9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

振动与波动习题课_图文

振动与波动习题课_图文

1.一质点作简谐振动,振动方程 x =Acos(wt+?),当时间 t =T/4 (T 为周期 )时,质点的速度为:
( A ) ? Aw sin ? ;

( B) Aw sin ? ;
(C) ? Aw cos ? ;

( D) Aw cos ? .
[ C ]

2.一单摆,把它从平衡位置拉开,使摆线 与竖直方向成一微小角度 ? ,然后由静 止放手任其摆动,若自放手时开始计时, 如用余弦函数表示其运动方程,则该单 摆振动的初位相为:
(A)?; (B)?; (C)0; (D)?/2 [ B,C ]

3. 一质量为 m 的滑块,两边分别与劲度系 数为 k1 和 k2 的轻弹簧联接,两弹簧的另 外两端分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑 的水平面上滑动,o 点为平衡位置。将滑 块m向左移动了 x0 的距离,自静止释放, 并从释放时开始计时,取坐标如图示,则 振动方程为:
k1
m

k2
x

x0

O

?A ?x ? x 0 cos[ (k1 ? k2) ? t ]; ?B?x ? x 0 cos[ k1 k2 / m(k1 ? k2) ? t ? ? ]; ?C?x ? x0 cos (k1 ? k2) / m ? t ? ? ; ?D?x ? x 0 cos??k1 ? k2 ? / m ? t ? ? ?; ?E?x ? x 0 cos[?k1 ? k2 ? / m ? t ].
k1
m

k2
x

x0

O

[ C ]

4.一物体做谐振动,振幅为 A,在起始时 刻质点的位移为 ?A/2 且向 x 轴的正方向 运动,代表此谐振动的旋转矢量图为:
w w
A
O

(A)
w

A/2

x

( B)
w

O

A/2

A

x

(C )

A
O

? A/2

x

( D)

? A/2
O

x

A

[ D ]

5.若A、B、C、D四质点的运动方程分别 为:

(A) xA= at + bcoswt; (B) xB= asinwt + bcoswt; (C) xC= asinwt + bcos2wt; (D) xD= asinwt coswt 其中 a、b、w 均为大于零的常量,则其中 作谐振动的质点为: [ B,D ]

1.在下面几种说法中,正确的说法是:
(A)波源不动时,波源的振动频率与波 动的频率在数值上是不同的; (B)波源振动的速度与波速相同; (C)在波传播方向上的任一质点的振动 位相总是比波源的位相滞后; (D)在波传播方向上的任一质点的振动 位相总是比波源的位相超前。

[ C ]

2.一简谐波沿X轴正方向传播,图中所示为 t =T /4 时的波形曲线。若振动以余弦函数 表示,且次提各点振动的初相取 ?? 到 ? 之间的值,则: (A)0点的初位相为 ?0= 0; (B)1点的初位相为 ?1= ? ? /2; (C)2点的初位相为 ?2= ? (D)3点的初位相为 ?3= ? ? /2;
y
u

0

1

2 3 4

x

[ D ]

3.一平面简谐波的波动方程为 y=0.1cos(3?t??x+?) (SI) , t =0 时的波形曲线如图所示,则: (A)a点的振幅为 ?0.1m; (B)波长为 4m; (C)两点间位相差为 ? /2; (D)波速为 6 m· s?1。
y( m )

u

0 .1
? 0 .1
0

a

b

x( m )

[ C ]

4.若一平面间谐波的波方程为 y=Acos(Bt?Cx),式中A,B,C为正值恒 量,则 (A)波速为C/B; (B)周期为 1/B; (C)波长为C/2? ; (D)圆频率为 B。

[ D ]

5.一平面简谐波沿正方相传播,t=0 时刻 的波形如图所示,则 P 处质点的振动在 t=0 时刻的旋转矢量图是
y
A
o

u

P

x

( A)

o

x
w

( B)
w

o

w
A

x

A

(C )
w

A

o

x

( D)

A
o

x

[A]

10.两列相干波,其波动方程为 y1=Acos2?(?t?x/?)和y2=Acos2?(?t+x/?) , 沿相反方向传播叠加形成的驻波中,各处 的振幅是:

( A ) 2A
( B) |2 A cos?2??t ?|
(C) 2 A cos?2?x / ? ?

( D) |2 A cos?2?x / ? ?|

[ D ]

11.入图所示,为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图,当波从波疏介质入射到波 密介质表面 BC,在 P 点反射时,反射波 在 t 时刻波形图为 y y
A

y
o ?A

B P
x

P
x

A
O

o

x

P

( A)
y
A
o

( B)
y
P
x

C

A
O

[ A ]

P

x

(C )

( D)

12.设声波在媒质中的传播速度为 u,声源 的频率为 ?S,若声源 S 不动,而接收器 R 相对于媒质以速度 vR 沿 S、R 连线向着声 源 S 运动,则接收器 R 接收到的信号频率 为 u ? v R ( A )? S ( B) ?s u
u ? vR (C) ?S; u
u ( D) ?S u ? vR

[ B ]

13.两列完全相同的平面简谐波相向而行 形成驻波。以下几种说法中为驻波所特有 的特征是:
(A)有些质元总是静止不动; (B)迭加后各质点振动相位依次落后; (C)波节两侧的质元振动位相相反; (D)质元的振动能与势能之和不守恒。

[ C ]

1.在夫琅和费单缝衍射中,对于给定的入 射光,当缝宽度变小时,除中央亮纹的中 心位置不变外,各级衍射条纹。
(A) 对应的衍射角变小; (B) 对应的衍射角变大; (C) 对应的衍射角也不变; (D) 光强也不变。

[ B ]

2.在如图所示的单缝夫琅和费衍射实验装 置中,S 为单缝,L 为透镜,C 放在 L 的 焦平面处的屏幕。当把单缝 S垂直于透镜 光轴稍微向上平移时,屏幕上的衍射图样。
(A)向上平移; (C)不动;
L

