9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

高等数学(2017高教五版)课件二重积分习题课(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件二重积分习题课(工科类)_图文

第四讲 二重积分习题课

二重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

二重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

?概念 ?背景 ?性质

f (? ,? )? ? ? ?? f ( x , y )d? ? lim ?
D ?0 i ?1 i i

n

i

曲顶柱体的体积

不均匀平面薄片的质量

线性 可加性 几何意义 不等式 估值 中值

?计算
画出区域 草图 选择 坐标系 选择 积分次序 确定 积分限
计算 累次积分

一般选直角坐标系 三变、一勿忘 特殊情况选极坐标系

区域形状、被积函数 扫动、发射

一般,先ρ后θ

旋转、发射

二重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

二重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

二、题型练习
(一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

二、题型练习
(一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

?D关于坐标轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称类似 ?D关于原点对称
D1

D1

?? f ( x , y )d? ?
D

0

f ( x, ? y) ? ? f ( x, y)

2 ?? f ( x , y )d? f ( x , ? y ) ? f ( x , y )
D1

?? f ( x , y )d? ?
D

0

f ( x, ? y) ? ? f ( x, y)

2 ?? f ( x , y )d? f ( x , ? y ) ? f ( x , y )
D1

?D关于y=x对称
D2 D1

?? f ( x , y )d? ? ?? f ( y , x )d?
D D

?? f ( x , y )d? ? ?? f ( x , y )d?
D1 D2

f ( x, y) ? f ( y, x)

?

1 f ( x , y )d? ?? 2D

?例1 设区域 D1 : ? 1 ? x ? 1, ? 2 ? y ? 2; D 2 : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2;

I 1 ? ?? f ( x 2 ? y 2 )d ? , I 2 ? ?? f ( x 2 ? y 2 )d ? , I1 和I2有何关系?
D1 D2

?例2 设区域D由 y ? 1 ? x 2 , y ? 0 围成, D1是D在第一象限的部分,
2 2 ( x ? 3 xy )d ? ? _____ ?? D

?例3 设区域D由 y ? sin x , y ? 0, ? ? ? x ? ? 围成,

D1是D在第一象限的部分,

?? ( x ? y ) sin( xy )d? ? _____
D

?例4 设区域D由 x ? y ? 1 围成, D1是D在第一象限的部分,
n n ( x ? y )d ? ? _____ ?? D

二、题型练习
(一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

二、题型练习
(一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

2 sin y d xd y ?例5 ?? D

y

D:1≤x≤3,x-1≤y≤2 ?例 6 ?补 1 ?例 7 ?例 8
2 2 x y cos( xy )d xd y D:0≤x≤π/2,0≤y≤2 ?? D

o

x

?? x
D
e

y
2

ye xy d xd y
1
2

D:0≤x≤1,0≤y≤1 ?补 2

ey ?1 dx ?ln x x dy

?

1 0

dx ? x 2e ? y dy
2

1

o

x

x

?? ? x
D

2

? y 2 ? dxdy

D : 2x ? x2 ? y ? 4 ? x2

?例 5 ?例 6

?? sin y dxdy
2 D

D:1≤x≤3,x-1≤y≤2

y

?? x
D D

2

y cos( xy 2 )d xd y D:0≤x≤π/2,0≤y≤2

o

x

?补 1
?例 7 ?例 8

2 xy x y e d xd y ??

D:0≤x≤1,0≤y≤1 ?补 2

ey ?1 dx ?ln x x dy
e 1

2

?

1 0

dx ? x 2e ? y dy
2

1

y

x

?? ? x
D

2

? y 2 ? dxdy

D : 2x ? x2 ? y ? 4 ? x2

o

x

?例 5 ?例 6

?? sin y dxdy
2 D

D:1≤x≤3,x-1≤y≤2

y

?? x
D D

2

y cos( xy 2 )d xd y D:0≤x≤π/2,0≤y≤2

o

x

?补 1
?例 7 ?例 8

2 xy x y e d xd y ??

D:0≤x≤1,0≤y≤1 ?补 2

ey ?1 dx ?ln x x dy
e 1

2

?

1 0

dx ? x 2e ? y dy
2

1

y

x

?? ? x
D D

2

? y 2 ? dxdy

D : 2x ? x2 ? y ? 4 ? x2 D : x ? y ? 2x ? x2

o y

x

?例 9

?? xdxdy

o

x

?例 5 ?例 6

?? sin y dxdy
2 D

D:1≤x≤3,x-1≤y≤2

y

?? x
D D

2

y cos( xy 2 )d xd y D:0≤x≤π/2,0≤y≤2

o

x

?补 1
?例 7 ?例 8

2 xy x y e d xd y ??

D:0≤x≤1,0≤y≤1 ?补 2

ey ?1 dx ?ln x x dy
e 1

2

?

