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高中数学第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测课件苏教版选修2_图文

高中数学第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测课件苏教版选修2_图文

知 识 整 合 与 阶 段 检 测

核心要点 归纳 阶段质量 检测

一、导数的概念 1.导数 函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δx Δy f?x0+Δx?-f?x0? 无限趋近于0时,比值 = 无限趋近于一个 Δx Δx 常数A,则称f(x)在点x=x0处可导,称常数A为函数f(x)在点 x=x0处的导数,记作f′(x0).

2.导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f′(x)在 各点的导数中随着自变量x的变化而变化,因而也是自 变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数.记作f′(x). 二、导数的几何意义 1.f′(x0)是函数y=f(x)在x0处切线的斜率,这是导 数的几何意义.

2.求切线方程: 常见的类型有两种: 一是函数y=f(x)“在点x=x0处的切线方程”,这种类型 中(x0,f(x0))是曲线上的点,其切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x -x0). 二是函数y=f(x)“过某点的切线方程”,这种类型中, 该点不一定为切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y -y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1= f′(x1)(x0-x1),又y1=f(x1),由上面两个方程可解得x1,y1的 值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.

三、导数的运算 1.基本初等函数的导数 (1)f(x)=C,则f′(x)=0(C为常数); (2)f(x)=xα,则f′(x)=α· xα-1(α为常数); (3)f(x)=ax(a>0且a≠1),则f′(x)=axln a; 1 (4)f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f′(x)= ; xln a (5)f(x)=sin x,则f′(x)=cos x; (6)f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x.

2.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? (3)? (g(x)≠0). ?′= g2?x? ?g?x??

四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数f′(x); (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间.

特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,” 隔开,绝对不能用“∪”连接. 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求方程f′(x)=0的根; (3)检验f′(x)=0的根的两侧的f′(x)的符号,若左正 右负,则f(x)在此根处取得极大值. 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值,否则此根 不是f(x)的极值点.

六、求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值 的方法与步骤 (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较,其中最大的 一个值为最大值,最小的一个值为最小值. 特别地,①当f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最 大值在区间端点取得;②当f(x)在(a,b)内只有一个极值 点时,若在这一点处f(x)有极大(或极小)值,则可以判断 f(x)在该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是 (-∞,+∞).

七、导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问 题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实 际意义去考查,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,由f′(x)=0常常仅解到一个 根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得 到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.

八.定积分 (1)定积分是一个数值.定积分的定义体现的基本思想 是:先分后合、化曲为直(以不变代变). 定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的 面积.要注意区分 f(x)dx,
?b ? ? ?a ?b ? ? ?a

b ?? ? ? ? f?x?dx?三者的不同. |f(x)|dx及? ??a ?

(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法,关键是求 被积函数的原函数.而求被积函数的原函数和求函数的导函 数恰好互为逆运算,要注意它们在计算和求解中的不同,避 免混淆.

一、填空题 (本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在题 中横线上) 1.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为____.

解析:∵f(x)=ax2+c,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a, 又∵f′(1)=2,∴a=1.
答案:1

2.曲线y=x3-4x在点(1,-3)处的切线的倾斜角为_____.

解析:∵y′=3x2-4, ∴当x=1时,y′=-1,即tan α=-1. 3 又∵α∈(0,π),∴α= π. 4

3 答案: π 4

3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x+18在(-∞,+∞)上是单 调函数,则实数a的取值范围是________.

解析:由题意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+ ∞)上恒成立,因此Δ=4a2-12≤0?- 3 ≤a≤ 3 ,所 以实数a的取值范围是[- 3, 3].

答案:[- 3, 3]

4.y=2x3-3x2+a的极大值为6,则a=________.

解析:y′=6x2-6x=6x(x-1), 令y′=0,则x=0或x=1. 当x=0时,y=a,当x=1时,y=a-1. 由题意知a=6.

答案:6

sin x 5.函数y= x 的导数为________. ?sin x? 解析:y′=? x ?′ ? ?
x· ?sin x?′-?x?′· sin x = x2 xcos x-sin x = . x2
xcos x-sin x 答案: x2

3 6.若 (x-k)dx= ,则实数k的值为________. 2
解析:
?1 ? ? ?0

?1 ? ? ?0

?1 ?1 1 3 2 ? ? | (x-k)dx= 2x -kx 0= -k= , 2 2 ? ?

解得k=-1.
答案:-1

7.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是________.
2 1 2x -1 解析:∵f′(x)=2x-x= x .

令f′(x)<0,因为x∈(0,+∞), 2 ∴2x -1<0,即0<x< , 2
2

∴函数f(x)=x -ln
? 答案:? ?0, ?

2

? x的单调递减区间是? ?0, ?

2? ? . ? 2?

2? ? 2? ?