(B) 向下平移; (D)条纹间距变大。
C

S

[ C ]

3.波长 ? ? 500 nm 的单色光垂直照射到宽 度 a = 0.25 mm 的单缝上,单缝后面放置 一凸透镜, 在凸透镜的焦平面上放置一屏 幕,用以观测衍射条纹,今测得屏幕上中 央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三 个暗条纹的暗条纹之间的距离 d =12 mm 为,则透镜的焦距 f 为:

(A) 2m (D) 0.2m

(B) 1m (E) 0.1m

(C) 0.5m [ B ]

4.某元素的特征光谱中含有波长分别为 ?1 ? 450 nm 和 ?2 ? 750 nm (1nm=10?9m) 的光谱线,在光栅光谱中,这两种波长的 谱线有重叠现象,重叠处的谱线的级数将 是: (A) 2,3,4,5· · · · · · (B) 2,5,8,11 · · · · · · (C) 2,4,6,8 · · · · · · (D) 3,6,9,12 · · · · · ·

[ D ]

5.一束平行单色光垂直入射在光栅上,当 光栅常数 ( a+b ) 为下列情况 ( a 代表每条 缝的宽度) k = 3 、6 、9 等级次的主极大 均不出现? (A) a+b= 2a (B) a+b= 3a

(C) a+b= 4a

(D) a+b= 6a

[ B ]

8.一束光强为 I0 的自然光垂直穿过两个偏 振片,且此两偏振片的偏振化方向成 45 ? 角,若不考虑偏振片的反射和吸收,则穿 过两个偏振片后的光强为:
(A) 2 I 0 / 4; (C) I 0 / 2; (B) I 0 / 4; (D) 2 I 0 / 2.

[ B ]

9.三个偏振片 P1、P2与P3 堆叠在一起, P1 与 P3 的片振化方向相互垂直,P2 与 P1 的片振化方向间的夹角为 30 ? 。强度 为 I0 的自然光垂直入射到偏振片 P1,并 依次透过偏振片 P1、P2 与 P3,若不考虑 偏振片的吸收和反射,则通过三个偏振片 后的光光强为: (B) 3 I 0 / 8; (A) I 0 / 4;
(C) 3 I 0 / 32; (D) I 0 / 16.

[ C ]

10.自然光以 60 ? 的入射角照射到某一透 明介质表面时,反射光为线偏振光,则知: (A)折射光为线偏振光 30 ? ; (B)折射光为部分偏振光,折射角为 30 ? ; (C)折射光为线偏振光,折射角不能确 定; (D)折射光为部分偏振光,折射角不能 确定; [ B ]

11.一束自然光自空气射 向一块平板玻璃(如图), 设入射角等于布儒斯特角 i0,则在界面 2 的反射光

i0

1 2

(A)光强为零; (B)是完全偏振光且光矢量的振动方向 垂直于入射面; (C)是完全偏振光且光矢量的振动方向 平行于入射面; (D)是部分偏振光。 [ B ]

12.一束光是自然光和线偏振光的混合光, 让它们垂直通过一偏振片,若以此入射光 束为轴旋转偏振片,测得透射光强度最大 值是最小值的 5 倍,那么入射光束中自然 光与线偏振光的光强比值为: (A) 1/2 ; (C) 1/3; (B) 1/5; (D) 2/3.

[ A ]

13.两偏振片堆叠在一起,一束自然光垂 直入射其上时没有光线透过。当其中一偏 振片慢慢转动180 °时透射光强度发生的 变化为:
(A)光强单调增加; (B)光强先增加,后有减小至零; (C)光强先增加,后减小,再增加; (D)光强先增加,然后减小,再增加再 减小至零。

[ B ]

14.使一光强为 I0 的平面偏振光先后通过 两个偏振片 P1 和 P2 . P1 和 P2 的偏振化方 向与原入射光光矢量振动方向的夹角是a 和 90? ,则通过这两个偏振片后的光强 I 是: 1 2 (B) 0. I cos a . (A) 0 2 1 2 1 2 (D) I 0 sin α. (C) I 0 sin (2α ). 4 4 (E) I 0 cos4 a. [ C ]

15.用劈尖干涉法可检测工件表面缺陷,当 波长为 ? 的单色平行光垂直入射,若观察 到的干涉条纹如图所示,每一条纹弯曲部 分的顶点恰好与其左边条纹的直线部分的 连线相切,则工件表面与条纹弯曲处对应 的部分:

空气劈尖
工件

平面玻璃

(A)凸起,且高度为 ? /4; (B)凸起,且高度为 ? /2; (C)凹陷,且深度为 ? /2; (D)凹陷,且深度为 ? /4。

空气劈尖 工件

平面玻璃

[ C ]

16.如图,用单色光垂直照射在观察牛顿 环的装置上,设其平凸透镜可以在垂直的 方向上移动,在透镜离开平玻璃过程中, 可以观察到这些环状干涉条纹。 (A)向右平移; (B)向中心收缩; (C)向外扩张; (D)静止不动; (E)向左平移。
单色光

空气

[ B ]

17.在迈克耳逊干涉仪的一条光路,放入 一厚度为 d,折射为 n 的透明薄片,放 入后,这条光路的光程改变了
(A) 2(n?1)d; (B) 2nd; (C) 2(n+1)d+?/2; (D) nd; (E) (n?1)d. [ A ]

19.在双缝干涉实验中,为使屏上的干涉条 纹间距变大,可以采取的办法是 (A)使屏靠近双缝。 (B)使两缝的间距变小。 (C) 把两个缝的宽度稍微调窄。 (D) 改用波长较小的单色光源。

[ B ]