1 0

dx ? x 2e ? y dy
2

1

y

x

?? ? x
D D

2

? y 2 ? dxdy

D : 2x ? x2 ? y ? 4 ? x2

o y

x

?例 9
?例10

?? xdxdy ?? ydxdy
D

D : x ? y ? 2x ? x2
D同例10

o

x

?例11

?? ? x ? y ? dxdy
D

D:x ? y ? x? y
2 2

y

?例12

??
D

d xd y

?a
R 2 0

2

?x ?y
2

3 2 2

?

D : 0 ? x ? a, 0 ? y ? a,

o

x

?例13

?

e

? y2

dy ? e
0

y

? x2

dx ? ? R e
2

R

? y2

dy ?

R2 ? y2 0

e ? x dx

2

y

o

x

?例11

?? ? x ? y ? dxdy
D

D:x ? y ? x? y
2 2

y

?例12

??
D

d xd y

?a
R 2 0

2

?x ?y
2

3 2 2

?

D : 0 ? x ? a, 0 ? y ? a,

o

x

?例13

?

e

? y2

dy ? e
0

y

? x2

dx ? ? R e
2

R

? y2

dy ?

R2 ? y2 0

e ? x dx

2

y

?补 3

?

e 0

dy ?

2

1

e2 2 ln x ln x dx ? ? dy ? dx x x e ln y e e

o

x

二、题型练习 (一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

二、题型练习 (一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

二、题型练习 (一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

?例14

??
D

y
y ? x 2 dxdy

D:-1≤x≤1,0≤y≤1
o x

?例14 ?补 4
?例15

??
D

y
y ? x 2 dxdy

D:-1≤x≤1,0≤y≤1

D1 o D2 y D2 D1 o y x x

??
D D

x ? y dxdy D : y ?

4 ? x 2 , y ? 0, x ? 0

?? sin( x ? y )dxdy

D:0≤x≤π,0≤y≤π

?补 5
?例16

π cos( x ? y )d x d y D : y ? x , y ? 0, x ? 围成 ?? 2 D
2 2 sgn x ? y ? 2 ?d xd y ? ?? D

D : x2 ? y2 ? 4

o

x

?例14 ?补 4
?例15

??
D

y
y ? x 2 dxdy

D:-1≤x≤1,0≤y≤1

D1 o D2 y D2 D1 o y x x

??
D D

x ? y dxdy D : y ?

4 ? x 2 , y ? 0, x ? 0

?? sin( x ? y )dxdy

D:0≤x≤π,0≤y≤π

?补 5
?例16

π cos( x ? y )d x d y D : y ? x , y ? 0, x ? 围成 ?? 2 D
2 2 sgn x ? y ? 2 ?d xd y ? ?? D

D : x2 ? y2 ? 4

?补 6

?? e
D

max x 2 , y 2

?

? d xd y

D : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1
o x

二、题型练习 (一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

二、题型练习 (一)利用对称性简化计算 (二)选择坐标系和积分次序 (三)交换积分次序

(四)绝对值函数的二重积分
(五)证明题

(五) 证明题
1.利用二重积分性质
2.利用交换积分次序

(五) 证明题
1.利用二重积分性质
2.利用交换积分次序

?例17

f ( x ) ? C [ a , b ], f ( x ) ? 0, 证明 f ( x ) ? C [ a , b ], 证明

?

b a

f ( x )dx ?
2

b a

?例18
?例19

??

b a

f ( x )dx

? ? (b ? a )?
a

1 d x ? ( b ? a )2 . f ( x)
b a

f 2 ( x )dx .
a 2

f ( x ) ? C [0, a ], 证明 2 f ( x )d x f ( y )dy ? ? f ( x )dx ? . ?0 ?x ? ? ? ?0 ?
a

?例20 p ( x ) ? 0, p ( x ) ? C [ a , b ], f ( x ), g ( x ) ? C [ a , b ] 单调增加, 证明

?

b a

p ( x ) f ( x )d x ? p ( x ) g ( x )d x ? ? p ( x )d x ? p ( x ) f ( x ) g ( x )dx .
a a a

b

b

b

(五) 证明题
1.利用二重积分性质
2.利用交换积分次序

(五) 证明题
1.利用二重积分性质
2.利用交换积分次序

?例21 证明

?

b a b a

dx ? ( x ? y )
a

x

n? 2

1 b n ?1 f ( y )d y ? ( b ? y ) f ( y )d y . ? a n?1

?例22 证明

?

dy ?

y a

1 b n?1 ( y ? x ) f ( x )dx ? ( b ? x ) f ( x )dx . n ? 1 ?a
n
t ?0

?例23 F ( t ) ? ?? f ( x 2 ? y 2 )d ? , D : x 2 ? y 2 ? t 2 , 求 lim
D

F (t ) . 2 t


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com