8.函数f(x)=3x-4x3在[0,1]上的最大值为________.
解析:f′(x)=3-12x2, 1 1 令f′(x)=0,则x=- (舍去)或x= , 2 2
?1? 3 1 f(0)=0,f(1)=-1,f?2?= - =1 ? ? 2 2

∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.

答案:1

9.(山东高考改编)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成 的封闭图形的面积为________.

解析:由4x=x3,解得x=0或x=2或x=-2(舍去),根 据定积分的几何意义可知,直线y=4x与曲线y=x3在 第一象限内围成的封闭图形的面积为
? 1 4? 2 2 ?2x - x ?|0=4. 4 ? ?
?2 ? ? ?0

?4x-x3?dx



答案:4

2 ? ?x +3?x≥0?, 10.若f(x)=? ? ?-x?x<0?,

1-1f(x)dx=________. 则? ?

10(x2+3)dx. 1-1f(x)dx=?0-1(-x)dx+? 解析:因为? ? ? ?

? 1 ? ?1 ? 2 3 因为?-2x ?′=-x,?3x +3x?′=x2+3, ? ? ? ? ?1 ? 1 23 1 0 3 2 1-1f(x)dx=- x |-1+? x +3x?|0= 所以? . ? 2 6 ?3 ?

23 答案: 6

11.设曲线y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的


横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99=________.

解析:由于y′

? ? ?x=1

=n+1,∴曲线在点(1,1)处的切线为

n y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=xn= , n+ 1 n 1 2 99 ∴an=lg ,∴原式=lg +lg +…+lg = 2 3 100 n+ 1
?1 2 99 ? 1 ? ? lg 2×3×…×100 =lg =-2. 100 ? ?

答案:-2

12.若函数f(x)=2x2-ln

x在其定义域的一个子区间(k-1,k

+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是________. 4x2-1 1 1 解析:∵f′(x)=4x- x = ,x>0,∴当0<x< x 2

1 时,f′(x)<0,f(x)为减函数,当x> 时,f′(x)>0,f(x) 2 1 ? ?0≤k-1<2, ? 为增函数,依题意得?1 ?2<k+1, ? ?k-1<k+1. ? 3? 答案:?1,2? ? ?

3 ∴1≤k< . 2

13.周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则 圆柱体积的最大值为________.

解析:设矩形一边长为xcm,则邻边长为(10-x)cm; 体积V=πx2(10-x)=π(10x2-x3), 由V′=π(20x-3x2)=0得x=0(舍去), 20 20 4 000 x= 可以判断x= 时,Vmax= π(cm3). 3 3 27

4 000 答案: π cm3 27

14.已知f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且 满足f(x)<-xf′(x),则不等式f(x+1)>(x-1)· f(x2-1) 的解集是________. 解析:令g(x)=x· f(x)
则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0. ∴g(x)在(0,+∞)上为减函数. 又∵f(x+1)>(x-1)f(x2-1), ∴(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1), ?x+1>0, ? 2 ∴?x -1>0, ?x+1<x2-1 ? ?x>-1, ? ??x<-1或x>1, ?x<-1或x>2. ?

∴x>2. 答案:{x|x>2}

二、解答题 (本大题共6个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 4 15.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax - ax+b,f(1)= 3
2

2,f′(1)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.

4 解:(1)f′(x)=2ax- a, 3 4 ? ?f′?1?=2a-3a=1, 由已知得? ?f?1?=a-4a+b=2, 3 ? 3 2 5 所以f(x)= x -2x+ . 2 2 (2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0. ? 3 ?a=2, 解得? ?b=5. 2 ?

16.(本小题满分14分)求下列定积分.
1-2(1-t3)dt; (1)? ? 0-π(cos x+ex)dx; (2)? ?

x3-3x2+5 42 (3)? dx. ? x2
? 1 4? 解:(1)∵?t-4t ?′=1-t3, ? ?
1-2(1-t ∴? ? 3

? ? 1 4? 1 1? 3 ? ? ? ? | )dt= t-4t -2= 1-4 -(-2-4)= . 4 ? ? ? ?

(2)∵(sin x+ex)′=cos x+ex,
0-π(cos x+ex)dx=(sin x+ex)|-π ∴? ? 0

1 - =1-e π=1- π. e
? ? x3-3x2+5 5 42 42?x-3+ 2?dx (3)? dx=? 2 ? ? x? x ?

1 5 取F(x)= x2-3x-x, 2 5 则F′(x)=x-3+ 2, x x3-3x2+5 ?42 dx=F(4)-F(2) ? x2
?1 5? ?1 5? 2 2 =?2×4 -3×4-4?-?2×2 -3×2-2? ? ? ? ?

5 = . 4

1 3 3 2 17.(本小题满分14分)已知x=1是函数f(x)= ax - x + 3 2 (a+1)x+5的一个极值点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实 数m的取值范围.

