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2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教B版选修2-_图文

2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教B版选修2-_图文

成才之路 ·数学
人教B版 ? 选修2-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
导数及其应用

第一章 章末归纳总结

1

知 识 结 构

3

专 题 探 究

2

知 识 梳 理

4

即 时 巩 固

知识结构

知识梳理

一、导数的概念、求法及其应用 1 .导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的 一门科学,它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了

一般地方法.如求曲线的切线方程,函数的单调区间,函数
的最值以及有关的实际问题. 2.对于求导数,要熟记公式,掌握规则,灵活运用.

3.导数的应用主要体现在以下几个方面:

(1) 切线斜率:根据导数的几何意义,函数 f(x) 在点 x0 处
的导数就是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.因此求函 数在某点处的切线斜率,只要求函数在该点处的导数. (2)求函数的单调性、极值、最值. (3) 利用导数研究实际问题的最值关键在于建立数学模

型,因此要认真审题,分析各个量的关系列出函数式 y =
f(x),然后利用导数求函数f(x)的最值,求函数f(x)的最值时, 若f(x)在区间(a,b)上只有一个极值点,要根据实际意义判定 是最大值还是最小值,不必再与端点的函数值比较.

二、定积分的求法和应用 1.求定积分 求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键

是要找到被积函数的原函数,为避免出错在求出原函数后可
利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.

2.利用定积分求平面图形的面积 将求平面图形的面积转化为定积分运算时,必须确定的 是被积函数,积分变量,积分上限、下限.一般步骤为: (1)画图;

(2) 确定要素 ( 找到所属基本型,确定被积函数和积分
上、下限); (3)转化求值. 要注意当所围成的图形在 x 轴下方时面积为负,因此, 需对其定积分取绝对值.

专题探究

导数的运算

求下列函数的导数. (1)y=log2(3x+1); sin2x (2)y= x ; e2x+e-2x (3)y= x -x . e +e

[ 解析]

(1)设y=log2u,u=3x+1,则

?1 ? 3log2e ? ? y′x=y′u· u′x= ulog2e ×3= . 3x+1 ? ? ?sin2x? ?sin2x?′x-sin2x· x′ (2)y′=? x ?′= x2 ? ?

2xcos2x-sin2x = . x2

e2x+e 2x ?ex+e x?2-2 (3)y= x -x = - e +e ex+e x
- -

2 =e +e - x -x e +e
x
-x

x 2e =ex+e-x- 2x e +1

? 2ex ? ? ∴y′=(ex)′+(e-x)′-? 2 x ?e +1?′ ? ?
x 2x x 2x x 2x 2e ? e + 1 ? - 2e · 2e 2e ? 1 - e ? -x -x x x =e -e - =e -e - 2x . ?e2x+1?2 ?e +1?2

[说明]

应用指数、对数函数的求导公式,结合导数的

四则运算法则及复合函数的求导法则进行解题.求导过程

中,可先适当进行化简变形,将对数的真数位置转化为有理
函数形式后再求导.当然化简变形时要注意等价性.

求下列函数的导数: 1 sin(ax+b). (1)y= ; (2) y = e 1-2x2

[ 解析]

? (1)y′=? ? ?


? 1 1 ? 2 ′=[(1-2x )-2]′ 1-2x2? ?

1 =-2(1-2x2) 1 =-2(1-2x2) = 2x · (1-2x )
2

3 2

· (1-2x2)′ · (-4x) 2x = 2 2 . ?1-2x ? 1-2x
+b).

3 - 2 3 2



(2)y′=[esin(ax+b)] ′=esin(ax+b)· [sin(ax+b)] ′ =esin(ax
+b )

· cos(ax+b)· (ax+b)′=acos(ax+b)esin(ax

导数的定义及几何意义的应用
(1)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线的斜率为( A.4 C.2 ) 1 B.-4 1 D.-2

(2)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 的斜率为 1 ,则该曲线在点 ( - 1 , f( - 1)) 处的切线的斜率为 ________. [ 解析 ] (1) 依题意 f′(x) = g′(x) + 2x ,又 y = g(x) 在点 (1 ,

g(1))处的切线方程为y=2x+1,
∴g′(1)=2, ∴f′(1)=g′(1)+2=2+2=4, 因此,y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4,故选A.

f?1+Δx?-f?1? (2)依题意知f′(1)=Δ lim =1, x→0 Δx ∵f(x)是偶函数. f?-1+Δx?-f?-1? ∴f′(-1)=Δ lim x→0 Δx f?1-Δx?-f?1? =Δ lim x→0 Δx f?1-Δx?-f?1? =--lim =-f′(1)=-1. Δx→0 -Δx

[答案] (1)A (2)-1 [说明] 对导数的定义及导数的几何意义,在高考中常

以选择题、填空题的形式出现,主要以求切线的斜率、切点
坐标为主,应加强理解,灵活解答.