20.根据惠更斯-菲涅耳原理,若已知光在某 时刻的波阵面为 S,则 S 的前方某点 P 的 光强度决定于波阵面 S 上所在面积元发出 的子波各自传到 P 点的 (A)振动振幅之和; (B)光强之和; (C)振动振幅之和的平方; (D)振动的相干叠加。

[ D ]

21.一束光是自然光和线偏振光的混合光, 让它垂直通过一偏振片。若以此入射光束 为轴旋转偏振片,测得透射光强度最大值 是最小值的 5 倍,那么入射光束中自然光 与线偏振光的光强比值为

(A)1/2
(C)1/3

(B)1/5
(D)2/3

[ A ]

22.自然光以布儒斯特角由空气入射到一 玻璃表面上,反射光是 (A)在入射面内振动的完全偏振光。

(B)平行于入射面的振动占优势的部分 偏振光。
(C)垂直于入射面振动的完全偏振光。 (D) 垂直于入射面的振动占优势的部 分偏振光. [ C ]

23.在真空中波长为 ? 的单色光,在折射率 为 n 的透明介质中从 A 沿某路径传播到 B ,若 A、B 两点位相差为 3?,则此路径 AB的光程为 ( A ) 1.5? (C)3? ( B ) 1.5 n? ( D ) 1.5 ?/n

[ A ]

24.一束波长?为的平行单色光垂直入射到一 单缝 AB 上,装置如图,在屏幕 D 上形成 衍射图样,如果 P 是中央亮纹一侧第一个 BC 暗纹所在的位置,则 的长度为
( A ) ?. ( B ) ? /2. ( C ) 3 ?/2. ( D ) 2 ?.
L D P

?

A B C

F



[ A ]

25.在双缝干涉实验中,为使屏上的干涉条 纹间距变大,可以采取的办法是:

(A)使屏靠近双缝; (B)使两缝的间距变小; (C)把两个缝的宽度稍微调窄; (D)改用波长较小的单色光源。

[ B ]

27.在双缝干涉实验中,双缝间距为 2mm, 双缝与屏的间距为 300cm,入射光的波 长为 600nm,在屏上形成的干涉图样的 明纹间距为 (1nm=10?9m)。 (A)4.5nm; (C)3.1nm; (B)0.9nm; (D)1.2nm。

[ B ]

28.在折射率为 n’ =1.68 的平板玻璃表面 涂一层折射率为 n =1.38 的 MgF2 透明薄 膜,可以减少玻璃表面的反射光,若用波 长?=500nm (1nm=10-9m)的单色光垂直 入射,为了尽量减少反射,则MgF2薄膜的 最小厚度应是:
(A)90.6nm; (C)181.2nm; (B)78.1nm; (D)156.3nm.

[ A ]

6.一质点做谐振动,其振动方程为: x =6.0?10?2cos(?t /3 ??/4),(SI) (1)振幅、周期、频率及处位相各为多 少? (2)当 x 值为多大时,系统的势能为总 能量的一半? (3)质点从平衡位置移动到此位置所需 最短时间为多少? ?2 ( 1 ) A ? 6 ? ? w ? ? / 3, 解: 10 m, w 1 ?? ? ? Hz, 2? 6

w (2)势能
总能

T?

2?

?

1

?

? 6s,
2

? ? ?? / 4

E p ? kx / 2,

E ? kA / 2
2
2 2

由题意, kx / 2 ? kA / 4, ?2 x ? ?4.24 ? 10 m
(3)从平衡位置运动到 x ? ? A / 2 的最短时间为 T / 8。
? 6 / 8 ? 0.75s

7.一轻弹簧的劲度系数为 200N· m?1,现将 质量为 4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端, 使其在平衡位置下方 0.1m 处由静止开始 运动,若由此时刻开始计时,求: (1)物体的振动方程(自选坐标系); (2)物体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对 物体的拉力; (3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到 它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。
解:

w ? k / m ? 7.07rad ? s

?1

(1)选平衡位置为原点,x轴指向下方(如 图所示) t=0时:

x 0 ? 0.1 ? A cos; v0 ? 0 ? ? Aw sin ? ? ?0 由以上两式的 A ? 0.1m,
?振动方程
x ? 0.1 cos?7.07t ?

(SI)

(2)物体在平衡位置上方 5cm时,弹簧对 物体的拉力
f ? m? g ? a ?

而a ? ? w 2 x ? 2.5m ? s?2 ? f ? 4?9.8 ? 2.5? ? 29 .2N

(3)设t时刻物体在平衡位置,此时 x =0, 即

0 ? A cosw t1 或 cosw t1 ? 0

因此时物体向上运动 v ? 0, ?w t1 ? ? / 2, t1 ? ? / 2w 再设时刻物体在平衡位置上方 5 cm 处, 此时 x =? 5 cm 即: ? 0.5 ? 0.1 cos wt2 , cosw t2 ? ?1 / 2

? v ? 0,

wt2 ? 2? / 3
t2 ? 2? / 3w

?t ? t2 ? t1 ? 2? / 3w ? ? / 2w
? ? / 6w ? 0.074 s

8.一质点在 x 轴上作谐振动,选取该质点 向右运动通过 A 点时作为计时起点 ( t=0 ), 经过 2 秒后质点第一次经过 B 点,再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点,若已知该质 点在 A、B 两点具有相同的速率,且 AB=10 cm。求: t ? 4s (1)质点的振动方程; (2)质点 A 在点处的速率。 A B 解:由旋转矢量图 和 ?vA?=?vB? 可知 T / 2 = 4s
vA vB
x
t?0
t ? 2s

?T ? 8s,

t ? 4s

? ? 1 / 8s ,
?1

A vA t?0

B vB
t ? 2s

x

w ? 2?? ? ? / 4

(1) 以AB的中点为坐标原点, x 轴指向右方. t=0时, x ? ?5cm ? A cos ? t=2s时, x ? ?5cm ? A cos(2w ? ? )? ? A sin ? 由上两式可解得
A ? 5 2cm, tg? ? 1

因为在A点质点的速 度大于零,所以 ? ? ?3? / 4 或 5? / 4
?运动方程

t ? 4s

A vA t?0

B vB
t ? 2s

x

x ? 5 2 ? 10?2 cos??t / 4 ? 3? / 4 ?

