 x1 ? x 2 ?x
11

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所 以 中 学 里 有 , 若 函数y ? f ?x ? 在 某 区 间 I 上 f ' ( x ) ? 0 , 那 么 f ( x) 为
区间 I上的 的增函数;若在某区间 I 上 f ' ( x ) ? 0,那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数

但在这里需说明的是:高等数学中,对于比值
?x ? 0

lim

?y ?y ? 0 ,而并非 lim ? 0 ,即 f ' ( x ) ? 0 ,并且导数 f ' ( x ) ? 0 是函数单调增 ? x ? 0 ?x ?x

?y ? 0 ,考虑其极限 ?x

的充分非必要条件, 所以上面的叙述中利用函数为增函数推得导数大于 0 是不可 取的。综合考虑学生认知水平,只能粗略地描述。 第二点,极值的判别,中学里有 如果在 x ? x0 时 f ' ( x) ? 0 ( f ' ( x) ? 0) ,
x ? x0 时 f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0) ,则 f ( x0 ) 为函数的极小(大)值;而高等数学中则

运用第一、第二充分条件对函数的极值进行判别。 最值的问题,如求具体的数学问题 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 在区间 [ ?1,4] 上的最值。 中学生能够依据步骤先求出函数在区间内的极值,再与端点值比较得到最值,但 在实际问题中, 学生通常通过列式求导, 求出极值, 跳过端点值, 直接得到最值。 这样做的原因是:由实际问题可以知道,研究对象的最大(小)值一定存在并且 求出的点是唯一的极值点,所以该极值点就是最大(小)值点。 例 [ 2 ] (2008 广东文科卷)某公司用 2160 万元购得一块农用地,打算在该地 上建造一幢至少 10 层、每层 2000 m 2 的办公楼,经估计,如果将办公楼建为 ,为了使办公 x( x ? 10)层 ,则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48 x (单位:元) 楼每平方米的平均综合费用最少,该办公楼应该建为多少层?(注:平均综合费 用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用/建筑总面积) 分 析 设 平 均 综 合 费 用 为 y , 按 照 题 意 列 出 函 数 关 系
21600000 ,求导求出极值点 x ? 15 ,由题意知,综合费用的最 2000 x

y ? (560 ? 48 x) ?

小值一定存在,所以 x ? 15 是该函数的最小值点。 但这样的定向思维一旦养成,对他们思维的严谨性有着一定的影响,在学习 高等数学时就会出现解题不全面的现象。

12

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2.2.4 高等数学知识为中学中几个常见无理数的数值计算提供依据
中学计算题中, 我们常常将 ? 取做 3.14 代入计算, 类似的, 我们取 e ? 2.718 ,
ln 2 ? 0.693 代入。 我们都清楚这些代入的数值只是这些无理数的近似值,那这些

近似值是如何得来的呢?中学数学只是给了规定,未给出证明,证明得借助高等 数学知识。 例 3 通过把下列函数展开成傅里叶级数可求 ? 的近似值
?x 2 0 ? x ? ? ? f ( x) ? ?0 x ?? ?? x 2 ? ? x ? 2? ?

解 由 f的图像知, f是按段光滑的,则展开成傅里叶级数

a0 ? an ?
bn ?

1

2?

?
1

? f ( x)dx ? ?2?
0 0

2

2?

?
1

4 ? f ( x) cosnxdx ? n ?(?1)
2

n

?1

?
? ?

2?

?

0

?

f ( x) sin nxdx ?

? 2 ?? 2 ? ? 2 2 ? ?? ? 3? 1 ? (?1) n ? ? ? ? ??n ? n n ? ?

所以当 x ? ?0, ? ? ? ?? ,2? ? 时
? ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? ?4 ? n n ? ?? ? 1 ? ( ? 1 ) sin nx f ( x) ? ? ? ? ? ? 2 (?1) ? 1 cos nx ? ? ? ? 3 ? ? ??n ? n n ? ? n ?1 ? ? ?n ?
2 ?

?

?

?

?

1 1 ? ? ? ?? 2 ? 8? cos x ? 2 cos3x ? 2 cos5 x ? ?? 3 5 ? ? 2 2 ? ? 3? 2? 2 ? 4? ?2 ? ? ? 3? ? 4 sin x ? sin 2 x ? ? ? sin 3 x ? sin 4 x ? ? ? ? 3 ?? 2 4 33 ? ? ? ?

