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高中数学:1.3组合(一) 教案 (北师大选修2-3)

高中数学:1.3组合(一) 教案 (北师大选修2-3)


教学无忧 jiaoxue5u.taobao.com 您身边的教学资源专家! 1.3 组合
(第一课时) 教学目标: 1.理解组合的意义,掌握组合数的计算公式; 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点: 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式 教学过程 一、复习引入: 1.排列的概念: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的 ... 顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 .. .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 2.排列数的定义: 从 n 个不同元素中, 任取 m( m ? n ) 个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m
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m 元素的排列数,用符号 An 表示

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注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素按 照一定的顺序 排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元 .....
m 素的所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列
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3.排列数公式及其推导:
m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n ) n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘)

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二、讲解新课: 1 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不
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同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个
m 不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ...

3.组合数公式的推导:
m (1)一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ,可以分如下两步:① 先求从 m m n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据 m m m 分步计数原理得: An = Cn . ? Am

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(2)组合数的公式:

Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或 C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? m m!(n ? m)! Am m!

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例子:
7 4 1、计算: (1) C 7 ; (2) C10 ;

7 ? 6? 5? 4 =35; 4! 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 7 (2)解法 1: C10 ? =120. 7! 10! 10 ? 9 ? 8 7 ? 解法 2: C10 ? =120. 7!3! 3! m ? 1 m ?1 m ?C n . 2、求证: C n ? n?m
(1)解: C7 ?
4

证明:∵ C n ?
m

n! m!(n ? m)! m ?1 n! ? n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? (m ? 1)! (n ? m)(n ? m ? 1)! n! m !(n ? m)!

m ?1 ?C n?m

m ?1 n

?





∴ C n?
m

m ? 1 m ?1 ?C n n?m

3、在 52 件产品中,有 50 件合格品,2 件次品,从中任取 5 件进行检查. (1)全是合格品的抽法有多少种? (2)次品全被抽出的抽法有多少种? (3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种? (4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种? 4、 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组, 问组成方法共有多少种?
2 1 解法一: (直接法)小组构成有三种情形:3 男,2 男 1 女,1 男 2 女,分别有 C 4 , C 4 , ? C6
3

1 2 , C4 ? C6 2 1 1 2 所以,一共有 C 4 + C 4 + C4 =100 种方法. ? C6 ? C6
3

3 3 解法二: (间接法) C10 ? C6 ? 100

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课堂小节:本节课学习了组合的意义,组合数的计算公式 课堂练习: 课后作业:

1.2.2 组合
(第二课时) 教学目标: 1 掌握组合数的两个性质; 2.进一步熟练组合数的计算公式,能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点: 掌握组合数的两个性质 教学过程 一、复习引入:
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1 组合的概念: 一般地, 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组, 叫做从 n 个
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不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从
m .用符号 C n 表示. n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ...

3.组合数公式的推导:
m (1)一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ,可以分如下两步:① 先求从 m m n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据 m m m 分步计数原理得: An = Cn . ? Am

(2)组合数的公式:

Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或 C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? m m!(n ? m)! Am m!
n ?m

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二、讲解新课: 1
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组合数的性质 1: Cn ? Cn
m



一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n ? m 个元素的每一个组合一一对应 ,所以从 n 个 .... 不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n ? m 个元素的组合数,即:
m n ?m .在这里,主要体现: “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 Cn ? Cn
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n?m 证明:∵ C n ?

n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!

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m 又 Cn ?

m n ?m n! ,∴ Cn ? Cn m!(n ? m)!

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0 说明:①规定: Cn ? 1;

②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;
x ③ Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n . m m m?1 2.组合数的性质 2: Cn . ?1 = C n + C n m 一般地,从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 Cn ?1 ,这些组

合可以分为两类:一类含有元素 a1 ,一类不含有 a1 .含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n
m?1 个元素中取出 m ?1 个元素与 a1 组成的, 共有 Cn 个; 不含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 m n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 C n 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个

性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想, “含与不含其元素”的分类思想. n!(n ? m ? 1) ? n! m n ! n ! m m ?1 证明: C n ? Cn ? ? ? m! (n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! m!(n ? m ? 1)!