(SI)

dx ? ?2 (2)v ? ? ?5 2 ? 10 sin??t / 4 ? 3? / 4 ? 4 dt

t=0时,

v ? 5? / 4 ? 10

?2

(SI)

6.某质点做简谐振动,周期为 2s,振幅为 0.06m,开始计时 (t=0),质点恰好处在 A/2 处且向负方向运动,求: (1)该质点的振动方程; (2)此振动以速度 u = 2m/s 沿 x 轴正方 向传播时,形成的平面简谐波的波动方程; (3)该波的波长。 2? ?1 ( 1 ) w ? 解: ? ? s , A ? 0.06 T t ? 0时, x 0 ? 0.03 ? 0.06 cos? ,

v0 ? ?0.06? sin ? ? 0
?? ? ? / 3
振动方程 y0 ? 0.06 cos??t ? ? / 3? (SI)
(2)波动方程,以该质点的平衡位置为 坐标原点,振动的传播速度方向为坐标轴 正方向。 y ? 0.06 cos?? ?t ? x / u ? ? ? / 3 ?
? 0.06 cos?? ?t ? x / 2? ? ? / 3? (SI)

(3)波长

? ? uT ? 4 m

7.一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s自左向右传播。已知在波线上的某点A 的振动方程为 y=3cos(4?t? ?) (SI) 另一 点 D在 A 点右方 18 米处。 (1)若取x轴方向向左并以 A 为坐标原点, 试写出波动方程,并求出 D 点的振动方程。 (2)若取 x 轴方向向右以 A 点左方 10m 处的 o 点为 x 坐标原点,重新写出波动方 程及 D 点的振动方程。
y
x
o

u
A
D

y
o

u
A D

x

解:(1)任取一点P,可得波动方程为 y ? 3 cos?4?t ? ?x / 5 ? ? ? (SI)

x D ? ?18m 代如上式有

yD ? 3 cos?4?t ? ?x / 5 ? ? ?
? 3 cos?4?t ? 23? / 5 ? (SI)
y
x x
P A

c
D

(2)任取一点P,可得波动方程为
? ? x ? 10 ? ? y ? cos?4? ? t ? ? ?? ? 20 ? ? ? ?

? 3 cos?4?t ? ?x / 5 ? ? ? (SI)

x D ? 28m 代如上式有 yD ? 3 cos( 4?t ? 28? / 5 ? ? )
? 3 cos?4?t ? 23? / 5 ? (SI)
y
x
c
A P D

x

8.一平面简谐波,波速为 340m· s?1,频率 为 300Hz,在横截面积为 3.00 ? 10?2m2的 管内的空气中传播,若在10内通过截面的 能量为 2.70 ? 10?2J,求: (1)通过截面的平均能流; (2)波的平均能流密度; (3)波的平均能量密度。 ?3 ?1 ( 1 ) P ? W / t ? ? 2 . 70 ? J ? 解: 10 S ?

( 2 ) I ? P / S ? 9.00 ?10?2 ?J ? S?1 ? m?2 ?

(3) I ? wu

w ? I / u ? 2.56 ?10?4 ?J ? m?3 ?

9.如图所示为一平面简谐在 t=0 时刻的波 形图,设此简谐波的频率为 250Hz,若波 沿 x 负方向传播。 (1)该波的波动方程; (2)画出 t =T /8 时刻的波形图; (3)距原点 o 为 100m 处质点的振动方 程与振动速度表达式。
y(m)
2 A 2
O

P 100 m

?A

x( m )

解:(1)对原点 o 处质点,t=0 时

2A / 2 ? A cos ? , 所以 ? ? ? / 4
则 o 点的振动方程为

v0 ? ? Aw sin ? ? 0

y0 ? A cos(500?t ? ? / 4) (SI)
y
2 A 2
O

P 100 m

?A

x( m )

波动方程为
y ? A cos?2? (250t ? x / 200) ? ? / 4? (SI)

( 2 )t ? T / 8 ? 1 /(8? ) ? 1/ 2000
代如上式得波形方程
y ? A cos?2? ?250 ? 1 / 2000 ? x / 200? ? ? / 4? ? ? A sin??x / 100 ?

(SI)

由此画出波形图如图所示

t ? T / 8 时,
O

y( m )

波形向左传播

? / 8 ? 25 m 的距离

?A

x( m )

(3)处质点振动方程时: y1 ? A cos?500?t ? 5? / 4 ? (SI) 振动速度表达式是: v ? ?500?A sin?500?t ? 5? / 4 ? (SI)

15.同一介质中两相干波源位于 A、B 两点, 其振幅相等,频率均为 100Hz,位相差为 ?,若 A、B 两点相距 30m,且波的传播 速度 u = 400m· s-1,若以 A 为坐标圆点, 试求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位 置。
解:
A B P

? ? u/ ? ? 4m

o

x

取 P 点为考察点,其坐标为 x;记两波在 P 点的振动位相差为 ??;r1、r2 分别是位 于 A、B 的两波源至 P 点的距离。

x ? AB :

A

B

P

o

r1

r2

x

?? ? ? 2 ? ?1 ? 2? ?r2 ? r1? / ?
? ? ? 2? [ ?x ? AB ? ? x ] / ? ? 16 ?
?该区域也无干涉静止点

同理,x ? 0 :

?? ? ? ? 2? ??AB ? x ? ? ?? x ??/ ? ? ?14 ?
?该区域也无干涉静止点

0 ? x ? AB

A

P
x

B 30 ? x

o

x

?? ? ? ? 2? ??AB ? x ? ? x ?/ ? ? ?x ? 14 ?
满足干涉静止,则 ?? ? ??2k ? 1??

k ? 0,1,2,?