?

?

当 x ? ? 时,由于
f ?? ? 0? ? f (? ? 0) ?0 2

1 ?1 1 ? 所以 0 ? ?? 2 ? 8? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 3 5 ?1 ?
整理得

?2

1 ?1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 8 ?1 3 5 ?
13

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由于

1 随着 n的增大 而减小,所以可以取 n 前几项算出 ? 的近似值为 3.14 n2

例 4 通过初等函数幂级数展开式可求 e, ln 2等的近似值。 (i)幂级数展开式 e x ? ?
n ?0 ?

xn x2 x3 xn ? 1? x ? ? ? ??? ? ?, x ? ?? ?,??? n! 2! 3! n!

当 x ? 1时 取近似值 e ? ?
1 ? 2.718 n ?0 n!
?
?

(ii)同理 ln(1 ? x) ? ? (?1) n?1
n ?1

xn , x ? ?? 1,1? n

当 x ? 1时 取近似值 ln 2 ? 0.693

2.2.5 利用积分对中学立体几何一些熟知的结果进行证明

椭球的体积为

4 ? abc , 球的表面积为 4?r 2 , 圆的面积为?r 2 等,这些常 3

见的计算公式在中学里是直接给出的,未要求学生对这些熟知的结果进行证明, 而这些计算公式则可以借助高等数学中的积分知识轻而易举地进行证明 例 5 求证椭球体
4? x2 y2 z2 abc ? 2 ? 2 ? 1 的体积为 2 3 a b c

证明 由对称性知,椭球体的体积是第一卦限部分体积的 8 倍,

这一部分是以 z ? c 1?
为底的曲顶柱体, 所以椭球体体积

x2 y2 x2 x , y , D= ﹛ ( ) |0 , 0? x ? a } ? 为曲顶 ? y ? b 1 ? a2 b2 a2

V=8 ?? 1 ?
D

x2 y2 ? dxdy, a2 b2

?, 由广义极坐标变换,令 x ? ar cos? , y ? br sin ? , dxdy ? abrdrd

14

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则 z ? c 1? r 2 ,
? 2
0

因此

V =8 ? d?
? 2
0

?c
0
1

1

1 ? r 2 abrdr

=8ab ? d? 所以,椭球体的的体积为
4? abc 3

?r
0

1 ? r 2 dr =

4? abc 3

当 a ? b ? c 时,则球体的体积为 例 6 证明圆的面积公式是 ? r 2 证明 由圆的对称性知,

4? 3 R 3

A ? 4 ? r 2 ? x 2 dx
0

r

?
2

?
2

令 x ? r sin t ? A ? 4 ? r cos t ? r cos tdt ? 4 ? r 2 (cos t ) 2 dt
0 0

?
2

?

2 1 1 1 =4 r 2 ? (1 ? cos 2t )dt ? 4r 2 ( t ? sin 2t ) ? ?r 2 2 2 4 0 0

例 7 证明球的表面积为 4?a 证明

2

取上半球面方程 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 , 则 它 在 x O y面 上 的 投 影 区 域

D ? ? x, y ? x 2 ? y 2 ? a 2

?

?



?z ?x ?z ?y ? , ? ?x a 2 ? x 2 ? y 2 ?y a2 ? x2 ? y2
2 2

? ?z ? ? ?z ? 得 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ? ?y ?

a a ? x2 ? y2
2

因为这函数在闭区域 D 上无界,所以不能直接应用曲面面积公式求解。 故先取区域 D1 ? ?x, y ? x 2 ? y 2 ? b 2 ?0 ? b ? a ?为积分区域, 1 后,算出相应于 D1 上

?

?

15

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的球面面积 A1 后,令 b ? a 取 A1 的极限就得到了半球面的面积。

A1 ? ??
D1

a a2 ? x2 ? y2

d x d, y

利用极坐标,得
A1 ? ??
D1

a a2 ? ? 2
b

?d?d? ? a ? d? ?
0 0

2?

b

?d?
a2 ? ? 2

= 2?a ?
0

?d?
a ??
2 2

? 2?a a ? a 2 ? b 2

?

?

于是

lim A1 ? lim 2?a a ? a 2 ? b 2 ? 2?a 2
b?a b?a

?

?

这就是半个球面的面积,因此整个球面的表面积为
A ? 4?a 2

2.2.6 中学数学中的数量积与高等数学中的内积
1.定义上 中学数学里向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为
? ?