?

m (n ? m ? 1 ? m)n! (n ? 1)! ? Cn ? ?1 m! (n ? m ? 1)! m! (n ? m ? 1)!

m m m?1 ∴ Cn . ?1 = C n + C n

3.例子
3 4 5 6 1. (1)计算: C7 ; ? C7 ? C8 ? C9 n n n?1 n?2 (2)求证: Cm ? 2 = C m + 2Cm + C m .
4 5 6 5 6 6 4 解: (1)原式 ? C8 ? C8 ? C9 ? C9 ? C9 ? C10 ? C10 ? 210 ; n n?1 n?1 n ?2 n n?1 n 证明: (2)右边 ? (Cm ? Cm ) ? (Cm ? Cm ) ? Cm ?1 ? Cm?1 ? Cm?2 ? 左边

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1 3 Ax ?3 . 10 解: (1)由原方程得 x ? 1 ? 2 x ? 3 或 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 13 ,∴ x ? 4 或 x ? 5 ,
x ?1 2 x ?3 2.解方程: (1) C13 ; (2)解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ? ? C13
x?2 x ?3

?1 ? x ? 1 ? 13 ? ? 又由 ?1 ? 2 x ? 3 ? 13 得 2 ? x ? 8 且 x ? N ,∴原方程的解为 x ? 4 或 x ? 5 ?x ? N ? ?

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上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x ? 4 和 x ? 5 代入检验,这样运算量小得多. (2)原方程可化为 C x ? 3 ?
x?2

1 3 1 3 ( x ? 3)! ( x ? 3)! 5 Ax ?3 ,即 C x Ax ?3 ,∴ ? , ?3 ? 10 10 5!( x ? 2)! 10 ? x!

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1 1 , ? 120( x ? 2)! 10 ? x( x ? 1) ? ( x ? 2)!



2 ∴ x ? x ? 12 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?3 ,

经检验: x ? 4 是原方程的解 3. 有同样大小的 4 个红球,6 个白球。 (1)从中任取 4 个,有多少种取法? (2)从中任取 4 个,使白球比红球多,有多少种取法? (3)从中任取 4 个,至少有一个是红球,有多少种取法? (4)假设取 1 个红球得 2 分,取 1 个白球得 1 分。从中取 4 个球,使总分不小于 5 分的取法有 多少种? 课堂小节:本节课学习了组合数的两个性质 课堂练习: 课后作业:
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1.2.2 组合
(第三课时) 教学目标: 1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质; 2、能够解决一些组合应用问题 教学重点: 解决一些组合应用问题 教学过程 一、复习引入: 1 组合的概念: 一般地, 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组, 叫做从 n 个
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不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从
m .用符号 C n 表示. n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ...

3.组合数公式的推导: (1)一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ,可以分如下两步:① 先求从
m m n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据 m 分步计数原理得: An = C n ? Am . m m m

(2)组合数的公式:

Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或 C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? m m!(n ? m)! Am m!
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m n ?m 4.组合数的性质 1: Cn . ? Cn m m m?1 5.组合数的性质 2: Cn . ?1 = C n + C n

二、讲解新课: 例子 1.(1)把 n+1 个不同小球全部放到 n 个有编号的小盒中去,每小盒至少有 1 个小球,共有多 少种放法? (2)把 n+1 相同的小球,全部放到 n 个有编号的小盒中去,每盒至少有 1 个小球,又有多少种 放法? (3)把 n+1 个不同小球,全部放到 n 个有编号的小盒中去,如果每小盒放进的球数不限,问有 多少种放法? 2.从编号为 1,2,3,?,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的编号之和 为奇数,则一共有多少种不同的取法?
1 4 解:分为三类:1 奇 4 偶有 C 6 C5 ; 1 4 3 2 5 ∴一共有 C 6 C5 + C6 C5 + C6 ? 236. 3 2 3 奇 2 偶有 C6 C5 ; 5 5 奇 1 偶有 C6 ,

3.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名青年能胜任德语翻译工作(其中 有 1 名青年两项工作都能胜任) ,现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其 中 3 名从事 英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 解:我们可以分为三类:
2 2 ①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 C4 C3 ; 3 1 ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 C 4 C3 ; 3 2 ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 C4 C3 , 3 1 2 2 3 2 ∴一共有 C4 C3 + C4 C3 + C 4 C3 =42 种方法.

4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以 排出多少种不同的值周表 ?
2 2 1 2 1 1 解法一: (排除法) C6 C4 ? 2C5 C4 ? C4 C3 ? 42.
2 2 解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有 C4 C3 ;
1 2 另一类为甲不值周一,但值周六,有 C 4 C4 ,
1 2 2 2 ∴一共有 C 4 C 4 + C4 C3 =42 种方法.

5.6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少 1 本,有多少种不同的送书方法?
2 解:第一步:从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个元素有 C 6 种方法;

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5 第二步:将 5 个“不同元素(书) ”分给 5 个人有 A5 种方法. 5 2 根据分步计数原理,一共有 C 6 =1800 种方法 A5

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6. 从 6 双不同手套中,任取 4 只, (1)恰有 1 双配对的取法是多少? (2)没有 1 双配对的取法是多少? (3)至少有 1 双配对的取法是多少? 课堂小节:本节课学习了组合数的应用 课堂练习:

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