? x ? 14 ? ?2 k ? 1? ? 0 ? x ? AB ? 29m,

?取 k ? 0 ,1,2 ,?,7 ?因干涉而静止的各点之位置为:

x ? 1,3 ,5 ,7 ,??,27 ,29m
A P
x

B 30 ? x

o

x

16.两相干波源 S1 和 S2 的距离为 d=30m, S1 和 S2 都在 x 坐标轴上,S1 位于坐标圆点 o。设由 S1 和 S2 分别发出 的两列波沿 x 轴传播时,强度保持不变, x1=9m 和 x2=12m 处的两点是相邻的两 个因干涉而静止的点。求两波的波长和 两波源间最小位相差。
o
S1
d

S2

x

解:设S1 和 S2的振动初位相分别为?1 和 ?2在 x1点两波引起的振动位相差

?? 2 ? 2? ?d ? x1? / ? ? ? ??1 ? 2? x1 / ? ? ? ?2k ? 1??
?? 2 ? ?1? ? 2? ?d ? 2 x1? / ? ? ?2k ? 1??
(1)

在x2点两波引起的振动位相差

?? 2 ? 2? ?d ? x2? / ? ? ? ??1 ? 2? x2 / ? ? ? ?2k ? 3??
?? 2 ? ?1? ? 2? ?d ? 2 x 2 ? / ? ? ?2k ? 3??(2)

( 2 ) ? ( 1 )得

? ? 2 ?x 2 ? x 1 ? ? 6 m ? 2 ? ?1 ? ?2k ? 1?? ? 2? ?d ? 2 x1? / ?
? ?2k ? 5??

4? ?x 2 ? x1 ?/ ? ? 2? ,

当 k= ?2, ?3时,位相差最小,

? 2 ? ? 1 ? ??

18.在绳上传播的入射波方程为 : y1=Acos(wt+2? x /?) ,入射波在 x =0 处 反射,反射端为固定端,设反射波不衰减, 求驻波方程及波腹和波节的位置。
解:入射波,在 x=0 处引起的振动方程为
y10 ? A cos wt,

因为反射端为固定端,?反射波在x=0处 的振动方程为

y20 ? A cos?wt ? ? ?

?反射波方程为 y2 ? A cos?wt ? 2?x / ? ? ? ?
驻波方程 y ? y1 ? y2
? 2 A cos?2?x / ? ? ? / 2 ? cos?wt ? ? / 2 ? ? A cos?wt ? 2?x / ? ? ? A cos?wt ? 2?x / ? ? ? ?

波腹处 cos?2?x / ? ? ? / 2 ? ? 1

2?x / ? ? ? / 2 ? k?

x ? ? / 2 ?k ? 1/ 2 ? ? ? ?2k ? 1? / 4

k ? 1,2,??

波节处 即

cos?2?x / ? ? ? / 2 ? ? 0

2?x / ? ? ? / 2 ? ?2 k ? 1?? / 2

x ? k? / 2,

k ? 0,1,2,??

d 29.在图示的双缝干涉 实验中,若用薄玻璃 n1 S1 片( 折射率n1 =1.4 ) d 覆盖缝 S1 ,用同样 的玻璃片(但折射率 S 2 n2 n2=1.7)覆盖缝 S2 , 将使屏上原来未放

r1
o

r2

玻璃时的中央明条纹所在处 o 变为第五条 明纹,设单色光波长 l = 480nm ,求玻璃 片的厚度d(可认为光线垂直穿过玻璃 片)。

解:原来

? ? r1 ? r2 ? 0

覆盖玻璃后,

? ? (r2 ? n2d ? d ) ? (r1 ? n1d ? d ) ? 5?
? (n2 ? n1 )d ? 5?

5? ?6 ? 8.0 ?10 m d? n2 ? n1

30.波长范围在450--650nm 之间的复色平 行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的 光栅上,屏幕放在透镜的焦面处,屏上第 二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的焦距 f 。(1nm=10?9m)

解:光栅常数 d ? 1m (5 ?10 ) ? 2 ?10 m
设 ?1 ? 450nm, ? 2 ? 650nm,

?5

?6

则据光栅方程,?1和? 2 的第 2 谱线 dsin?1 ? 2?1 dsin? 2 ? 2?2

据上式得: ?1 ? sin 2?1/d ? 26.74
-1 -1

? ?

? 2 ? sin 2?2/d ? 40.54
第二级光谱的宽度 x2 ? x1 ? f (tg? 2 ? tg?1 )
透镜的焦距
f ? ( x2 ? x1 ) /(tg? 2 ? tg?1 )
? 100 cm

证明题: 32.曲率半径为 R 的平凸透 镜和平玻璃板之间形成劈 形空气薄层,如图示.用波长 为 ? 的单色平行光垂直入 射,观察反射光形成的牛顿 环.设凸透镜和平板玻璃在 中心点 o 恰好接触,设导出 确定第 k 个暗环的半径 r 的公式. (从中心向外数 k 的数目,中心暗斑不算)

?
R
o

R

r

e

解:如题图,半径为处空气层厚度为.考虑到 下表面反射时有半波损失两束反射光的光 程差为 1 2e ? ? 2 ? 暗纹条件: R
1 1 2e ? ? ? (2k ? 1) ? , 2 2 2e ? k? (1) 即:
R
o

r

e

( k ? 0,1,2, ? )

由图得

r ? R ? ( R ? e ) ? 2R e ? e
2 2 2

2

? e ?? R,
2

e ?? 2R e
2

可将式中 e2 略去,得

?
R
o

r e? 2R

R

(2)

将式 (2) 代入 (1), 得暗环半径 r ? kR?

r

e

( k ? 1,2, ? )

(若令 k=0, 即表示中心暗斑)

33.在某个单缝衍射实验中,光源发出的 光含有两种波长 ?1 和 ?2 ,并垂直入射于 单缝上,假如 ?1 的第一级衍射极小与 ?2 的第二级衍射极小相重合,试问: (1)这两种波长之间有何关系? (2)在这两种波长的光所形成的衍射图 样中,是否还有其他极小相重合?