? , 我 们 把 乘 积 a ? b ? cos ? 叫 做 向 量 a 和 b 的 数 量 积 记 作 a . b , 即
?

?

?

?

?

?

?

a . b = a ? b ? cos ? 。
若 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a . b = x1 x2 ? y1 y2 两向量的数量积是一个数量而不是向量,它是用直观的长度及夹角来定义
? ?

?

?

?

?

?

的,但是在一般的线性空间中,没有直观的长度和夹角,所以高等数学中用公理 化的方法定义内积。中学中的数量积只是“内积”中一个最简单的特例。 高等数学里向量的内积是在中学教材的基础上定义的, 中学数学中定义的数 量积也称为内积,同时又进一步将平面的二维向量拓展到三维乃至 n 维欧氏空 间。

16

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设V是实数域R上一线性空间,在 V上定义了一个二元实函 数,称为内积, 记

作 ?? , ? ? ,它具有以下性质 ?4 ? : (1) ?? , ? ? ? ?? , ? ? (2) ?k? , ? ? ? k ?? , ? ? (3) ?? ? ? , ? ? ? ?? , ? ? ? ?? , ? ? (4) ?? , ? ? ? 0, 当且仅当 ? ? 0 时 ?? , ? ? ? 0 这里 ? , ? , ?是V中任一向量,k是任一实数, 这样的线性空间 V 称为欧几里得 空间。 设 ? ? ( x1 , x2 ,?, xn )T 与 ? ? ( y1 , y2 ,?, yn )T 是 n 维空间的任意两个向量,则

?? , ? ? = x1 y1 ? ? ? xn yn 满足上述内积定义的四点要求,故这种运算是一种内积。
同样地,在闭区间 [ a, b] 上的所有实连续函数 所构成的空间 C(a, b) 中,对于 函数 f ( x), g ( x) 定义 ( f , g ) = ? f ( x) ? g ( x)dx ,可以验证这种运算满足内积的四点要求,故
a b

它也是一种内积。 2.应用上 中 学 数 学 中 两 向 量 相 互 垂 直 的 充 要 条 件 是 a . b =0 , 用 坐 标 表 示 是
? ?

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 扩 充 到 三 维 空 间 得 到 两 向 量 相 互 垂 直 的 充 要 条 件 为 x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 =0;
中学数学中两点间的距离公式为 a ? b = [( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ] ,而高等数
? n 2? 学 R 中任意两点间的距离为 d ? ?? ? xi ? y i ? ? ? i ?1 ?
n
1 2
? ?

与中学二维空间中定义有着异

曲同工之效。 中学里:由 a ? b ? a ? b , a ? ?a1, a2 ?, b ? ?b1 , b2 ?
? ?

17

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得到 ?a1b1 ? a2b2 ? ? a1 ? a2 b1 ? b2
2 2 2 2

?

??

2

?

推广到 n 为空间上 ( a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ) 2 ? ( a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 ) ( b12 ? b2 2 ? ? ? bn 2 )
b b ?b ? 2 ? ? 类似地积分形式有 ? ? f ( x) g ( x)dx? ? ? f ( x)dx? g 2 ( x)dx a a ?a ? 2

这两个不等式表面上看完全不一样,但其本质是一致的,他们都是内积公式

?? , ? ?2 ? ?? ,? ??? , ? ? 的不同表现形式,因此,这些公式都称为柯西不等式。
从定义和应用上看, 高等数学内积是中学数学数学数量积的进一步发展和扩 充,教师只有深入理解并掌握“内积”的相关知识,站在高等数学的角度,才能 更好地处理好中学教材中“数量积”的相关教学,并适度的鼓励学生发散思维, 培养学生解决问题的能力。

2.3 从高等数学的角度审视高考
纵观历届高考试题,我们可以发现越来越多的高考题目以高等数学知识为背景。

定理 1(有界性定理) 若函数f ( x) 在闭区间 I 上连续,则 f ( x) 在闭区间 I 上 必有界 例 1 (2007 年安庆高考模拟题)设函数 f ( x) 在闭区间 I 上连续,存在常数 M,对任意 x 属于 I ,满足∣ f ( x) ∣ ? M ,那么称 f ( x) 是 I 上的有界函数。已 知 f ( x) = x 2 ? 1 ? ax ,求∣ f / ( x) ∣ ? 1 在 x ? [0,??) 上恒成立的 a 的范围 分析 根据题意,要求∣ f / ( x) ∣ ? 1 在 x ? [0,??) 上恒成立的 a 的范围,即先求出

f / ( x) 的值域,要求值域则先求出
解 求导 f / ( x) ?

