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矩阵知识点

矩阵知识点

矩阵

定义

由 m ? n 个数 aij

?i ? 1, 2,

,m ; j ? 1, 2,

,n? 排成的 m 行 n 列的数表

a11 a21 am1

a12 a 22 am 2

a 1n a 2n amn

称为

? a11 ? ? a21 m ? n A ? m 行 n 列矩阵。简称 矩阵,记作 ? ? ? am1

a12 a22 am1

a1n ? ? a2 n ? ? ? aij ? , ,简记为 A ? Am?n ? ? aij ? m?n ? ? amn ?

这m ? n个数称为A的元素, 简称为元 。
几种特殊的矩阵: 方阵 :行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作:An。 行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。 相等矩阵:AB 同型,且对应元素相等。记作:A=B 零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同) 对角阵:不在主对角线上的元素都是零。 单位阵:主对角线上元素都是 1,其它元素都是 0,记作:En(不引起混淆时,也可表示为 E )

3. 正交矩阵
T 定义 6:A 是一个 n 阶实矩阵,若 A A ? E ,则称 A 为正交矩阵。 定理:设 A、B 都是 n 阶正交矩阵,则 A ? 1 A ? ?1 (1) 或 ?1 T (2) A ? A

?1 T (3) A (即A ) 也是正交矩阵 (4) AB 也是正交矩阵。 定理:n 阶实矩阵 A 是正交矩阵 ? A 的列(行)向量组为单位正交向量组。 注:n 个 n 维向量,若长度为 1,且两两正交,责备以它们为列(行) 向量构成的矩阵一定 是正交矩阵。

注意

矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵

仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。

1

? 51 21 28 ? ? 2 3 m ? ? 2 3 m 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1、上述形如 ? ? 、 ? 36 38 36 ? 、 ? 3 ?2 4 ? 、 ? 3 ?2 4 2 ? 这样的矩形数表叫做矩阵。 ? 3 ? ? 23 21 28 ? ? 4 1 ? n ? ? 4 1 ? n 4 ? ? ? ? ? ? ?

? b1 ? ? ? b2 2、 在矩阵中, 水平方向排列的数组成的向量 ? a1 , a2 , ???an ? 称为行向量; 垂直方向排列的数组成的向量 ? ? ? ??? ? ? ? ? bn ?
称为列向量;由 m 个行向量与 n 个列向量组成的矩阵称为 m ? n 阶矩阵, m ? n 阶矩阵可记做 Am?n ,如

? 51 21 28 ? ?1 ? ? ? 矩阵 ? ? 为 2 ? 1 阶矩阵,可记做 A2?1 ;矩阵 ? 36 38 36 ? 为 3 ? 3 阶矩阵,可记做 A3?3 。有时矩阵也 3 ? ? ? 23 21 28 ? ? ?
可用 A 、 B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个 m ? n 阶矩阵 Am?n 中的第 i ( i ? m )行第 j ( j ? n )列

? 51 21 28 ? ? ? 数可用字母 aij 表示,如矩阵 ? 36 38 36 ? 第 3 行第 2 个数为 a32 ? 21 。 ? 23 21 28 ? ? ?
4、当一个矩阵中所有元素均为 0 时,我们称这个矩阵为零矩阵。如 ?

?0 0 0? ? 为一个 2 ? 3 阶零矩阵。 ?0 0 0?

5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有 n 行(列) ,可称此方

? 51 21 28 ? ? 2 3 m ? ? ? ? ? 阵为 n 阶方阵,如矩阵 ? 36 38 36 ? 、 ? 3 ?2 4 ? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中,从左上角 ? 23 21 28 ? ? 4 1 ? n ? ? ? ? ?
到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元素均为 1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。

?1 0 0? ?1 0? ? ? 如矩阵 ? ? 为 2 阶单位矩阵,矩阵 ? 0 1 0 ? 为 3 阶单位矩阵。 ?0 1? ?0 0 1? ? ?
6、如果矩阵 A 与矩阵 B 的行数和列数分别相等,那么 A 与 B 叫做同阶矩阵;如果矩阵 A 与矩阵 B 是同阶 矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵 A 与矩阵 B 叫做相等的矩阵,记为 A ? B 。

矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个 m ? n 矩阵 A ? aij 和B ? bij ,那么矩阵 A 与 B 的和记作 A ? B ,规定为

? ?

