9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

惠州市2013-2014高一(必修1+必修4三角函数,平面向量)期末数学试题及参考答案

惠州市2013-2014高一(必修1+必修4三角函数,平面向量)期末数学试题及参考答案


惠州市 2013-2014 学年第一学期期末考试 高一数学试题
说明: 1.全卷满分150分,时间120分钟; 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号,填写在答题卷上; 3.考试结束后,考生将答题卷交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 ? UA?( A. ? B. ?2,4,6? C. ?1,3,6,7? ) . ) . D. ?1,3,5,7?

2.已知角 ? 的终边过点 P(?1, 2) , cos ? 的值为(

A.-

5 5

B.- 5

C.

2 5 5

D.

5 2
) .

3.已知三角形 ABC 中, BA · BC ? 0 ,则三角形 ABC 的形状为( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

D.等腰直角三角形

4.集合 M ? x ?2 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 ,给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定义域, N 为值域的函数关系的是( y 2 -2 0 A. x -2 0 B. y 2 2 x -2 0 C. ) ) . y 2 2 x -2 0 D. y 2 2 x

?

?

?

?

?x ?1 ? 5.设 f ( x ) ? ?? ?0 ?
A. ? ? 1
x

( x ? 0) ( x ? 0) ,则 f [ f (?1)] ? ( ( x ? 0)
B.0 C. ? )
第 1 页 共 10 页

D. ? 1

6.函数 f ( x) ? 3 ? 4 x 的零点所在的区间是(

惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试

A. (?2, ?1)

B. (?1, 0)

C. (0,1)

D. (1, 2)

7. 要由函数 y ? sin x 的图象得到函数 y ? sin ? A.向左平移

?? ?1 下列变换正确的是 ( x ? ? 的图象, 6? ?2



π 个单位长度,再将各点横坐标变为原来的 2 倍. 6 π 1 B.向左平移 个单位长度,再将各点横坐标变为原来的 . 6 2 π C.向右平移 个单位长度,再将各点横坐标变为原来的 2 倍. 3 π 1 D.向右平移 个单位长度,再将各点横坐标变为原来的 . 3 2
8.函数 y ? x 的图象是
4 3





A. 9.下列关系式中,成立的是(

B. ).

C.

D.

?1? A. log 3 4 ? ? ? ? log 1 10 ?5? 3
C. log 3 4 ? log 1 10 ? ? ?
3

0

?1? B. log 1 10 ? ? ? ? log 3 4 ?5? 3
D. log 1 10 ? log 3 4 ? ? ?
3

0

?1? ?5?

0

?1? ?5?

0

10.设 y ? f ( x) 是 R 上的任意函数,下列叙述正确的是( A. y ? f ( x) ? f (? x) 是奇函数 C. y ? f ( x) ? f (? x) 是偶函数



B. y ? f ( x) ? f (?x) 是奇函数 D. y ? f ( x) ? f (? x) 是偶函数

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,请将答案填在答题卡相应位置. 11.若 10 ? 3,10 ? 4 ,则 10
x y
x? y

? __________.

12.已知 a ? ? ?1,3? , b ? ( x, ?1) , 且 a / / b ,则 x ? __________.

惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试

第 2 页 共 10 页

13.已知 tan x ? 2 ,则

cos x ? sin x =__________. cos x ? sin x

14 . 设函 数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ? 3 , g ( x) ? x ? a 若 不 .存在 ..x0 ? R , 使 得 f ( x0 ) ? 0 与

g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (满分 12 分) 已知 a ? ?1 , 2 ?, b ? ? ?3, 2? . (1)求 a ? b 及 a ? b ;
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

(2)若 k a ? b 与 a ? b 垂直,求实数 k 的值.

16. (满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin ? x( A ? 0,? ? 0) 的最大值为 2,周期为 ? . (1)确定函数 f ( x ) 的解析式,并由此求出函数的单调增区间; (2)若 f ( ) ? 1, ? ? ? 0,

?

2

? ?? ? ,求 cos ? , tan ? 的值. ? 2?

17. (满分 14 分) 已知函数 y ? loga ( x ? 2)(a ? 0, a ? 1) . (1)求函数定义域和函数图像所过的定点; (2)若已知 x ? ? 4,6? 时,函数最大值为 2,求 a 的值.

惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试

第 3 页 共 10 页

18. (满分 12 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池 又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨( 0 ? t ? 24 ) ,从供水开始到第 几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?

19. (满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ( x ? R, a ? R ).

(1)若 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)已知 a ? 0 ,若对任意 x ? R 都有 f ( x) ? ?1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 满足: 对任意 x, y ? R , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 成立,且 x ? 0 时, f ( x) ? 2 . (1)求 f (0) 的值,并证明:当 x ? 0 时, 1 ? f ( x) ? 2 ; (2)判断 f ( x ) 的单调性并加以证明; (3)若 g ( x) ? f ( x) ? k 在 (??, 0) 上递减,求实数 k 的取值范围.

惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试

第 4 页 共 10 页

惠州市 2013-2014 学年第一学期期末考试 高一数学试题(必修 1+必修 4 三角函数,平面向量)答案
一、选择题 题号 答案 【解析】 1.剔除 U 中的“2,4,5”,故 CU A ? ?1,3,6,7? ,选 C 2. r ? 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 A 9 A 10 C

(?1) 2 ? 2 2 ? 5 , cos ? ?

x ?1 5 ,选 A ? ?? r 5 5

3. BA · BC ? BA BC cos B ? 0,? cos B ? 0 ,故 B 为钝角,三角形为钝角三角形,选 A 4.选项 A 中定义域为 ? ?2,0? ,选项 C 的图像不是函数图像,选项 D 中的值域不对,选 B。 5. f [ f (?1)] ? f (0) ? ? ,故选 C 6. f (?2) ?

1 1 ? 8 ? 0, f (?1) ? ? 4 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 ? 0, f (?1) f (0) ? 0 , 9 3

故零点在区间 (?1, 0) 内,选 B。 7 . y ? sin x 左 移

? ?? ? 个 单 位 , 得 到 y ? sin ? x ? ? , 横 坐 标 为 原 来 的 2 倍 得 到 6 6? ?

?? ?1 y ? sin ? x ? ? ,故选 A。 6? ?2
8.幂函数 y ? x , a ?
a

4 ? 1,在第一象限单调增,且为偶函数,关于 y 轴对称,选A。 3

1 ?1? 9. ? ? ? 1,log3 4 ? log 3 3 ? 1,log 1 10 ? log 1 ? 1 ,故选 A ?5? 3 3 3
10.选项 A 中,设 F ( x) ? f ( x) f (? x), F (? x) ? f ( x) f (? x) ? F ( x) ,故为偶函数; 选项 B 中, f ( x) f (?x) 奇偶性不确定;选项 C 中,设 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,

0

F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? F ( x) 是偶函数, C 正确; 选项 D 中,F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ? F ( x) ,故为奇函数,选 C。
惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试 第 5 页 共 10 页

二、填空题 11.

3 4

12. x ?

1 3

13. ?3

14. a ?? ?3,6?

【解析】 11. 10
x? y

10 x 3 ? y ? 10 4
1 3

12. 13.

a / / b,? ? ?1?? ?1? ? 3 x ? 0 ? x ?

cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2 ? ? ? ?3 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2

14 .若二次函数 f ( x ) 的图像没有在 x 轴下方的部分,即 ? ? 0 ,则必满足题意,此时 解得 ?2 ? a ? 6 ; 若二次函数 f ( x ) 的图像有在 x 轴上方的部分, ? ? a2 ? 4(a ? 3) ? 0 ,

? ? ??0 ? 即 ? ? 0 ,则函数 f ( x ) 较小零点需大于 a ,故 ? f (a ) ? 0 ,解得 ?3 ? a ? ?2 ,综上, ? a ?x ? ? a ? 2

a ?? ?3,6? 。
三、解答题 15.解: (1) a ? b ? ? 4,0 ? ,………………………………………………………3 分
?

?

?

a ? b ? 42 ? 02 ? 4 ;………………………………………………6 分
?

?

(2) k a ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) , a ? b ? ? 4,0 ? ,
? ?

?

?

?

………………………………8 分

k a ? b ? a ? b ,?(k a ? b ) a ? b ? 4 ? k ? 3? ? ? 2k ? 2? ? 0 ? 0 ,……10 分
解得: k ? 3 ………………………………………………………………………12 分 16.解: (1)由题意可知 ymax ? A ? 2 ,………………………………………2 分

?

?

?

?

T?

2?

?

? ? ?? ? 2

…………………………………………5 分

惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试

第 6 页 共 10 页

? f ( x) ? 2sin 2 x
令 2 x ? ? 2k? ?

………………………………………………6 分

? ?

?
2

, 2k? ? ? ?

??
2? ?



即 f ( x ) 的增区间为 ? k? ? (2) f ( ) ? 2sin ? ? 1, ? sin ? ?

?
4

, k? ?

??
4? ?

( k ? Z )……………8 分

?

2

1 ,……………………………………10 分 2

而 ? ? ? 0,

? ? ?? ? ,故 ? ? 6 ,……………………………………………12 分 ? 2?

cos ? ? cos

?
6

?

3 ? 3 ……………………………14 分 , tan ? ? tan ? 2 6 3

17.解: (1)令 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 ,故定义域为 ? 2, ??? …………………3 分 令 x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 3 ,故函数过定点 ? 3,0 ? ………………6 分

(2)若 a ? 1 ,函数 y ? loga ( x ? 2) 在 x ? ? 4,6? 上单调递增,……………8 分 故 x ? 6 时 ymax ? loga 4 ? 2 ,解得 a ? 2 ; …………………………10 分 若 0 ? a ? 1 ,函数 y ? loga ( x ? 2) 在 x ? ? 4,6? 上单调递减,………12 分 故 x ? 4 时 ymax ? loga 2 ? 2 ,解得 a ? 2 ? ? 0,1? ; 综上, a ? 2 。 …………………………………………………………14 分 18.解:设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y ? 400 ? 60t ?120 6t ( 0 ? t ? 24 )…………………………………4 分 令 6t = x ,即 x ? 6t ,且 x ?[0,12] ……………………………………6 分
2