f / ( x) 最值

x x ?1
2

? a ,因为 f / ( x) 在 x ? [0,??) 上连续, f / (0) =- a

18

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所以 lim f / ( x) = lim (
x ? ?? x ? ??

x x ?1
2

? a )=1- a

f // ( x) =

1 ( x ? 1) x ? 1
2 2

, 因为 x ? [0,??) ,所以 f // ( x) >0 ,从而

f / ( x) 在区间

[0,??) 上是增函数,从而 ? a ? f / ( x) ? 1 ? a

又因为︱ f / ( x) | ? 1 ? ?1 ? f / ( x) ? 1 在 x ? [0,??) 上恒成立,所以 ? 1 ? ? a 且
1 ? a ? 1, 求得 0 ? a ? 1

本题以《数学分析》中的“有界性定理”为背景,考查了学生对知识点的辨析能 力。

例 2 (2009 浙江) 对于正数 ? , 记M ? 为满足下述条件的函数 f ( x)构成的集合:

?x1 , x2 ? R, 且x2 ? x1 ? ? ?x2 ? x1 ? ? f ( x2 ) ? f ?x1 ? ? ? ?x2 ? x1 ?
下列结论正确的是 A. 若f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ?2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M ?1??2 B. 若f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 , 且g ( x) ? 0, 则
f ( x) ? M ? ?? 2 g ( x)

C. 若f ( x) ? M ?1 , g( x) ? M ?2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ??2 D. 若f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ?2 , 且?1 ? ? 2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ??2 分 析 抓 住 条 件 , 将 ? ? ?x2 ? x1 ? ? f ( x2 ) ? f ?x1 ? ? ? ?x2 ? x1 ? 变 形 得

?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? , x2 ? x1



f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? c, 则有 ? ? ? c ? ? x2 ? x1

不妨设 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ?2 ,即有 ? ?1 ? c f ? ?1 , ? ? 2 ? cg ? ? 2 两边相加有 ? ?1 ? ? 2 ? c f ? cg ? ?1 ? ? 2
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所以 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ??2 本题是以《近世代数》中的“域”为背景的,考查了学生对知识点的分析能力以 及对知识的转化能力。

定理 2

若 f ( x) 是 ?a, b? 上的下凹函数( f // ( x) ? 0 ) ,则对任意 x i ? ?a, b? ,
n n n

?i ? 0

?i ? 1,2,3?, n?, ? ?i =1,有 f (? ?i xi ) ? ? ?f ( xi
i ?1 i ?1 i ?1

)

例 3 (2005 年全国高考题) (I)设函数 f ( x) = x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f(x)的最小值 ( II ) 设 正 数 P 1, P 2,P 3 ? ? P2 m 满 足 P 1 ?P 2 ?P 3 + ? + P2 m =1 , 证 明

P log2 P2m ? ? m 1 log2 P 1 ?P 2 log2 P2 ? ? ? P 2m
分析 函数等号右边的两项可以都看成是函数 g ( x) = x log2 x 不同的赋值形式,通 过构造函数求解。 (I)构造函数 g ( x) = x log2 x ,那么 g (1 ? x) = (1 ? x) log2 (1 ? x) ,其中 0 ? x ? 1 则 f ( x) = g ( x) + g(1- x ) 由于 f ( x) / ? log2 x ? log2 (1 ? x) , 至 此 中 学 里 先 求 出 导 数 f ( x) / ? log2 x ? log2 (1 ? x) 的 零 点 x ?
1 ,将 2 1 判断函数 f ( x) 在两个区间上的单调性, 可以发现 x ? 区间(0 ? x ? 1) 一分为二, 2

时函数 f ( x) 的最小值点。 而高等数学里则继续求导 g ( x) // ?
1 >0 x ln 2

所以 g ( x)在开区间 ?0,1? 内的图像是严格下凹的 由 Jensen 不等式有 g ( 即
x ?1? x 1 ) ? [ g ( x) ? g (1 ? x)] 2 2 1 1 1 g ( x) + g (1 ? x) ? 2 g ( ) ? 2 ? log 2 ? -1 2 2 2

