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湖北省武汉市武昌区2013届高三五月供题训练数学文试题 Word版含答案

湖北省武汉市武昌区2013届高三五月供题训练数学文试题 Word版含答案

武昌区2013届高三年级五月供题训练

文 科 数 学 试 卷
本试题卷共 5 页,共 22 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上 无效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题 区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔 涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题 区域内,答在试题卷、草稿纸上无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x ? 3 ? x ? 1? , B ? ?x log A. ? ? 3 , 0 ? ? ? 0 ,1 ?
2

x ? 1 ,则 A ? B 等于

?

B. ? ? 1, 0 ? ? ?0 ,1 ?
cos ? ? i sin ? cos ? ? i sin ?

C. ? ? 2 ,1 ? ,则 z = D. tan 4?

D. ? ? 2 , 0 ? ? ? 0 ,1 ?

2.已知 ? ? ? 0 , 2 ? ? ,复数 z ? A.1 B. cos 4?

C. sin 4?

开始 输入 p
n ? 1, S ? 0
S ? p

3.某程序框图如图所示,若输入的 p 为 2 4 ,则输出的 n , S 的值分别为 A. n B. n C. n D. n
? 4, S ? 30 ? 4, S ? 45 ? 5, S ? 3 0 ? 5, S ? 4 5




S = S + 3n

输出 n ,S 结束

n ? n ?1

x 4.已知指数函数 f ? x ? ? a ? a ? 0 , a ? 1 ? 、对数函数 g ? x ? ? log

b

x ?b ? 0 , b ? 1 ? 和幂函数

h?x ? ? x

c

?c ? Q ? 的图象都经过点 P (

1 2

,2 ) , x 如果 f ? x 1 ? ? g ? x 2 ? ? h ? x 3 ? ? 4 , 那么, 1 ?

x2 ? x3 ?

A.

7 6

B.

6 5

C.

5 4

D.

3 2

y

5.函数 y ? f ? x ? 的图象如图所示,则导函 数 y ? f ? ( x ) 的图象的大致形状是 y y x O x
y ? f ?? x ?

O y x

y=f(x) y

x

O

y ? f ?? x ?

O

y ? f ?? x ?

O

y ? f ?? x ?

x

A.

B.

C.

D.

6.设 m , n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m ? ? 的 是 A. ? ? ? , m ? ? B. m ? ? , ? ? ? C. m ? n , n ? ? 2 俯视图 D. m / / n , n ? ? 2 侧视图

7.如图,已知三棱锥的俯视图是边长为 2 的正 三角形,侧视图是有一直角边长为 2 的直角 三角形,则该三棱锥的正视图可能为

2 1 A. 1

2 1 B.
?

2 1 1 C. 1

2 1

2 1 D.

8.如图,在 ? OAB 中, ? AOB ? 120 , OA ? 2 , OB ? 1 , C 、D 分别是线段 OB 和 AB 的中点,那么 OD ? AC ? A. ? 2 B. ?
3 2

B C O D A

C. ?

1 2

D.

3 4

9. 乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时, 甲、 假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达, 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A.
9 16

B.
x a
2 2

1 2

C.
2 2

7 16

D.

3 8

10.已知椭圆 C:

?

y b

? 1 (a>b>0)的离心率为

3 2

,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3 FB ,则 k = A.1 B. 2 C. 3 D.2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题号的 位置上. 11.若命题“存在实数 x,使 x2+ax+1<0”的否定是真命题,则实数 a 的取值范围为 12.用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示: .

? ① ② ③ (用 n 表示) .
频率

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 13.已知直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 a 和 b ? a ? 0 , b ? 0 ? , 且经过点 M ?1, 4 ? ,则 a ? b 的最小值为 14.某校高三年级有 5 0 0 名同学,将他们的身高(单 位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图) , 现用分层抽样的方法选取 x 名学生参加某项课 外活动,已知从身高在 [1 6 0,1 7 0 ) 的学生中选取 9 人,则 x = .
0.020 0.010 0.005


0.035

组距

O

140 150 160 170 180 190

身高/cm

15.已知数列 ?a n ? 是等差数列,首项 a 1 ? 39 ,公差 d ? ? 2 ,前 n 项和为 S n ;数列 ?b n ? 是 等比数列,首项 b1 ? 5 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 T n .如果从第 m 项开始,对所有的
n ? N 都有 T m ? S n ,则 m ?
?