? ?

2

? a11 ? b11 ? a ?b A ? B ? ? 21 21 ? ? ? am1 ? bm1
说明

a12 ? b12 a22 ? b22 am 2 ? bm 2

a1n ? b1n ? ? a2 n ? b2 n ? ? ? amn ? bmn ?

只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。 (课本 P33)

矩阵加法的运算规律

?1? A ? B ? B ? A ; ? 2? ? A ? B ? ? C ? A ? ? B ? C ?
? 3? 设矩阵 A ? ? aij ?m?n , 记 ? A ? (?aij )m?n
? ?a11 ? ?a ? ? 21 ? ? ? ?am1 ?a12 ?a22 ?am1 ?a1n ? ? ?a2 n ? , ? A 称为矩阵 A 的 负矩阵 ? ? ?amn ?

? 4? A ? ? ? A? ? 0, A ? B ? A ? ? ?B? 。
数与矩阵相乘(矩阵的数量乘法)

数?与矩阵A的乘积记作? A或A? , 规定为

? ? a11 ? a12 ? ?a ? a22 数?与矩阵A的乘积记作? A或A? , 规定为? A ? A? ? ? 21 ? ? ? ? am1 ? am1
数乘矩阵的运算规律(设 A、B 为 m ? n 矩阵, ? , ? 为数)

? ? ? amn ?

? a1n ? ? a2 n ? ?

?1? ??? ? A ? ? ? ? A? ; ? 2? ? ? ? ? ? A ? ? A ? ? A ; ?3? ? ? A ? B? ? ? A ? ? B 。
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘 设 B ? (bij ) 是一个 m ? s 矩阵, B ? (bij ) 是一个 s ? n 矩阵,那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的

乘积是一个

m ? n 矩 阵 C ? ( cij ), 其 中 ? ai1 ai 2

? b1 j ? ? ? ? b2 j ? ais ? ? ? ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ?b ? ? sj ?

? aisbsj ? ? aik bkj ,
k ?1

s

3

?i ? 1,2,

m; j ? 1,2, , n? ,并把此乘积记作 C ? AB
?b11?的乘法规则为[a a ]?b11?=[a b +a b ],二阶矩阵?a b?与列矩阵?x? ? ? ? ? ?? 11 12 ? 11 11 12 21 ?b21? ?b21? ?c d ? ?y?

行矩阵[a11a12]与列矩阵? 的乘法规则为?

?a b??x?=?ax+by?.矩阵乘法满足结合律,不满足交换律和消去律. ?? ? ? ? ?c d??y? ?cx+dy ?

规则:A m

*

s

* Bi

* n = cm *

n

行1* 列1

行2* 列2 = 行1* 列2

第 1 行乘以第 1 列、第 1 行乘以第 2 列,如此类推 矩阵乘法的运算规律

?1? ? AB? C ? A? BC ? ; ? 2? ? ? AB? ? ?? A? B ? A?? B? ?3? A? B ? C ? ? AB ? AC , ? B ? C ? A ? BA ? CA ? 4? Am?n En?n ? Em?m Am?n ? Am?n
矩阵的幂乘: 若 A 是 n 阶方阵,则称 Ak 为 A 的 k 次幂,即 A ? A A
k k个

A,

并且 A A ? A
m k

m? k

, A

? ?

m k

? Amk ? m, k为正整数? 。规定:A0=E
k

注意

k k 矩阵不满足交换律,即 AB ? BA , ? AB ? ? A B (但也有例外)

转置矩阵

? 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 A ,如

?1 4? ?1 2 2? ? ? T A?? ? , A ? ?2 5? 。 ?4 5 8? ?2 8? ? ?
转置矩阵的运算性质

?1? ? AT ?

T

? A;
T

? 2? ? A ? B ? ? 3? ? ? A ?
T

? AT ? BT ;

? ? AT ;

4

? 4 ? ? AB ?