解:(1)由单缝衍射的暗纹公式: a sin? ? ?1 a sin? ? ?1 由题意知 ? 1 ? ? 2 , 代入可得 ?1 ? ? 2

(2) a sin? 1 ? k1 ?1 ? 2 k1 ?2 , (k1 ? 1,2,3 ? ??) 2 k1 ? 2 sin ? 1 ? a 又 ? a sin ? 2 ? k2 ? 2 对于 k2 ? 2k1 , 则? 1 ? ? 2,相应的两暗纹重合。

34.若有一波长为 ??600nm 的单色平行光, 垂直入射到缝宽 a =0.6mm 的单缝上,缝 后有一焦距 f = 40 cm 透镜。 试求: (1)屏上中央明纹的宽度; (2)若在屏上 P 点观察到一明纹, op=1.4mm 问 P 点处是第几级明纹,对 P 点而言狭缝处波面可分成几个半波带? 解:(1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为 中央明纹的宽度

? ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 10 ?x ? 2 f ?
a
? 0.8 ? 10?3 m ? 0.8mm (2)根据单缝衍射的明纹公式:

?7 ?3

0.6 ? 10

a sin ? ? (2k ? 1) / 2 ? ? ? ? ? ?(1)

在衍射角?较小的条件下 x sin ? ? tg? ? ? ? ? ? ? ?(2) f

联立(1)和(2)式得:

1 k ? ax / f? ? 2
? 0.6 ? 10 ? 1.4 ? 10 / 0.4 ? 6 ? 10 ? 1 / 2
?3 ?3 ?7

?3

所以p点所在的位置为第三级明纹, 由a sin ? ? (2k ? 1)? / 2可知

当k ? 3时,可分成2k ? 1 ? 7个半波带。

35.一衍射光栅,每厘米有 200 条透光缝, 每条透光缝宽为 a = 2×10?3 cm ,在光栅 后放一焦距 f =1 m 的凸透镜,现以 ??600nm 的单色平行光垂直照射光栅。 求:(1)透光缝 a 的单缝衍射中央明条纹 宽度为多少? (2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?
解: (1)中央明条纹的半角宽度为

?0
2

?

?
a

? 6 ? 10?7 / 2 ? 10?5 ? 3 ? 10?2 rad

?? 0 / 2 ? 5 ? sin ? ? tg? ? x/f
?

由单缝暗纹公式: a sin ? ? k? ax ? k? f x1 ? f? / a ? 0.03m 取k ? 1, 中央明条纹宽度为 ?x ? 2 x1 ? 0.06m (2)由光栅方程: ( a ? b)sin? ? k' ? k' ? ( a ? b)x / f? ? 2.5

取k' ? 2.所以共有k' ? 0,?1,?2, 等5个主机大。

36.波长为 500nm 的单色光,以 30°入射 角照射在光栅上,发现原在垂直入射时的 中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱 的位置,求此光栅每 1cm 上共有多少条缝? 最多能看到几级光谱?共可看到几条谱线?
解: (1)斜入射时( a ? b)(sin? ? sin ? ) ? k?

原中央明纹处

? ? 0,

第二级光谱k ? 2, 且已知? ? 30? ( a ? b) ? k? /(sin ? ? sin ? )

( a ? b) ? k? /(sin ? ? sin ? )

? 2 ? 500 ?10 /(sin? ? sin ? ) ? 2 ? 10?6 (m)
?9

N ? 1 ? 10?2 /( a ? b) ? 1 ? 10?2 / 2 ? 10?6 ? 5000条 / cm

同理令 ? =?? /2,得 Km=?1
? ? INT [( a ? b )(sin km 30 ? sin ? / 2) / ? ? ? ]

? INT [2 ? 10 (0.5 ? 1) / 500 ? 10 ? ? ] ? 5
?6 ?9

同理令? ? ?? / 2, 得K m ? ?1
? k ? 0,?1,?2,?3,?4,?5共七条明线

38.(1)在单缝夫琅和费衍射实验中,垂 直入射的光有两种波中波长 ?1=400nm , ?2 =760nm.已知单缝宽度a=1.0×10?2cm 透镜焦距 f =50 cm,求两种光第一级衍 射明纹中心之间的距离。(2)若用光栅 常数 d =1.0×10?3cm 的光栅替换单缝, 其他条件和上一问相同,求两种光第一级 主极大之间的距离。

解: (1)由单缝衍射明纹公式可知:

? 3 ? 1 1 a sin ?1 ? (2k ? 1) ?
2 2

(取k ? 1)

? 3 ? 2 2 a sin ? 2 ? (2k ? 1) ?
2
x 1 tg ?1 ? , f

2 x 2 tg ? 2 ? , f
sin ? 2 ? tg ? 2

由于 sin ?1 ? tg ?1 ,
3 f ?1 所以 x1 ? , 2a

3f ?2 x2 ? 2a

设两第一级明纹之间的距离为
3 f?? ?x ? x 2 ? x1 ? ? 0.27cm 2a
(2)由光栅衍射主极大公式:

d sin ?1 ? k ?1 ? ?1 ,

d sin ? 2 ? k ? 2 ? ? 2

且有 sin ? ? tg? ? x / f

所以?x ? x 2 ? x1 ? f

??
d

? 1.8cm

41.如图所示,牛顿环装置的平凸透镜与平 板玻璃有一小缝隙 e0,现用波长为 ? 的单 色光垂直照射,已知平凸透镜的曲率半径 为 R,求反射光形成的牛顿环的各暗环半 径。