16.已知函数 f ? x ? ?

3 sin 2 x ? cos 2 x , x ? R ,给出以下说法:

①函数 f ? x ? 的图像的对称轴是 x ? k ? ? ②点 P (
7? 12

?
3

,k ? Z ;

, 0 ) 是函数 f ? x ? 的图像的一个对称中心;

③函数 f ? x ? 在区间 [

?
2

, ? ] 上的最大值是

1 2


3 cos 2 x

④将函数 f ? x ? 的图像向右平移 其中正确说法的序号是

?
12

个单位,得到函数 g ? x ? ? sin 2 x ? .

的图象.

17. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染指数量 P mg / L 与时间 t h 间的关系为 P ? P0 e
? kt

.如果在前 5 个小时消除了 10 % 的污染物,则 10 小时后还剩

__________ % 的污染物. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分 12 分) c 在 ? A B C 中, a 、b 、 分别是角 A 、B 、 的对边, 边 且满足 b co s C ? (3 a ? c ) co s B . C (Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若 B C ? B A ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.
??? ??? ? ?

19. (本小题满分 12 分) 为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的 7 次数学测试成绩(满分 100 分) 进行统计,作出如下的茎叶图,其中 x , y 处的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位数 是 83,乙同学成绩的平均分是 86 分. (Ⅰ)求 x 和 y 的值; (Ⅱ)现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲 同学试卷的概率. 甲 6 3 7
x 1

乙 7 8 9 8 3 0 3
y

2 3

1 6

20. (本小题满分 13 分) 1 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 DC1 和 BB1 所成的角; (Ⅱ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC. A1 C1

B1

D C A B

21. (本小题满分 14 分) 已知直角坐标平面内一动点 P 到点 F ( 2 , 0 ) 的距离与直线 x ? ? 2 的距离相等. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 M ( m , 0 ) m ? 0 ) ( 作斜率为 3 的直线与曲线 C 相交于 A , B 两点, ? AFB 若 为钝角,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)过点 M ( m , 0 ) ( m ? 0 )作直线与曲线 C 相交于 A , B 两点,问:是否存在一条 垂直于 x 轴的直线与以线段 AB 为直径的圆始终相切?若存在,求出 m 的值;若 不存在,请说明理由.

22.(本大题满分 14 分) 若函数 f ? x ? 满足:在定义域内存在实数 x 0 ,使 f ? x 0 ? k ? ? f ? x 0 ? ? f ? k ? (k 为常数), 则称“f(x)关于 k 可线性分解” .
x 2 (Ⅰ)函数 f ? x ? ? 2 ? x 是否关于 1 可线性分解?请说明理由;

(Ⅱ)已知函数 g ? x ? ? ln x ? ax ? 1 ? a ? 0 ? 关于 a 可线性分解,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 a 取最小整数时,求 g ? x ? 的单调区间,并证明不等式:

?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2

? e

n ? n ?1 ?

?n ? N ? . 武昌区2013届高三年级五月供题训
?



文科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题: 1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B

二、填空题: 11. [ ? 2 , 2 ] 12. 6 n ? 2 13.9 14.30 15.7 16.②④ 17.81

三、解答题: 18.解:(Ⅰ)由正弦定理和 b co s C ? (3 a ? c ) co s B ,得
sin B co s C ? (3 sin A ? sin C ) co s B ,

化简,得 sin B co s C ? sin C co s B ? 3 sin A co s B , 即 sin B ? C)? 3 sin A co s B , ( 故 sin A ? 3 sin A co s B . 因为 sinA≠0, 所以 c o s B =
1

. ?????????????????????6 分

3 ??? ??? ? ? (Ⅱ)因为 B C ? B A ? 4 ,

所以 BC ? BA ? | BC | ? | BA | ? cos B ? 4 . 所以 B C ? B A ? 1 2 ,即 a c ? 1 2 .
a ?c ?b
2 2 2

????

??? ?



又因为 c o s B =

?

1 3



2ac

整理,得 a ? c ? 4 0 .
2 2



联立①② ?

?a

2

? c

2

? 40 ,

? ac ? 12 ,



解得 ?

?a ? 2, ? c ? 6,

或?

? a ? 6, ?c ? 2.