(1)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处 切线倾斜角的取值范围为 ( )
? 1? A.?-1,-2? ? ? ? π? ?0, ? 4? ?

,则点P横坐标的取值范围为

B.[ -1,0]
?1 ? D.?2,1? ? ?

C.[0,1]

1 (2)设直线y= 2 x+b是曲线y=lnx的一条切线,则实数b= ________.

[答案] (1)A (2)ln2-1
[ 解析] (1)设点P横坐标为x0,由导数的定义,知y′=2x

+2,则由题意,知kp=2x0+2,又曲线C在点P处切线倾斜角
? π? 的取值范围为?0,4?,∴0≤2x0+2≤1, ? ?

1 ∴-1≤x0≤-2.故选A. 1 1 (2)设切点为(x0,y0),由题意,得(lnx0)′= x = 2 ,所以x0 0 1 =2,y0=ln2,代入直线方程y=2x+b,得b=ln2-1.

利用导数求函数的单调区间或研究单调性
k 2 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+2x (k≥0). (1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间.
[ 分析] 本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的

单调区间.第(1)问可由导数求得切线斜率,从而求出切线方 程.第(2)问要注意对参数k进行分类讨论.

[ 解析] 1 -1+2x. 1+x

(1)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2,f′(x)=

3 由于f(1)=ln2,f′(1)=2, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3 y-ln2=2(x-1).即3x-2y+2ln2-3=0.

x?kx+k-1? (2)f′(x)= ,x∈(-1,+∞). 1+x x 当k=0时,f′(x)=- . 1+x 因此在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间(0,+∞)上, f′(x)<0; 所以f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0, +∞); x?kx+k-1? 1-k 当0<k<1时,f′(x)= =0,得x1=0,x2= k 1+x >0;

1-k 因此,在区间(-1,0)和( k ,+∞)上,f′(x)>0; 1-k 在区间(0, k )上,f′(x)<0;即函数f(x)的单调递增区间 1-k 1-k 为(-1,0)和( k ,+∞),单调递减区间为(0, k ); x2 当k=1时,f′(x)= .f(x)的递增区间为(-1,+∞); 1+x x?kx+k-1? 1-k 当k>1时,由f′(x)= =0,得x2=0,x1= k 1+x ∈(-1,0);

1-k 因此,在区间(-1, k )和(0,+∞)上,f′(x)>0,在区 间( 1-k k ,0)上,f′(x)<0;即函数f(x)的单调递增区间为

? 1-k 1-k? ? ? ?-1, k ?和(0,+∞),单调递减区间为( k ,0). ? ?

[ 说明]

利用导数求函数的单调区间需注意两个问题:一

是先求函数的定义域;二是对参数进行讨论.

已知函数 f(x) = 3x4 - 4(a + 1)x3 + 6ax2 - 12(a>0) ,求函数

f(x)的单调递增区间.

[ 解析 ] 1).

f′(x) = 12x3 - 12(a + 1)x2 + 12ax = 12x(x - a)(x -

(1)当0<a<1时,f′(x)>0,得0<x<a或x>1, 所以f(x)在(0,a)和(1,+∞)上为增函数.

(2)当a=1时,由f′(x)>0,得x>0,且x≠1,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)当a>1时,由f′(x)>0,得x>a或0<x<1,所以f(x)在(0,1) 和(a,+∞)上是增函数.

导数在函数的极(最)值问题中的应用

设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2. (1)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值; (2)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2] ,在x=0处取得最大 值,求a的取值范围.

[ 解析]

(1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

因为x=2是函数y=f(x)的极值点, 所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1. 经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点. (2)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x =ax2(x+3)-3x(x+2). 当g(x)在区间[0,2] 上的最大值为g(0)时,g(0)≥g(2), 即0≥20a-24. 6 故得a≤5.