T

? BT AT 。
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式,记作 A 或 det A(记住这

方阵的行列式 个符号) 注意

方阵 :行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作:An。 矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n2 个数按一定方式排成的数表,而 n 阶行列式则是这些数按 一定的运算法则所确定的一个数。 运算性质

?1?

AT ? A ;

? 2? ? A ? ? n

A;

(3) AB ? A B ? B A ? BA
单位矩阵 在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的 1,我们称这种矩阵为单位矩阵.它 是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为 1 以外全都为 0。记为:In 或 En, 也可以标记为 I 或者 E 对于单位矩阵,有 AE=EA=A 对角矩阵 对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵。对角线上的元素可以为 0 或其他值。 三角矩阵 以主对角线划分,三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。 ①上三角矩阵

5

它的下三角(不包括主对角线)的元素均为常数 0。 ②下三角矩阵 与上三角矩阵相反,它的主对角线上方均为常数 0,如图所示。

实对称矩阵 如果有 n 阶矩阵 A,其各个元素都为实数,矩阵 A 的转置等于其本身(AT = A) ,则称 A 为实对称矩 阵。 如果有 n 阶矩阵 A,其各个元素都为实数,且 aij=aji i,j=1,2,...,n(即 这里 T 表示转置),则称 A 为实对称矩阵。 反对称矩阵 ,对称矩阵的元素 A(i,j)=A(j,i). 反对称矩阵定义是:A= - AT(A 的转置前加负号) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等,符号相 反。 于是,对于对角线元素,A(i,i)=-A(i,i),有 2A(i,i)=0, 在非偶数域中,有 A(i,i)=0,

即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中,由于 1+1=0,反对称矩阵 的对角线元素不一定为 0)。

对称矩阵 说明

设 A 为 n 阶方阵,如果满足 A=AT ,即 aij ? a ji

?i, j ? 1,2,
T

, n ? 那么 A 称为对称阵。

对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果 A ? ? A 则称矩阵 A 为反对称的。即反对称

矩阵 A=(aij)中的元素满足 aij=-aji,i,j=1,2,…n

逆矩阵 定义 对于 n 阶矩阵 A,如果有一个 n 阶矩阵 B,使得 AB=BA=E 则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为
?1
?1

的逆矩阵记作 A , 即A ? B 。 A 的逆矩阵。 A
说明 1 A ,B 互为逆阵, A = B-1 2 只对方阵定义逆阵。

3.若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的。
6

伴随矩阵

? A11 ? A12 ? 行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 A ? ? ? ? ? A1n

A21 A22 A2 n

An1 ? ? An 2 ? 称为 ? ? Ann ?

矩阵 A 的伴随矩阵。 性质 AA ? A A ? A E (易忘知识点) 定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ? 0 ,并且当 A 可逆时,有 A
?1

?

?

?

1 * A (重要) A

(2)设 A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵 B,使得 BA=AB=E,则称矩阵 A 可逆,或称矩阵 A 是 可逆矩阵,并且称 B 是 A 的逆矩阵. (3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵,如果 A 是可逆的,则 A 的逆矩阵是唯一的.A 的逆矩阵记为 A 1.


(4)(性质 2)设 A,B 是二阶矩阵,如果 A,B 都可逆,则 AB 也可逆,且(AB) 1=B 1A 1.
- - -

奇异矩阵与非奇异矩阵

当 A ? 0 时, A 称为奇异矩阵,当 A ? 0 时, A 称为非奇异矩阵。即

A可逆 ? A为非奇异矩阵 ? A ? 0 。
推论 若 AB ? E(或BA=E) ,则 B ? A
?1

(1)先求 | A | 并判断当 | A |? 0时逆阵存在;
求逆矩阵方法

(2)求A*; 1 * (3) 求 A ? A?1。 | A|

逆矩阵的运算性质

?1? 若A可逆, 则A?1亦可逆, 且 ? A?1 ?

?1

?A
?1

? 2 ? 若A可逆, 数? ? 0, 则? A可逆, 且 ? ? A?

?

1

?

A?1 。

?3? 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且(AB)?1 ? B?1 A?1 。
? 4 ? 若A可逆, 则AT 亦可逆 , 且 ? AT ?
?1

? ? A?1 ? 。
T

7

? 5? 若A可逆, 则有 A?1
1. 2.

