9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

(教师用书)高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳提升课件 新人教A版选修2-2_图文

(教师用书)高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳提升课件 新人教A版选修2-2_图文

导数的几何意义及其应用 1. 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切 线方程 y-y0=f′(x0)(x-x0),明确“过点 P(x0,y0)的曲线 y =f(x)的切线方程”与“在点 P(x0, y0)处的曲线 y=f(x)的切线 方程”的异同点. 2.围绕切点有三个等量关系:一是切点在曲线上;二是 切点在切线上;三是在切点处的导数等于切线的斜率.这三 个等量关系在求解参数问题中经常用到. 点 P(2,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的 图象的一个公共点,且两条曲线在点 P 处有相同的切线,求 a,b,c 的值. 【思路点拨】 利用切点的三个等量关系求解. 【规范解答】 因为点 P(2,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x) =bx2+c 的图象的一个公共点, 所以 23+2a=0, 4b+c=0, ① ② 由①得 a=-4. 所以 f(x)=x3-4x. 又因为两条曲线在点 P 处有相同的切线, 所以 f′(2)=g′(2), 而由 f′(x)=3x2-4 得到 f′(2)=8, 由 g′(x)=2bx 得到 g′(2)=4b, 所以 8=4b,即 b=2,代入②得到 c=-8. 综上所述,a=-4,b=2,c=-8. 设函数 f(x)=4x2-ln x+2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程. 1 【解】 f′(x)=8x- . x 所以在点(1,f(1))处切线的斜率 k=f′(1)=7, 又 f(1)=4+2=6, 所以切点的坐标为(1,6), 所以切线的方程为 y-6=7(x-1),即 y=7x-1. 利用导数判断函数的单调性 借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有 ln x, ex 等线性函数( 或复合函数 )的单调性,是近几年高考的一个重 点. 其特点是导数 f′(x)的符号一般由二次函数来确定, 经常 同一元二次方程、一元二次不等式结合,融分类讨论,数形 结合于一体. k 2 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+2x ,(k≥0). 试求 f(x)的单调区间. 【思路点拨】 先求 f′(x),再分 k=0,0<k<1,k=1 和 k>1 四种情况求解. x?kx+k-1? 1 【规范解答】 f′(x)= -1+kx= ,x∈ 1+x 1+x (-1,+∞). x 当 k=0 时,f′(x)=- . 1+x 所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间(0,+∞)上, f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+ ∞). 1-k kx?x- ? k 当 0<k<1 时,由 f′(x)= =0,得 x1=0,x2 1+x 1-k = >0, k 1-k 所以,在区间(-1,0)和( ,+∞) 上,f′(x)>0;在区 k 1-k 间(0, )上,f′(x)<0. k 1-k 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0)和( ,+∞),单调递 k 1-k 减区间是(0, ). k x2 当 k=1 时,f′(x)= , 1+x 故 f(x)的单调递增区间是(-1,+∞). 1-k kx?x- ? 1-k k 当 k>1 时, f′(x)= =0, 得 x1= ∈(-1,0), k 1+x x2=0. 1-k 所以在区间( - 1 , ) 和(0 ,+∞) 上, f′(x)>0 ;在区 k 1-k 间( ,0)上,f′(x)<0, k 1-k 故 f(x)的单调递增区间是(-1, )和(0,+∞),单调 k 1-k 递减区间是( ,0). k 2 已知函数 f(x)=x- +a(2-ln x), a>0.讨论 f(x)的单调性. x 【解】 由题知,f(x)的定义域是(0,+∞), 2 2 a x -ax+2 f′(x)=1+ 2- = . x x x2 设 g(x)=x2-ax+2,二次方程 g(x)=0 的判别式 Δ=a2 -8. ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. ②当 Δ=0 即 a=2 2时,仅对 x= 2,有 f′(x)=0,对 其余的 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x)也是(0,+∞)上的单调递 增函数. ③当 Δ>0 即 a>2 2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根 a- a2-8 a+ a2-8 x1= ,x2= ,0<x1<x2. 2 2 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f ′( x ) f ( x) (0,x1) + x1 0 极大值 (x1,x2) - x2 0 极小值 (x2,+∞) + a- a2-8 此时 f(x)在(0, )上单调递增, 2 a- a2-8 a+ a2-8 在( , )上单调递减, 2 2 a+ a2-8 在( ,+∞)上单调递增. 2 利用导数求函数的极值和最值 1. 极值和最值是两个迵然不同的概念,前者是函数的 “局部”性质,而后者是函数的“整体”性质.另函数有极 值未必有最值,反之亦然. 2.判断函数“极值”是否存在时,务必把握以下原则: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)解方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号: 若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值. 已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设 a=1,求函数 f(x)的极值; 1 (2)若 a> ,且当 x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a 恒成立,试确 4 定 a 的取值范围. 【思路点拨】 (1)先求 f′(x)=0 的根,再根据极值的定 义求解. (2)先求 f′(x)的最值, 再根据|f′(x)|≤12a 列不等式求解. 【规范解

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com