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山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题

山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


山西大学附中 2015~2016 学年高二第一学期 11 月(总第三次)模 块诊断数
考试时间:90 分钟 一.选择题:(每小题 4 分)



试 题

考试内容:必修二 1.1-3.2

1.已知直线 l 过点 ( 3, ?2) 和 (0,1) ,则直线 l 的倾斜角为( A. 150? B. 120?
' ' ' '

)

C. 60

?

? D. 30

2.如图,正方形 O A B C 的面积为 4,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图 形的周长为( A. ) B.16 C.12 D.

3. 在梯形 ABCD 中,?ABC ?

?
2

, AD / / BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯形 ABCD )

绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A.

2? 3

B.

4? 3

C.

5? 3

D. 2? )

4.已知 ab ? 0 , bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 通过( A.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 B.第一、二、三象限 D.第二、三、四象限

5.在三棱锥 A ? BCD 中,已知侧面 ABD ? 底面 BCD ,若 ?ABC ? 60? ,

?CBD ? 45? ,则侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为(
A. 30
?



B. 45

?

C. 60

?

D. 75

?

6. 一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为 (



1

7.三条不重合的直线 a, b, c 及三个不重合的平面 ? , ? , ? ,下列命题正确的是( ) A.若 a / /? , a / / ? , 则 ? / / ? B.若 ? ? ? ? a, ? ? ? , ? ? ? , 则 a ? ? C.若 a ? ? , b ? ? , c ? ? , c ? a, c ? b, 则 ? ? ? D.若 ? ? ? ? a, c ? ? , c / /? , c / / ? , 则 a / /? 8.已知 p, q 满足 p ? 2q ? 1 ? 0 ,则直线 px ? 3 y ? q ? 0 必过定点 ( A. ( ? )

1 1 , ) 6 2

B. ( , )

1 1 2 6

C. ( ,? )

1 2

1 6

D. ( , ? )

1 6

1 2

9.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? BC ? 2 , AA1 ? 1 ,则点 A 到平面 A 1BC 的距离为( A. ) B.

3 4

3 2

C.

3 3 4

D. 3

10. 如图, ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,?BCA ? 90? , 点 D1 和 F1 分别是 A1 B1 和 A1C1 的 中点,若 BC ? CA ? CC1 ,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( )

A.

30 10

B.

1 2

C.

30 15

D.

15 10

11.在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 平面 A1B1C1D1 ,底面 A1B1C1D1 是边长为 a 的 正方形,侧棱 AA1 的长为 b , E 为侧棱 BB1 上的动点(包括端点) ,则( A.对任意的 a , b ,存在点 E ,使得 B1D ? EC1 B.当且仅当 a ? b 时,存在点 E ,使得 B1D ? EC1 C.当且仅当 a ? b 时,存在点 E ,使得 B1D ? EC1 D.当且仅当 a ? b 时,存在点 E ,使得 B1D ? EC1 )

D
A B

C

D1

A1

第 11 题

E

C1

B1

2

12. 三棱锥 O ? ABC 中,OA ? OB, OB ? OC , OC ? OA, 若 OA ? OB ? a, OC ? b ,D 是 该三棱锥外部(不含表面)的一点,给出下列四个命题, ① 存在无数个点 D ,使 OD ? 面ABC ; ② 存在唯一点 D ,使四面体 ABCD 为正三棱锥; ③ 存在无数个点 D ,使 OD ? AD ? BD ? CD ; ④ 存在唯一点 D ,使四面体 ABCD 有三个面为直角三角形. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题:(每小题 4 分)
C

O

B

第 12 题 .

A

13.两直线 ax ? y ? 2a ? 0 和 (2a ? 1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,则 a ?

14.空间四边形 ABCD, AB ? CD ? 8, M、N、P 分别为 BD、AC、BC 的中点,若异面直 线 AB 和 CD 成 60? 的角,则 MN ? .

15.已知正三棱锥 P ? ABC 的主视图和俯视图如下图所示,则此三棱锥的外接球的表面 积为 .

16.已知 ?ABC 的三边长分别为 AB ? 5 , BC ? 4 , AC ? 3 , M 是 AB 边上的点, P 是平面 ABC 外一点,给出下列四个命题: ①若 PA ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的四个面都是直角三角形; ②若 PM ? 平面 ABC ,且 M 是 AB 边的中点,则有 PA ? PB ? PC ; ③若 PC ? 5 , PC ? 平面 ABC ,则 ?PCM 面积的最小值为 15 ; 2 ④若 PB ? 5 , PB ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球体积为 125 2? ;
3

其中正确命题是 三.解答题: (共 36 分)

.

3

17. (8 分)已知直线 l 过点 P(2,3) ,根据下列条件分别求出直线 l 的方程. (1) l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0; (2) l 与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为 16.