所以 f ( x) ? -1 ,即 f ( x) 的最小值是-1
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(II)一般方法,构造函数 g ( x) ? x log2 x ? x ? 1
g / ( x) ? log 2 x ? 1 1 ? 1, 则当 x ? 1时, log 2 x ? 1, ?0 ln 2 ln 2

当x ? 1时,g / ( x) ? 0,即g ( x)在?1 , ? ??上是增函数
g ( x) ? g (1) ? 0,即 x log2 x ? x ? 1 ? 0 x log2 x ? x ? 1
令x ? 2 m Pi,则有 2 m Pi log 2 2 m Pi ? 2 m Pi ? 1, 两边同时除以 2 m 得Pi log 2 (2 m Pi ) ? Pi -

?

?

1 2m

所以 P1 log 2 (2 m P1 ) ? P1 -

1 1 1 , P2 log 2 (2 m P2 ) ? P2 - m , P3 log 2 (2 m P3 ) ? P3 - m ?? m 2 2 2

所以 P log2 P2m ? ? m 1 log2 P 1 ?P 2 log2 P2 ? ? ? P 2m 高等数学里借助 Jensen 不等式
g( P1 ? P2 ? ? ? P2m 2
m

)?

1 [ g ( P1 ) ? g ( P2 ) ? ? ? g ( P2m ) ] 2m

将P 1 ?P 2 ?P 3 +?+ P2 m =1 代入上式左边得
1 1 ) ? m [ g ( P1 ) ? g ( P2 ) ? ? ? g ( P2m ) ] m 2 2 1 1 1 1 所以 g ( P1 ) ? g ( P2 ) ? ? ? g ( P2m ) ? m g ( m ) ? 2 m × m log 2 m ? ? m 2 2 2 2 g(

即P log2 P2m ? ? m 1 log2 P 1 ?P 2 log2 P2 ? ? ? P 2m 观察上述解题步骤,可以看出中学数学和高等数学中都通过构造函数来解 题,中学里通过求导求最值,计算上繁琐一点,高等数学里则是借助 Jensen 不 等式。第二问中学里继续构造函数求解,对学生的思维能力要求高,高等数学里 则继续套用 Jensen 不等式。

定 理 3 ( 根的 存在 性定理) 如果 函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续 ,且
f (a) ? f (b) ? 0 那么在开区间 ?a, b ? 内至少有一点 ? ,使 f ?? ? =0

例 4 (2004 年广东高考题) 设函数f ( x) ? x ? ln(x ? m) ,其中常数 m 为整数 (I)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 ;

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(II)当 m >1 时,方程 f ( x) =0 在[ e ?m ? m, e 2m ? m ]内有两个实数根 分析 第二问考查的是方程在某个区间上的实数根个数的问题,而且明确了是两 个实数根, 由根的存在性定理可以确定某个区间上有无一个实数根,所以我们会 考虑将区间一分为二来看。 解 (I)过程略 (II)由条件 m >1 知 e ? m ? 1< e 2 m , 则 e ? m - m < 1 ? m ? e 2m - m 于是将闭区间[ e ?m ? m, e 2m ? m ]分解为[ e ?m ? m,1 ? m ]和[ 1 ? m, e 2m ? m ]两部分 当 x ? [e ?m ? m,1 ? m] 且 m ? 1 时, f (1 ? m) ? 1 ? m ? ln(1 ? m ? m) ? 1 ? m ? 0

f (e ?m ? m) ? e ?m ? m ? ln(e ?m ? m ? m) ? e ?m ? 0
则 f (1 ? m) ? f (e ?m ? m) ? 0 因为 f / ( x) ? 1 ?
1 , 且 x ? [e ?m ? m,1 ? m] x?m

所以 f / ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间[ e ?m ? m,1 ? m ]上连续且单调递减 由根的存在性定理知, f ( x) 在开区间 e ?m ? m,1 ? m 内存在唯一的 x1 ,使得

?

?

f ( x1 ) ? 0
1 因为 f (e 2m ? m) ? e 2m ? 3m ? 22m ? 3m ? (3 ? 1) m ? 3m ? 3m ? Cm ? 3m?1 ? ? m?1 ? Cm ? 3 ? 1 ? 3m ? 0

又 f ( x) 在闭区间[ 1 ? m, e 2m ? m ]上连续且单调递减 所以 f ( x) 在开区间 1 ? m, e 2m ? m 内存在唯一的 x2 ,使得 f ( x2 ) ? 0 综上所述,当当 m >1 时,方程 f ( x) =0 在[ e ?m ? m, e 2m ? m ]内有两个实数根 综上可以发现, 高考的试题越来越贴近高等数学知识,高等数学知识下移到 中学教材中去是中学改革的趋势,所以中学教师要注意全面地把握教材,站在高 等数学的角度更好地辅助中学数学教学。

?

