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第一节多元函数的基本概念 (2)_图文

第一节多元函数的基本概念 (2)_图文

第一节 多元函数的基本概念
? 一、多元函数的概念 ? 二、多元函数的极限 ? 三、多元函数的连续性 ? 四、小结 思考题
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一、多元函数的概念

(1)邻域

设P0 (x0, y0 )是xoy平面上的一个点,? 是某一正数, 与点P0 (x0, y0 )距离小于 ? 的点P(x, y)的全体,

称为点P0的? 邻域,记为U (P0,? ).

U(P0,? ) ? ?P | PP0 |? ? ?

? ? P0

? ? ? ( x, y) | ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? .

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(2)区域
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点.
如果存在点 P 的某一邻域 U (P) ? E ,

则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .

如果点集 E 的点都是内点,

则称 E 为开集.

?P

例如,E1 ? {(x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4}

即为开集.

E

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如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点,

也有不属于 E 的点 (点 P 本身可以属于 E ,

也可以不属于 E ),则称 P 为 E 的边界点.

E 的边界点的全体称为 E 的边界.

?P

设 D 是开集.如果对于 D内任何两点,

都可用折线连结起来,

E

且该折线上的点都属于 D ,则称

开集 D 是连通的.

? ?

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连通的开集称为区域或开区域.

y

例如,{(x, y) | 1 ? x2 ? y2 ? 4}.

o

x

开区域连同它的边界一起称为闭区域. y

例如,{(x, y) | 1 ? x2 ? y2 ? 4}.

o

x

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对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点

P? E 与某一定点A间的距离 AP 不超过 K , 即 AP ? K

对一切 P ? E 成立, 则称 E 为有界点集,
否则称为无界点集.例如, y
{( x, y) | 1 ? x2 ? y2 ? 4}

有界闭区域;

o

x {( x, y) | x ? y ? 0}

无界开区域.

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(3)聚点
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点, 如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于 点属于点E,则称为聚点。
说明:
? 内点一定是聚点; ? 边界点可能是聚点;
例 {( x, y) | 0 ? x2 ? y2 ? 1}
(0,0)既是边界点也是聚点.
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? 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.
例如, {( x, y) | 0 ? x2 ? y2 ? 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合.
例如, {( x, y) | x2 ? y2 ? 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合.
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(4)n维空间
设 n 为取定的一个自然数,我们称n 元数组 (x1, x2,..., xn )的全体为维空间, 而每个 n 元 数组 (x1, x2,..., xn ) 称为 n 维空间的一个点, 数 xi 称为该点的第 i 个坐标.
说明: ? n维空间的记号为 Rn;
? n维空间中两点间距离公式
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设两点为 P( x1, x2 ,?, xn ), Q( y1, y2 ,?, yn ), | PQ |? ( y1 ? x1 )2 ? ( y2 ? x2 )2 ? ? ? ( yn ? xn )2 .
特殊地当 n ? 1, 2, 3 时,便为数轴、平面、
空间两点间的距离. ? n维空间中邻域、区域等概念
? ? 邻域: U (P0 ,? ) ? P | PP0 |? ? , P ? Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.
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(5)二元函数的定义
设D是平面上的一个点集 , 如果对于每个点
P(x, y) ? D,变量z按照一定的法则总有确 定的值
和它相对应,则称z是变量x, y的二元函数, 记为z ? f (x, y)(或记为z ? f (P)).
类似地可定义三元及三元以上函数.
当n ? 2时,n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
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例1 求 f ( x, y) ? arcsin(3 ? x2 ? y2 ) 的定义域. x ? y2



?? 3 ? x2 ? y2 ? 1 ?

?? x ? y2 ? 0

?2 ? x2 ? y2 ? 4

?

? ?x

?

y2

所求定义域为 D ? {(x, y) | 2 ? x2 ? y2 ? 4, x ? y2}.

