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高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1课件北师大版必修2

高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1课件北师大版必修2

【课标要求】 1.理解确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程,会结合具体条件求圆的标准方程. 3.能根据圆的标准方程求圆心与半径. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.圆的标准方程 2.中点坐标公式 ?x1+x2 y1+y2? ? A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为? , ? 2 ?. 2 ? ? |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2 一定表示圆.( × ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( √ ) (3)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则说明点 M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y -b)2=r2 的外部.( √ ) (4)圆心定圆的位置,半径定圆的大小.( √ ) 2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 ) 解析:圆的半径 r= ?1-0?2+?1-0?2= 2,圆心坐标为(1,1), 所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:D 3.圆心是 C(2,-3),且经过原点的圆的标准方程为( A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x+2)2+(y-3)2= 13 D.(x-2)2+(y+3)2= 13 ) 解析:由已知得半径 r= 22+?-3?2= 13,又圆心坐标为(2, -3),故圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13. 答案:B 4. 已知圆(x-1)2+(y+2)2=5, 则原点与圆的位置关系是( A.原点在圆内 B.原点在圆上 C.原点在圆外 D.以上都不对 ) 解析:∵(0-1)2+(0+2)2=5, ∴(0,0)点在圆上. 答案:B 5.与圆(x-2)2+(y+3)2=16 同圆心且过点 P(-1,1)的圆的方 程为________. 解析:因为已知圆的圆心为(2,-3),所以所求圆的圆心为(2, -3).又 r= ?2+1?2+?-3-1?2=5, 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=25 课堂探究 互动讲练 类型一 求圆的标准方程 [例 1] 过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上 的圆的方程是( C ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 【思路点拨】 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a,b) 及半径 r,其求解的方法:一是待定系数法,建立关于 a,b,r 的 方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得圆心 坐标和半径. 【解析】 有三种方法. 方法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知条件知 2 2 2 ??1-a? +?-1-b? =r , ? ??-1-a?2+?1-b?2=r2, ? ?a+b-2=0, 解此方程组, ?a=1, ? 得?b=1, 2 ? ?r =4. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二:设点 C 为圆心,∵点 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过 A,B 两点,∴|CA|=|CB|. ∴ ?a-1?2+?2-a+1?2= ?a+1?2+?2-a-1?2, 解得 a=1. ∴圆心坐标为 C(1,1),半径长 r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 1-?-1? 方法三: 由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0), kAB= -1-1 =-1,所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k=1,所以 AB 的垂直平 分线的方程为 y-0=1· (x-0),即 y=x.则圆心是直线 y=x 与 x+y -2=0 的交点, ? ? ?y=x, ?x=1, 由? 得? ? ? ?x+y-2=0, ?y=1, 即圆心为(1,1),圆的半径为 ?1-1?2+[1-?-1?]2=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法归纳 求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法:利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆 的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得 到圆的标准方程中的三个参数,其步骤为设方程、列式、求解. 跟踪训练 1 求圆心在 x 轴上,且过点 A(5,2)和 B(3,-2)的圆 的标准方程. 解析:有两种方法. 方法一:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). ?a=4 ?b=0 ? ? 2 2 2 则??5-a? +?2-b? =r 解得?b=0 2 2 2 ? ? ??3-a? +?-2-b? =r , ?r= 5. 所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5. 方法二:因为圆过 A(5,2),B(3,-2)两点, 所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上, 1 AB 中垂线的方程为 y=-2(x-4). 令 y=0,得 x=4,即圆心坐标 C(4,0), 所以 r=|CA|= ?5-4?2+?2-0?2= 5. 所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5. 类型二 点与圆的位置关系 [例 2] 如图,已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3). (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程; (2)试判断点 M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是 在圆外. 【解析】 (1)设圆心 C(a,b),半径长为 r,则由 C 为 P1P2 的 4+6 9+3 中点,得 a= 2 =5,b= 2 =6, 又由两点间的距离公式得 r=|CP1|= ?

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