?

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三 对中学数学教学的几点肤浅建议
通过本课题的研究与分析发现: 高等数学与中学数学在数学思想的应用上有 着一定的共通性; 中学数学知识中夹杂着高等数学知识,高等数学知识又是对中 学数学知识的增加与补充; 同时,运用高等数学解决中学题目往往会带来意想不 到的效果。鉴于以上的结论,我对中学教学有着几点肤浅的看法: 1、 教学目标上, 《数学课程标准》提出不仅要注重知识与技能目标,过程与方 法目标,更要注重情感态度价值观目标。教学目标由二维到三维的扩充表明:教 学过程中, 在注重数学知识本身的同时更要重视学生的情感教育。教师要善于把 握教材本身的情感因素, 要学会用数学所具有的魅力去吸引学生,使学生产生强 烈的情感共鸣,端正学生的学习态度,树立正确的价值观。 2、 教学内容上, 中学数学学习的内容中知识点较少, 相对的学习时间较为充足, 所以教师在教学过程中要借助数学史和高等数学等内容充分挖掘中学数学知识 的背景材料, 加以体现 “数学学习内容应当是现实的、 有意义的、 富有挑战性的” 这一新课程理念。 同时教师要注重帮助学生进行知识点的迁移,帮助他们进行适 当的总结, 启发他们建立自己适用的知识结构体系与框架。更要注重与高等数学 接轨的内容, 所以在教学过程中, 在中学生已有的知识基础上, 教师要注重拓展, 与高等数学做好对接,为学生应付高考以及学习高等数学知识奠定基础。 3、 教学过程中,要注意提高学生观察,比较,分析,概括,归纳等思维能力, 更要注重改变传统的师生地位, 使师生进行角色互换, 这样既体现了新课标中 “不 仅要培养学生分析解决问题的能力,还要培养学生观察比较的能力”这一理念, 更是遵循了数学课程标准中“教师为主导,学生为主体,训练为主线”这一指导 思想。 4、 教学方法是教学活动顺利进行的关键性因素,传统的教学方法是讲授法为

主, 这样虽然可以全面系统的向学生传授数学知识,但是只片面地注重教师的地 位,却忽略了学生的主观能动性。为实现教育现代化,教学过程中要加快转变学 生的学习方式,所以教师要注意引导学生进行自主学习、合作学习和探究学习, 充分让学生参与到课堂的教学活动中去。

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参考文献
[1]叶立军.数学方法论[M].浙江大学出版社,2008,30-45 [2]王林全,何小亚.中学数学解题研究[M].科学出版社,2013,127-128 [3]华东师范大学数学系.数学分析第四版上、下册[M].高等教育出版社,2011 [4]吕林根,许子道.解析几何第四版[M].高等教育出版社,2010 [5]赵临龙.常微分方程的思想方法及在中学数学在的应用[J].安康师专学报,2000,12 (2):47-52 [6]包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报,2003,23(2):4-5 [7]蒋亦东.论高等数学课程对中学数学教育的功能[J].杭州师范学院学报,1999(8):15 [8]高九安.导数在初等数学中的简单应用[J].高等数学教与学,2005(4):13 [9]谢芳.高等数学与初等数学的联系[J].昭通师专学报,1997,19(2):41-44 [10]崔素红.高等数学在解决初等数学中的应用[J].哈尔滨师专学报,1998(1):2-4

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本文是在导师张晓丽教授的悉心指导下完成的。 张老师细心认真地帮助我选 题,从旁协助我开题,一般又一遍、不厌其烦地帮助我修改论文,尤其是论文的 初稿。在与张老师一起完成论文的过程中,我受益良多,在以后的工作中我要向 张老师学习,学习她对学生的耐心,做事精益求精,认真负责的风格。在此我想 向张晓丽老师致以崇高的敬意。 在最后,我要感谢父母辛勤的付出,感谢同学们不离不弃的陪伴,老师大公 无私的奉献。论文的完成为我的大学生活写下了最后一个篇章。

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