AC ? BC , 18. (8 分)如图, 三棱柱 ABC ? A 侧棱 AA1 ⊥底面 ABC , D, E, F 1B 1C1 中,
分别为棱 AB, BC, AC 1 1 的中点. (1)证明: EF //平面 ACD ; 1 (2)证明:平面 ACD ⊥平面 ABB1 A 1 1.

19. (理科) (10 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,错误!未找到引用源。 错误!未找 到引用源。平面错误!未找到引用源。 , AD / / BC / / FE ,错误!未找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。为错误! 未找到引用源。 的中点, AF ? AB ? BC ? FE ? (1)证明:平面错误!未找到引用源。 平面错误!未找到引用源。 ; (2)求二面角错误!未找到引用源。 的 余弦值.

1 AD . 2

19. (文科) (10 分)正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ?

4

平面 CDE ,且 AE

? 3 , AB ? 6 .

(1)求证: AB ? 平面 ADE ; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

20. (10 分)等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D, E 分别是边 AB, AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? (如图 1) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使二面角 DB EA 2

A1 ? DE ? B 为直二面角,连结 A1B 、 A1C (如图 2) .
(1)求证: A1 D ? 平面 BCED ;

60 ? ?若存在, (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A 1BD 所成的角为
求出 PB 的长;若不存在,请说明理由.

山西大学附中 2015~2016 学年高二第一学期 11 月(总第三次)模块诊断数学答案 一、选择题:(每小题 4 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 9 B 10 A 11 D

12

A

二、填空题:(每小题 4 分)
5

13.0 或 1

14. 4 或 4 3

15.

64? 3

16.①②④

三.解答题: 17. (8 分) 解: (1)①当直线 l 经过原点时在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0,此时直线 l 的方程为 , ②当直线 l 经不过原点时,设直线 l 的方程为 ∵P(2,3)在直线 l 上,∴ ,a=﹣1,即 x﹣y+1=0. ……4 分

综上所述直线 l 的方程为 3x﹣2y=0 或 x﹣y+1=0.

(2)设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b(a>0,b>0) ,则直线 l 的方程为 ∵P(2,3)在直线 l 上,∴ .

又由 l 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为 16,可得 ab=32,∴a=8,b=4 或 . ∴直线 l 的方程为 或 . ……8 分

综上所述直线 l 的方程 x+2y﹣8=0 或 9x+2y﹣24=0. 18. (8 分) (1)证明:连接 DE

? D, E 分别为 AB , BC 的中点,? DE / /
? F 为 A1C1 的中点,? A1 F ?
而 A1C1 // AC ? A1 F //

1 AC 2

1 A1C1 , 2

1 AC ? DE// A1 F 2

? 四边形 A1 DEF 是平行四边形? A1 D // EF
? EF ? 平面 A1CD, A1 D ? 平面 A1CD ? EF // 平面 A1CD
……4 分

(Ⅱ)证明:? A1 A ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC ,? A1 A ? CD

? AC ? BC , D 为 AB 的中点,? AB ? CD ,

6

? A1 A ? AB ? A ? CD ? 平面 ABB1 A1
又因为 CD ? 平面 A1CD

? 平面 A1CD ? 平面 ABB1 A1

……8 分

19. (理) (10 分)

7

8

19.(文) 解析: (1)证明:∵ AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD ? AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ AB ? CD ,∴ AB ? 平面 ADE . ……4 分 (2)解法 1:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 , ∴ DE ?

AD 2 ? AE 2 ? 3 3 .
? AB .

过点 E 作 EF ? AD 于点 F , ∵ AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE ,∴ EF ∵ AD ? AB ? A ,∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ AD ? EF
? AE ? DE ,∴ EF

又正方形 ABCD 的面积 S ABCD

AE ? DE 3 ? 3 3 3 3 . ? ? AD 6 2 ? 36 ,∴ VABCDE ? VE ? ABCD ? 1 S ABCD ? EF 3 ?
……10 分

?

1 3 3 ? 36 ? ? 18 3 .故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 . 3 2

解法 2:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 ,∴ DE ?

AD 2 ? AE 2 ? 3 3 .

连接 BD ,则凸多面体 ABCDE 分割为三棱锥 B ? CDE 和三棱锥 B ? ADE . 1 1 由(1)知, CD ? DE .∴ S ?CDE ? ? CD ? DE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3 . 2 2 又 AB ? CD , AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,∴ AB ? 平面 CDE . ∴点 B 到平面 CDE 的距离为 AE 的长度. 1 1 ∴ VB ?CDE ? S ?CDE ? AE ? ? 9 3 ? 3 ? 9 3 . 3 3 ∵ AB ? 平面 ADE ,∴ VB ? ADE ?

1 1 9 3 S ?ADE ? AB ? ? ?6 ? 9 3 . 3 3 2

∴ VABCDE ? VB ?CDE ? VB ? ADE ? 9 3 ? 9 3 ? 18 3 . 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 . ……10 分

9

20. (10 分)

10

11


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