解:设某暗环半径为 r, 由图可知,根据几何关 系,近似有

玻璃

e0

空气

e?r

2

?2R ? (1)

再根据干涉减弱条件有

1 1 2e ? 2e0 ? ? ? ?2k ? 1?? 2 2

(2)

式中 k 为大于零的整数.
把式(1)代入式(2)可得
R

r ? R?k? ? 2e0 ?
(k为整数,且 k ? 2e0 ? )
e e0
空气

42.用一束具有两种波长的平行光垂直入 射在光栅上, ?1 =600 nm ,发现 ?2=400nm 距中央明纹 5 cm 处 ?1 光的第 k 级主极大 和 ?2 光的第 (k+1) 级主极大相重合,放置 在光栅与屏之间的透镜的焦距 f =50 cm , 试问: (1)上述 k =? (2)光栅常数 d =?
解:(1)由题意 ?1 的 k 级与 ?2 的 (k+1) 级 谱线相重合,所以

d sin ?1 ? k?1 d sin ?1 ? ( k ? 1)?2 k?1 ? ( k ? 1)?2
k?

?1 ? ?2

?2

?2

(2)因 x/f 很小, tg?1 ? sin ?1 ? x f

? d ? k?1 f x ? 1.2 ?10 cm
?3

43.在双缝干涉实验中,波长? =5500? 的 单色平行光垂直入射到缝间距a =2?10-4m 的双缝上,屏到双缝的距离 D = 2m. 求: (1)中央明纹两侧的两条第 10 级明纹中心 的间距; (2)用一厚度为 e=6.6 ?10-6m 、折射率为 n=1.58 的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将 移到原来的第几级明纹处 ? 解:(1) ?x ? 20D ? a ? 0.11m

(2)覆盖玻璃后,零级明纹应满足:

(n ? 1)e ? r1 ? k?

设不盖玻璃片时,此点为第k级明纹,则应 有 r2 ? r1 ? k?

所以

(n ? 1)e ? k?
k ? ?n ? 1?e ? ? 6.96 ? 7

零级明纹移到原第 7 级明纹处.

44.以氦放电管发出的光垂直照射到某光栅 上,测得波长?1=0.668?m 的谱线的衍射角 为 ? =20?.如果在同样 ? 角处出现波长 ?2=0.447?m的更高级次的谱线,那么光栅 常数最小是多少? 解:由光栅公式得 sin ? ? k1?1 ?a ? b? ? k2?2 ?a ? b?
k1?1 ? k2?2 k2 k1 ? ?1 ?2 ? 0.668 0.447

k2 k1 ? 3 2 ? 6 4 ? 12 8 ......

取最小的k1和k2 , 对应的光栅常数

k1 ? 2 , k2 ? 3

?a ? b? ? k1?1 sin ? ? 3.92μ m

46.在牛顿环实验中,平凸透镜的曲率 半径为 3.00m ,当用某种单色光照射时, 测得第 k 个暗环半径为 4.24mm,第 k+10 个暗环半径为 6.00mm.求所用单 色光的波长.
解:根据 r
2 k?10
2 k

? ?k ? 10?R? ,

r ? kR?
有 ? ? ?rk2?10 ? rk2 ? ?10R? ? 601nm

47.用波长为 ? =600nm (1nm=10?9 m) 的 光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气劈 尖薄膜,劈尖角 ? =2×10?4 rad.改变劈尖角, 相邻两明条纹间距缩小了? l =1.0mm,求劈 尖角的改变量? ? . 解:原间距, l1 ? ? 2? ? 1.5mm l2 ? l1 ? ?l ? 0.5mm 改变后, ?4 改变后, ? 2 ? ? 2l2 ? 6 ?10 rad ?4 改变量, ?? ? ? 2 ? ? ? 4.0 ?10 rad

48.用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检 验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光 谱。已知红谱线波长 ?R 在0.63—0.76?m 范围内,蓝谱线波长 ?B 在0.43—0.49 ?m 范围内。当光垂直入射到光栅时,发现在 24.46? 角度处,红蓝两谱线同时出现。 (1)在什么角度下红蓝两谱线同时出现? (2)在什么角度下只有红谱线出现?

解: a ? b ? 1 300mm ? 3.33μm (1) ? ?a ? b? sin ? ? k?

? ?a ? b?sin 24.46 ? 1.38μm ? k?
?

? ?R ? 0.63 ? 0.76μ m; ?B ? 0.43 ? 0.49μ m
对于红光,k ? 2 对于蓝光,k ? 3

?R ? 0.69μm ?B ? 0.46μm

红光最大级次 kmax ? ?a ? b? ?R ? 4.8
取 kmax ? 4

红光的第 4 级与蓝光的第 6 级还会重合. 重合处的衍射角 ?’ sin ? ' ? 4?R ?a ? b? ? 0.828 ? ?? ' ? 55.9 (2)红光的第二、四级与蓝光重合,且最 多只能看到四级,所以纯红光谱的第一、 三级将出现.
a ?b 3?R sin ?3 ? ? 0.621 a ?b sin ?1 ?

?R

? 0.207

?1 ? 11.9

?

?3 ? 38.4

?

49.薄钢片上有两条紧靠的平行细缝,用波 长 ?=5461? 的平面光波正入射到钢片上。 屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ,测得中 央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为 ? x =12.0mm.
(1)求两缝间的距离。 (2)从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条 明条纹,共经过多大距离? (3)如果使光波斜入射到钢片上,条纹间距 将如何改变?