即 y ? 400 ? 10x ?120x ? 10( x ? 6)2 ? 40,
2

………………………………8 分

∴ 当 x ? 6 ??0,12? ,即 t ? 6 时, ymin ? 40 ,……………………………10 分 答:从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨 ……………12 分 19.解: (1)若 f ( x ) 的为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) …………………………1 分

f ( x) ? x2 ? x ? a , f (?x) ? (?x)2 ? ?x ? a ? x2 ? x ? a ,
惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试 第 7 页 共 10 页

故 x ? a ? x ? a ,…………………………………………………3 分 两边平方得 ? x ? a ? ? ? x ? a ? ,展开得 4ax ? 0 恒成立………5 分
2 2

? a ? 0 时, f ( x) 为偶函数。 ……………………………………6 分
(2) f ( x ) ? ?

? x2 ? x ? a ?x ? x ? a
2

x?a x?a

设 f1 ? x ? ? x2 ? x ? a( x ? a) , f2 ? x ? ? x2 ? x ? a( x ? a) ……………7 分 ① 求 f1 ? x ? ? x2 ? x ? a( x ? a) ,即 f1 ( x ) ? ( x ? ) ? a ?
2

1 2

1 ( x ? a ) 的最小值: 4

1 , f1 ? x ?min ? f1 (a) ? a2 ; 2 1 1 1 若 0 ? a ? , f1 ? x ?min ? f1 ( ) ? a ? ……………………………………9 分 2 2 4 1 2 1 ② 求 f2 ? x ? ? x2 ? x ? a( x ? a) ,即 f 2 ? x ? ? ( x ? ) ? a ? ( x ? a ) 的最小值 2 4 1 1 1 a ? 0 ? ? ,? f 2 ? x ?min ? f 2 (? ) ? ?a ? ……………………………10 分 2 2 4 1 1 2 比较 ? a ? 与 a , a ? 的大小: 4 4 1 1 1 1 a ? 0 ??a ? ? 0 ? a 2 , ?a ? ? a ? ,故 f ( x) min ? ? ? a …………12 分 4 4 4 4
若a ? “ f ( x) ? ?1 对 x ? R 恒成立”即为“ f ( x)min ? ?1 ( x ? R )” 令 f ( x) min ? ?

1 3 ? a ? ?1 ,解得 0 ? a ? 。………………………………14 分 4 4

20.解: (1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? f (0) f (0) ? f (0) ? f (0) ? 2 , 即 f 2 (0) ? 3 f (0) ? 2 ? 0 ,解得 f (0) ? 1 或 f (0) ? 2 …………………1 分 若 f (0) ? 1 ,令 x ? 1, y ? 0 ,则 f (1) ? f (1) f (0) ? f (1) ? f (0) ? 2 ? 1, 与已知条件矛盾. 所以 f (0) ? 2 .…………………………………………………………2 分 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,那么 f (? x) ? 2 .
惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试 第 8 页 共 10 页

又 2 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x) f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? 2

? f ( x) ?

………………………………3 分 f (? x) 1 ? 1? f (? x) ? 1 f (? x) ? 1

f ( ? x) ? 2 ? 0 ?

1 ? 1 ,从而 1 ? f ( x) ? 2 .………4 分 f (? x) ? 1

(2)函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 设 x1 ? x2 ,由(1)可知对任意 x ? R, f ( x) ? 1? f ( x1 ) ?1 ? 0, f ( x2 ) ?1 ? 0 且 x2 ? x1 ? 0,? f ( x2 ? x1 ) ? 2 …………………………………………5 分

f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2

? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?1? ? f ( x1 ) ? 2 f ( x2 ) ?1 ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?1? ? ? f ( x1 ) ?1? ? ? f ( x2 ? x1 ) ?1?? f ( x1) ?1?
? f ( x2 ) ? 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ………………………………………………7 分 f ( x1 ) ? 1

f ( x2 ? x1 ) ? 2 ?

f ( x2 ) ? 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ………………9 分 f ( x1 ) ? 1

故 f ( x2 ) ?1 ? f ( x1 ) ?1 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 )

? 函数 f ( x) 在 R 上是增函数。…………………………………………10 分
(3) 由(2)知函数 f ( x ) 在 R 上是增函数.

? 函数 y ? f ( x) ? k 在 R 上也是增函数,………………………………11 分
若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 在 ? ??,0? 上递减, 则 x ? ? ??,0? 时, g ( x) ? f ( x) ? k ? k ? f ( x) , 即 x ? ? ??,0? 时, f ( x) ? k ? 0 .……………………………………12 分
惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试 第 9 页 共 10 页

x ? (??,0) 时, f ( x) ? f (0) ? 2 …………………………………13 分
? k ? 2 …………………………………………

惠州市 2013-2014 学年高一第一学期期末考试

第 10 页 共 10 页


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com