6 反之,当a≤5时,对任意x∈[0,2] , 6 2 g(x)≤5x (x+3)-3x(x+2) 3x 2 = 5 (2x +x-10) 3x = 5 (2x+5)(x-2)≤0, 而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2] 上的最大值为g(0).
? 6? 综上所述,a的取值范围为?-∞,5?. ? ?

(2012· 重庆文)已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值 c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[ -3,3] 上的最小值.

[ 解析]

(1)因为f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b,由

于f(x)在x=2处取得极值c-16
? ?f′?2?=0 故有? ? ?f?2?=c-16


? ?12a+b=0 ,化简得? ? ?4a+b=-8

? ?12a+b=0 即? ? ?8a+2b+c=c-16



解得a=1,b=-12.

(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2, 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,

故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上为减函数. 当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上为增函数.

由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x) 在x2=2处取得极小值f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,得c=12.

此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,
f(2)=c-16=-4, 因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.

导数在实际问题中的应用
如图,若电灯B可在过桌面上一点O的垂线上移 动,桌面上有与点O距离为a的另一点A,问电灯与点O的距离 为多大时,可使点A处有最大的照度?(由光学知识知,照度y 与sinθ成正比,与r2成反比.)

a [ 解析] 设O到B的距离为x,r=cosθ, 1 csinθcos2θ 则y=c· sinθ· (c与灯光强度有关的常数). r2= a2 2 c 3 2 令y′=a2(cos θ-2sin θcosθ)=0,得tanθ= 2 , 2 且当0<tanθ< 2 时,y′>0, 2 tanθ> 2 时,y′<0, 2 2 ∴当tanθ= 2 ,即x= 2 a时,y有最大值, 2a 即当电灯B与O点距离为 2 时,点A处的照度y为最大.

[说明]

在实际问题中,题目中常出现如“时间最短、

利润最大、费用最省、角度最恰当”等问题,求此类问题, 可以从给定的数量关系中选取一个适当的变量,建立函数模

型,根据目标函数的结构特征,运用导数最值理论或不等式
性质去解决,简捷有效.

已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生 产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收 入,根据市场调查,知 1 3 ? ?10x-30x ,0≤x≤10, R(x)= ? ?200,x>10, ? 3

其中x是年产量(单位:

千件) (1)写出年利润W关于年产量x的函数解析式; (2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所 获年利润最大?

[ 解析] 有

(1)设年产量为x千件,年利润为W万元,依题意

1 3 ? ?10x-30x -10-1.9x?0≤x≤10?, W=? ?200-10-1.9x?x>10?. ? 3

1 3 (2)设f(x)=-30x +8.1x-10,0≤x≤10, 1 2 f′(x)=-10x +8.1, 由f′(x)=0,得x=9或x=-9(舍去). 当0<x<9时,f′(x)>0;当9<x<10时,f′(x)<0. 所以当x=9时,f(x)取得最大值38.6. 170 113 当x>10时, 3 -1.9x< 3 <38.6. 即当年产量为9千件时,该公司所获年利润最大.

定积分的应用

计算由曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成 图形的面积.

[解析] 先画出草图,如图所示:

? ?y=x+3 由? 2 ? y = x -2x+3 ?

解得x1=0,x2=3.

从而所求图形的面积为
2 3 ?3 S=? ? (x+3)dx-? (x -2x+3)dx ? ?
?0 ?0

3 2 =? ? [(x+3)-(x -2x+3)] dx ?
?0

2 3 =? ? (-x +3x)dx, ?
?0

? 1 3 3 2? 因为?-3x +2x ?′=-x2+3x, ? ? ? 1 3 3 2??3 所以S=?-3x +2x ?? ?0 ? ?

9 =2.

A,B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B 站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C 点速度达到24m/s,从C点到B站前的D点匀速行驶,从D点开 始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s.在B点恰好停车,试求 (1)A,C间的距离; (2)B,D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.

[ 解析]

(1)设A到C经过t1s,由1.2t1=24得t1=20(s),
?20 ? ? ?0

所以AC=

20 2? ? 1.2tdt=0.6t ?0

=240(m).

(2)设从D到B经过t2s,由24-1.2t2=0得t2=20(s),
20 所以DB=? (24-1.2t)dt=240(m). ? ?
?