解:(1)依题意f′(x)=ax2-3x+a+1, 由f′(1)=0得a=1, 1 3 3 2 ∴函数f(x)的解析式为f(x)= x - x +2x+5. 3 2

(2)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点, 1 3 3 2 即 x - x +2x+5-2x-m=0有三个实数根, 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 令g(x)= x - x +2x+5-2x-m= x - x +5-m,则 3 2 3 2 g(x)有三个零点. 由g′(x)=x2-3x=0得x=0或x=3. 令g′(x)>0得x<0或x>3;令g′(x)<0得0<x<3.

∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数, 在(3,+∞)上为增函数. ∴函数在x=0处取得极大值,在x=3处取得极小值.
? ?g?0?>0, 要使g(x)有三个零点,只需? ? ?g?3?<0, ?1 ? ∴实数m的取值范围为?2,5?. ? ?

1 解得 <m<5. 2

18.(本小题满分16分)已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ ax-2(e≈2.71,a∈R). (1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y= g(x)的公共点个数;
?1 ? (2)当x∈ ?e,e? 时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点, ? ?

求a的取值范围.

解:(1)f′(x)=ln x+1,所以斜率k=f′(1)=1. 又f(1)=0,曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.
2 ? ?y=-x +ax-2 由? ? ?y=x-1

?x2+(1-a)x+1=0.

由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3可知: 当Δ>0时,即a<-1或a>3时,有两个公共点; 当Δ=0时,即a=-1或a=3时,有一个公共点; 当Δ<0时,即-1<a<3时,没有公共点. (2)y=f(x)-g(x)=x2-ax+2+xln x, 2 由y=0得a=x+x+ln x. 2 令h(x)=x+x+ln x,

?x-1??x+2? 则h′(x)= . x2
?1 ? 当x∈?e,e?,由h′(x)=0得x=1. ? ? ?1 ? 所以h(x)在?e,1?上单调递减,在[1,e]上单调递增, ? ?

故hmin(x)=h(1)=3.
?1? 1 2 ? ? 由h e = +2e-1,h(e)=e+ +1, e ? ? e ?1? 比较可知h?e ?>h(e). ? ?

2 所以,当3<a≤e+ +1时,函数y=f(x)-g(x)有两个零点. e

19.(本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数, 3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件销售,一个 月的销售量为(12-x)2万件. (1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每 件商品的售价x(元)的函数关系式; (2)当每件商品的售价为多少元时,L(x)取得最大值?并 求L(x)的最大值.

解:(1)L(x)=(x-a)(12-x)2(7≤x≤10). (2)L′(x)=(12-x)2+(x-a)(2x-24) =(12-x)(12+2a-3x). 2a+12 令L′(x)=0得x= 或x=12. 3

2a+12 由a∈[3,6]得 ∈[6,8]. 3 2a+12 9 当 ∈[6,7],即3≤a≤ 时, 3 2 L(x)在[7,10]上是减函数, L(x)的最大值为L(7)=25(7-a); 2a+12 9 当 ∈(7,8],即 <a≤6时, 3 2
? 2a+12? ? ? L(x)在?7, ?上是增函数, 3 ? ?

2a+12 在[ ,10]上是减函数. 3

?2a+12? 4?12-a?3 ? L(x)的最大值为L? ? ?= 27 3 ? ?

9 综上可知,若3≤a≤ ,则当x=7时, 2 L(x)取得最大值,最大值是25(7-a); 2a+12 9 若 <a≤6,则当x= 时,L(x)取得最大值,最大值 2 3 4?12-a?3 是 . 27

x-1 20.(本小题满分16分)(山东高考)设函数f(x)=aln x+ , x+1 其中a 为常数. (1)若 a=0,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性.
x-1 解:(1)由题意知a=0时,f(x)= ,x∈(0,+∞). x+1 2 此时f′(x)= 2. ?x+1? 1 可得f′(1)= ,又f(1)=0, 2 所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞). ax2+?2a+2?x+a a 2 f′(x)=x+ . 2= 2 ?x+1? x?x+1? 当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), 1 ①当a=- 时,Δ=0, 2 1 - ?x-1?2 2 f′(x)= 2 ≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. x?x+1?

1 ②当a<- 时,Δ<0,g(x)<0, 2 f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 ③当- <a<0,Δ>0. 2 设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点, -?a+1?+ 2a+1 -?a+1?- 2a+1 则x1= ,x2= . a a a+1- 2a+1 由x1= -a

a2+2a+1- 2a+1 = >0, -a 所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 综上可得: 当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1 当a≤- 时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2

? 1 -?a+1?+ 2a+1? ? ? 当- <a<0时,f(x)在?0, ?, 2 a ? ? ?-?a+1?- ? ? a ? ? 2a+1 ? ,+∞?上单调递减, ?

?-?a+1?+ 在? ? a ?

2a+1 -?a+1?- 2a+1? ? , ?上单调递增. a
?


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