解:(1) ?x ? 2kD ? d d ? 2kd ? ?x 此处k=5 ? d ? 10D ? ?x ? 0.910mm (2)共经过20个条纹间距,即经过的距离
l ? 20D ? d ? 24mm (3)不变。

50.波长范围在 450 ? 650nm 之间的复色 平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线 的光栅上,屏幕放在透镜的焦面处,屏上 的第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽 度为 35.1cm。求透镜的焦距 f。 (1nm=10?9 m) 解:光栅常数 d ? 1 ?5 ?10?5 ? ? 2 ?10?6 m. 设?1=450nm, ?2=650nm, 则据光栅方程, ?1 和 ?2 的第 2 级谱线有
d sin?1 ? 2?1 ;
d sin? 2 ? 2?2

据上式得:

?1 ? sin 2 ?1 d ? 26.74
?1 ?1

? ?

? 2 ? sin 2 ?2 d ? 40.54

第2级光谱的宽度 x2 ? x1 ? f ?tg ? 2 ? tg?1 ? ?透镜的焦距
f ? ?x2 ? x1 ? ?tg? 2 ? tg?1 ? ? 100 cm

51.波长为 589.0nm 的钠光,照射在双缝 上,在缝后的光屏上,产生角距离为 1 ° 的干涉条纹,试求两缝的距离? kD? D 解:由 x ? 可得:x k?1 ? x k ? ? d d 2 ? x k ?1 ? x k 根据题意 ? 1? ? rad 360 D ?7 ? 5.89 ? 10 ?d ? ? ?x k?1 ? x k ?/ D 2? / 360
? 3.38 ? 10 ?5 ( m )

52.在双缝干涉实验中,双缝间距 d=0.45mm ,双缝与屏间距离 D=1.2m, 若测的屏上干涉条纹相邻明条纹间距为 1.5mm,求光源发出的单色光的波长 ? 。 解:根据公式 x ? k?D / d
可知,相邻条纹间距 ?x ? D? / d

则有 ? ? d?x / D
? 0.45 ? 10 ? 1.5 ? 10 / 1.2 ? 562 .5 nm
?3 ?3

54.白色平行光垂直入射到间距为 d=0.25mm 的双缝上,距缝 50cm 处放置 屏幕,分别求第一级和第五级明纹彩色带 的宽度。(设白光的波长范围是从 400.0nm 到 760.0nm)。

解:由公式

x ? kD? / d 可知波长范围

为 ?? 时,明纹彩色宽度为

?x ? kD?? / d
当 k =1 时,第一级明纹彩色带宽度为

? x1 ? 500 ? ?760 ? 400? ?10 / 0.25
?6

? 0.72 mm k=5 第五级明纹彩色带宽度为

?x5 ? 5? x1 ? 3.6 mm

57.在牛顿环装置中,透镜与玻璃平板间 充以液体时,第 10 个暗环的直径由 1.40cm 变为 1.27cm,求该液体的折射率。 2 解:由暗环公式 rk ? kR? , k ? 0 ,1,2 ?? 空气中: r ? 10 R?
2 1

( 1)
2 1 2 2

介质中:

r ? ? ?n 由(1)、(2)式得: r ?n 2 2 r1 ? ? 1.40 ? 可求得: n ? ? ? ? ?? ? ? 1.21 ? r2 ? ? 1.27 ?

r ? 10 R ? n
2 2

( 2)

58.两块平板玻璃构成一空气劈尖,长 L=4cm,一端夹住一金属丝,如图所示, 现以波长为 ?=589.0 nm 的钠光垂直入射, (1)若观察到相邻明纹(或暗纹)间距 离 l =0.1mm,求金属丝的直径 d =? (2)将金属丝通电,受热膨胀,直径增 大,在此过程中,从玻璃片上方离劈棱距 离为 L/2 的固定观察点上发现干涉向左移 动 2 条,问金属丝的直径膨胀了多少?

解:(1)相邻明纹间对应的厚度差为?/2,
如图所示。 sin? ? ? ? ? / 2 l
?
A

B

tg? ? ? ? d / L L ?6 L? 40 ? 589 ? 10 ? 0.1178 mm ?d ? ? 2l 2 ? 0.1
(2)在劈尖中部(距劈棱处),干涉条纹 向左移两个条纹,说明在该处厚度增加 2??/2,因劈尖上表面不是在保持? 不变情 况下的平移,

?

C

?/ 2

d

所以根据两个直角三角形的相似关系可知 金属直径处增加 2?,即:

?d ? 2? ? 2 ? 589 ? 1.17 8 ?m

59.利用牛顿环的条纹可以测定平凹球面 的曲率半径,方法是将已知半径的平凸透 镜的凸球面放置在待测的凹球面上,在两 球面间形成空气薄层,如图所示。用波长 为 ? 的平行单色光垂直照射,观察反射光 形成的干涉条纹,试证明若中心 O 点处 刚好接触,则第 k 个暗环的半径rk与凹球 面半径 R2,凸面半径 R1(R1<R2)及入 射光波长 ? 的关系为:

r ? R1 R2 k? / ?R2 ? R1 ?,
2 k

?k ? 1,2,3???

解:如图所示,
第 k 个暗环处空气 薄膜的厚度为 ?e ?e ? e1 ? e2

O2 R2 O1 R1
e2 e1

由几何关系可得近 似关系:
r r , e2 ? e1 ? 2 R1 2 R2
2 k 2 k

第k个暗环的条件为:
? ?2k ? 1? , 2 2 即 2?e ? k? 2?e ?

?

?

k ? 0,1,2,??

1 ? ?1 r 2 ? ? ? ? ? k? 2 ? R1 R2 ?
2 k

O2 R2 O1 R1
e2

? R2 ? R1 ? ? ? k? r ? ? R1 R2 ?
2 k

?e
e1

k? R1 R2 ?r ? R2 ? R1
2 k


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com