0

(3)CD=7200-2×240=6720(m). 6720 从C到D的时间为t3= 24 =280(s). 于是所求时间为20+280+20=320(s).

[说明]

本题是定积分在物理问题中的应用,分清运动

过程中的变化情况,感受定积分的内函数是解题的关键.

变速直线运动的物体的速度为 v(t) =1-t2 ,初始位置为
x0=1,求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置.

[ 解析]

当0≤t≤1时,v(t)≥0,当1<t≤2时,v(t)<0.

所以前2秒钟内所走过的路程
1 ?2 s=? ? v(t)dt+? [ -v(t)] dt ? ?
?0 ?1

2 1 ?2 2 =? ? (1-t )dt+? (t -1)dt. ? ?
?0 ?1

13 13 取F1(t)=t-3t ,F2(t)=3t -t, 则F1′(t)=1-t2,F2′(t)=t2-1, ∴s=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1) 1 8 1 =1-3+3-2-3+1 =2,

2秒末所在的位置
2 2 ?2 x1=x0+? ? v(t)dt=1+? (1-t )dt ? ?
?0 ?0

1 =1+F1(2)-F2(0)=3, 1 故它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为3.

即时巩固

2π 1.(2014· 北京朝阳区期中)由直线x=0、x= 3 、y=0与曲 线y=2sinx所围成的图形的面积等于( A.3 C.1 3 B.2 1 D.2 )

[答案] A

[ 解析]

所求面积S=

02sinxdx=-2cosx

1 =-2(-2-1)=3.

1 2.(2013· 河南安阳中学高二期中)由直线x= 2 ,x=2,曲 1 线y=x 及x轴所围图形的面积是( 15 A. 4 1 C.2ln2 )

17 B. 4 D.2ln2

[答案] D

3.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数(
?π 3π? A.?2, 2 ? ? ? ?3π 5π? C.? 2 , 2 ? ? ?

)

B.(π,2π) D.(2π,3π)

[ 答案] [ 解析]

B y′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx>0,
? ?x<0 ,或? ?sinx>0 ?

? ?x>0 得? ?sinx<0 ?



当x∈(π,2π)时y′>0,故在(π,2π)上是增函数. 故选B.

4 .设函数 f(x) 在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 f(x)在x =-2处取得极小值,则函数y =xf′(x) 的图象可能是 ( )

[答案] C [ 解析] 本题考查导数的应用,函数的图象.由 f(x) 在 x

=-2处取极小值知f′(-2)=0且在2的左侧f′(x)<0,而2的
右侧 f′(x)>0 ,所以 C 项适合.函数、导数、不等式结合命 题,对学生应用函数能力提出了较高要求.

二、填空题

[ 答案]

1 4(2- 3)

6.设P为曲线c?y=x2-x+1上一点,曲线c在点P处的 切线的斜率的范围是 [ - 1,3] ,则点 P 纵坐标的取值范围是 ____________.

[ 答案]
[ 解析]

3 [4,3]
由已知得y′=2x-1.由-1≤2x-1≤3

解得0≤x≤2. 12 3 3 ∴y=(x-2) +4∈[4,3].

三、解答题 1 2 7.(2014· 成都质量检测)已知函数f(x)=-2x +2x-aex. (1)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程; (2)若f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围.

[ 解析]

1 2 (1)当a=1时,f(x)=-2x +2x-ex,

1 3 2 则f(1)=-2×1 +2×1-e=2-e, f′(x)=-x+2-ex,f′(1)=-1+2-e=1-e, 3 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-( 2 -e)=(1-e)(x 1 -1),即y=(1-e)x+2.

(2)∵f(x)在R上是增函数,∴f′(x)≥0在R上恒成立, 1 2 ∵f(x)=-2x +2x-aex,f′(x)=-x+2-aex, 于是有不等式-x+2-aex≥0在R上恒成立, 2-x 即a≤ ex 在R上恒成立, 2-x x -3 令g(x)= ex ,则g′(x)= ex ,

令g′(x)=0,解得x=3,列表如下: x g′(x) g(x) (-∞,3) - 减 3 0 1 极小值-e3 (3,+∞) + 增

故函数g(x)在x=3处取得极小值,亦即最小值, 1 1 即g(x)min=-e3,所以a≤-e3, 1 即实数a的取值范围是(-∞,-e3].


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