? A 。

?1

对于 n 阶矩阵 A : AA* ? A* A ? A E 无条件恒成立;
( A?1 )* ? ( A* )?1 ( A?1 )T ? ( AT )?1 ( AB)* ? B* A* ( A* )T ? ( AT )* ( AB)?1 ? B ?1 A?1

( AB)T ? BT AT

矩阵的初等变换 (1)互换矩阵的两行; (2)把某一行同乘(除)以一个非零的数; (3)某一行乘以一个数加到另一行。 以上任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵

初等行变换

?1? 对调两行,记作 (ri ? rj ) 。 ? 2? 以数 k ? 0 乘以某一行的所有元素,记作 (ri ? k) 。 ?3? 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去,记作 (ri ? krj ) 。
一个矩阵成为阶梯型矩阵,需满足两个条件: (1)如果它既有零行,又有非零行,则零行在下,非零行在上. (2)如果它有非零行,则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升. 阶梯型矩阵的基本特征: 如果所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零.特点 (每 个阶梯只有一行;元素不为 0 的行(非零行)的第一个非零元素的列标随着行标增大而严格增大(列标一 定不小于行标) ;元素全为 0 的行(如果有的话)必在矩阵的最下面几行) 任意矩阵可经过有限次初等行变换化为阶梯型矩阵

若矩阵 A 满足两条件: (1)零行(元素全为 0 的行)在最下方; (2)非零首元(即非零行的第一个不为零的元素)的列标号随行标号的增加而严格递增,则称此矩阵 A
8

为阶梯形矩阵。

初等变换求逆矩阵:

? E | A?1 或 ? (1)求逆矩阵: ( A | E ) ????
初等行变换

?

?

? A ? 初等列变换 ? E ? ? ? ?1 ? 。 ? ???? ?E? ?A ?

? E | A?1 B ,则 P=A-1B。或 (2)求 A-1B :A ( A, B) ~ (E ,P), 即 ( A | B) ??


r

?

?

? A ? 初等列变换 ? E ? ? ? ?1 ? . ? ? ???? ? B? ? BA ?

矩阵的秩 矩阵的秩 任何矩阵 Am?n ,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形, 行阶梯形矩阵中非零行的行

数是唯一确定的。 (非零行的行数即为矩阵的秩) 矩阵的秩 在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话)全等于 0,那

么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).规定零矩阵的秩,R(0)=0. 说明 1. 矩阵 Am×n,则 R(A) ≤min{m,n}; 2. R(A) = R(AT); 3. R(A)≥r 的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零; 4. R(A)≤r 的充分必要条件是所有 r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵 矩阵 A ? aij

? ?

m?n

,若 R( A) ? m ,称 A 为行满秩矩阵;若 R( A) ? n ,称 A 为列满秩矩

阵; 若A为n阶方阵, 且R( A) ? n, 则称A为满秩矩阵 。

若n阶方阵A满秩,即R( A) ? n

?

A ? 0;

? A?1必存在;
? A为非奇异阵;

? A必能化为单位阵En , 即A ~ En .
矩阵秩的求法
9

定理 1

矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若 A~B,则 R(A)=R(B)。

矩阵 Am×n,经过有限次初等行变换可变为行阶梯形,则非零行的行数就是 A 的秩。

A―――初等行变换―――阶梯形矩阵形 B

那么 R(A)=阶梯形矩阵形 B 的主元的个数。

矩阵秩的性质总结

(1) 0 ? R( Am?n ) ? min{m, n} (2) R( AT ) ? R( A)

(3)若 A ~ B, 则 R ? A? ? R ? B ?
(4)若P、Q可逆,则R( PAQ) ? R( A)
(5) max{R( A), R( B)} ? R( A, B) ? R( A) ? R( B) 特别当B ? b为非零列向量时,有R( A) ? R( A, b) ? R( A) ? 1.
(6) R( A ? B) ? R( A) ? R( B)

(7) R( AB) ? min{R( A), R( B)}.

(8) 若Am?n Bn?l ? O, 则R( A) ? R( B) ? n.
(9)设AB=O,若A为列满秩矩阵,则B=O(矩阵乘法的消去率) 。

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