?????????????????????12 分

19.解:(Ⅰ)? 甲同学成绩的中位数是 83, ? x ? 3. ? 乙同学的平均分是 86 分,
?
1 7 (7 8 ? 8 3 ? 8 3 ? 8 0 ? y ? 9 0 ? 9 1 ? 9 6 ) ? 8 6 ,

? y ? 1 .??????????? 6 分

(Ⅱ)甲同学成绩在[90,100]之间的试卷有二份,分别记为 a 1 , a 2 , 乙同学成绩在[90,100]之间的试卷有三份,分别记为 b1 , b 2 , b 3 , “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:

? a1 , a 2 ? ,? a 1 , b1 ? ,? a 1 , b 2 ? ,? a 1 , b 3 ? ,? a 2 , b1 ? , ? a 2 , b 2 ? ,? a 2 , b3 ? ,? b1 , b 2 ? ,? b1 , b 3 ? , ? b 2 , b 3 ? ,共有 10 种情况.
记“从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份,恰抽到一份甲同学试卷”为事 件 M ,则事件 M 包含的基本事件为:

? a 1 , b1 ? , ? a 1 , b 2 ? , ? a 1 , b 3 ? , ? a 2 , b1 ? , ? a 2 , b 2 ? , ? a 2 , b3 ? ,共有 6 种情况.
则 P (M ) ?
6 10 3 5 ? 3 5



答:从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,恰抽到一份甲同学试 卷的概率为 .????????????????????12 分

20.解:(Ⅰ)由题设知 AA1//BB1, 所以异面直线 DC1 和 BB1 所成的角为 ? A1 DC 1 . 因为侧棱垂直底面,
? ? DA 1 C 1 ? 90 .
?

C1 A1

B1

1 又 AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点,
? ? DA 1 C 1 是等腰直角三角形.

C A
?

B

? ? A1 DC 1 ? 45 .

?

所以,异面直线 DC1 和 BB1 所成的角为 45 . ???????????????6 分 (Ⅱ)由题设知 BC⊥ C C 1 ,BC⊥AC, CC 1 ? AC ? C , ∴ B C ? 面 A C C 1 A1 . 又∵ D C 1 ? 面 A C C 1 A1 , ∴ BC ? DC 1 . 由题设知 ? A1 DC 1 ? ? ADC ? 45 , ∴ ? C D C 1 = 90 ,即 D C 1 ? D C . 又∵ DC ? BC ? C , ∴ D C 1 ⊥面 B D C . ∵ D C1 ? 面 B D C 1 ,
?
?

∴面 B D C ⊥面 B D C 1 .????????????????13 分

21.解: (Ⅰ)由抛物线的定义,知所求 P 点的轨迹是以 F ( 2 , 0 ) 为焦点,直线 x ? ? 2 为准 线的抛物线.其方程为 y ? 2 px ,其中
2 2

p 2

? 2,p ? 4.

所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 8 x .???????????????4 分 (Ⅱ)由题意知,直线 AB 的方程为 y ? 代入 y ? 8 x ,得 3 x ? ( 6 m ? 8 ) x ? 3 m
2 2 2

3(x ? m) .
? 0.
, x1 x 2 ? m .
2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?
? ? AFB 为钝角,? FA ? FB ? 0 .

6m ? 8 3

又 FA ? ( x 1 ? 2 , y 1 ) , FB ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) ,
? ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? y 1 y 2 ? 0 .

即 x 1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 3[ x 1 x 2 ? m ( x 1 ? x 2 ) ? m ] ? 0 ,
2

? 4 x 1 x 2 ? ( 2 ? 3 m )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 3 m

2

? 0.

因此 3 m ? 36 m ? 4 ? 0 ,
2

?

18 ? 4 3

21

? m ?

18 ? 4 3

21



综上,实数 m 的取值范围是 (

18 ? 4 3

21

,2 ) ? ( 2,

18 ? 4 3
2

21

) .???????8 分

(Ⅲ)设过点 M 的直线方程为 x ? ? y ? m ,代入 y ? 8 x ,得
y
2

? 8 ? y ? 8 m ? 0 .设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 ? y 2 ? 8 ? , y 1 y 2 ? ? 8 m .
2

于是 x 1 ? x 2 ? ? ( y 1 ? y 2 ) ? 2 m ? 8 ? ? 2 m .
? AB 的中点坐标为 ( 4 ? ? m , 4 ? ) .
2

又 AB ?
?
2

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2 2

2

?

(1 ? ? )( y 1 ? y 2 )
2 2 2

2

(1 ? ? )[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] ?

(1 ? ? )( 64 ? ? 32 m ) .

设存在直线 x ? x 0 满足条件,则 2 | 4 ? ? m ? x 0 |?
2

(1 ? ? )( 64 ? ? 32 m ) .
2 2

化简,得 (16 ? 8 x 0 ) ? ? 8 m ? m ? x 0 ? 2 mx 0 ? 0 .
2 2 2

所以, (16 ? 8 x 0 ) ? ? 8 m ? m ? x 0 ? 2 mx 0 ? 0 对任意的 ? 恒成立,
2 2 2

所以 ?

?16 ? 8 x 0 ? 0 , ?8 m ? m
2

? x 0 ? 2 mx
2

0

? 0.

解得 x 0 ? ? 2 , m ? 2 .

所以,当 m ? 2 时,存在直线 x ? ? 2 与以线段 AB 为直径的圆始终相切.??13 分
x 2 22.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? ? 2 ? x 的定义域是 R,若是关于 1 可线性分解,

则定义域内存在实数 x 0 ,使得 f ? x 0 ? 1 ? ? f ? x 0 ? ? f ?1 ? . 构造函数 h ? x ? ? f ? x ? 1 ? ? f ? x ? ? f ?1 ? ? 2
? 2 2
x ?1

? ? x ? 1? ? 2
2

x

? x

2

? 2 ?1

?

x ?1

? x ?1 .

?

∵ h ? 0 ? ? ? 1 , h ?1 ? ? 2 且 h ? x ? 在 ?? 1,1 ? 上是连续的, ∴ h ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上至少存在一个零点. 即存在 x 0 ? ? ? 1,1 ? ,使 f ? x 0 ? 1 ? ? f ? x 0 ? ? f ?1 ? . ??????????? 4 分
x 2 另解:函数 f ? x ? ? 2 ? x 关于 1 可线性分解,

由 f ? x ? 1 ? ? f ? x ? ? f ?1 ? ,得 2 即 2 ? ?2 x ? 2 .
x

x ?1

? ? x ? 1? ? 2
2

x

? x

2

? 3.

作函数 g ? x ? ? 2 与 h ? x ? ? ? 2 x ? 2 的图象,
x

由图象可以看出,存在 x 0 ? R,使 2 ? ? 2 x ? 2 ,
x

即 f ? x 0 ? 1 ? ? f ? x 0 ? ? f ?1 ? )成立.???????????????? 4 分 (Ⅱ) g ? x ? 的定义域为 ? 0 , ?? ? . 由已知,存在 x 0 ? 0 ,使 g ? x 0 ? a ? ? g ? x 0 ? ? g ? a ? . 即 ln ? x 0 ? a ? ? a ? x 0 ? a ? ? 1 ? ln x 0 ? ax 0 ? 1 ? ln a ? a ? 1 .
2

整理,得 ln ? x 0 ? a ? ? ln x 0 ? ln a ? 1 ,即 ln ? x 0 ? a ? ? ln( ax 0 e ) .

∴ a ? x 0 ? ax 0 e ,所以 x 0 ? 由 x0 ?
a ae ? 1

a ae ? 1


1 e

? 0 且 a ? 0 ,得 a ?
?1 ? , ?? ? . ?e ?



∴a 的取值范围是 ?

???????????????? 10 分
1 x 1? x x

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1, g ? x ? ? ln x ? x ? 1 , g ?( x ) ?

?1?



当 x ? ? 0 ,1 ? 时, g ?( x ) ? 0 ,∴g (x)的单调递增区间是 ? 0 ,1 ? ; 当 x ? ?1, ?? ? , g ?( x ) ? 0 ,∴g (x)的单调递减区间是 ?1, ?? ? . 因此 x∈(0,+∞)时, g ? x ? 的最大值为 g ?1 ? ,所以 g ? x ? ? g ?1 ? ? 0 , 即 ln x ? x ? 1 ? 0 , ln x ? x ? 1 . 由此,得 ln 1 ? 0 , ln 2 ? 1 , ln 3 ? 2 , ? ln n ? n ? 1 . 以上各式相加,得 ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1 ? , 即 ln ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1 ? . ∴ ln ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ?
2

n ?n ? 1? 2



? ln ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ? n ? 1 ? ,

所以, ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? e
2

n ? n ?1 ?

?n ? N ? .???????????14 分
?

u.com


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