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(6) 二元函数的 z ? f (x, y)图形
设函数z ? f (x, y)的定义域为 D, 对于任意取定的 P(x., y) ? D, 对应的函数值为 z ? f (x, y), 这样,
以x为横坐标, y为纵坐标, z为竖坐标在空间 就确定一点 M (x, y, z), 当x取遍上D的一切点时, 得一个空间点集 {( x, y, z) | z ? f (x, y), (x, y) ? D}, 这个点集称为二元函数的图形。
(如下页图)
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二元函数的图形通常是一张曲面.
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例如, z ? sin xy 图形如右图.
例如, x2 ? y2 ? z2 ? a2 左图球面.
D ? {(x, y) x2 ? y2 ? a2}.
单值分支: z ? a2 ? x2 ? y2 z ? ? a2 ? x2 ? y2.

z

o

y

x

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二、多元函数的极限

定义1

设函数z ? f (x, y)的定义域为 D,

P0 (x0 , y0 )是其聚点,如果对于任意给定的正数? ,

总存在正数? , 使得对于适合不等式

0 ? PP0 ? (x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2的一切点,
都有 f (x, y) ? A ? ? 成立,

则称A为函数z ? f (x, y)当x ? x0, y ? y0时的极限,

记为 lim f (x, y) ? A x ? x0 y?y0 (或f (x, y) ? A(? ? 0)这里? ? PP0 )。 上页 下页

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说明:
(1)定义中 P ? P0 的方式是任意的;
(2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x? x0 y? y0
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
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例2

求证lim( x2 x?0

?

y2 )sin

x2

1 ?

y2

?

0

y?0



(x2

?

y2 )sin

x2

1 ?

y2

?

0

?

x2

?

y2

? sin

x2

1 ?

y2

? x2 ? y2

? ? ? 0, ? ? ? ? ,

当 0 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 ? ? 时,

(x2

?

y2 )sin

x2

1 ?

y2

?

0

?

?

原结论成立.
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例3

求极限

lim
x?0

sin( x x2 ?

2 y) y2

.

y?0

sin( x2 y)



lim
x?0

x2 ? y2

y?0

?

lim
x?0

sin( x2 x2 y

y)

?

x2 y x2 ? y2

,

y?0

其中

lim
x?0

sin( x

x2 2y

y

)

y?0

u ? x2 y sin u
lim ? 1, u?0 u

x2 y x2 ? y2

?1x 2

?x???0? 0,

?

lim
x?0

sin( x2 y) x2 ? y2

?

0.

y?0

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例4

证明

lim
x?0

x3 y x6 ? y2

不存在.

y?0

证 取 y ? kx3,

lim
x?0

x

x3 6?

y y2

? lim x?0

x3 ? kx3 x6 ? k2x6

?

1

k ?k

2

,

y?0

y?kx3

其值随k的不同而变化,

故极限不存在.

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观察

z

?

x3 y x6 ? y2

图形,

lim
x?0

x3 y x6 ? y2

不存在.

y?0

播放
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确定极限不存在的方法:
(1) 令P(x, y)沿y ? kx趋向于P(0 x0, y0), 若极限值与k有关,则可断言极限不存在; (2)找两种不同的趋近方式, 使 lim 存在,
x?x0 y? y0
但两者不相等,此时也可断言 f (x, y)在点
P(0 x0 , y0)处极限不存在。
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利用点函数的形式有n元函数的极限
定义2 设n元函数f ( p)的定义域为点集 D,
P0是其聚点,如果对于任意给定的正数总存在正数? ,
使得对于适合不等式0 ? PP0 ? ? 的一切点P? D,
都有 f ( p) ? A ? ? 成立, 则称A为n元函数f ( p)当 P ? P0时的极限,记为Pli?mP0 f ( p) ? A.
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三、多元函数的连续性

定义3 设n元函数f ( p)的定义域为点集 D,

P0是其聚点且 P0 ? D,

如果 lim P?P0

f ( p) ?

f ( p0 ),

则称n元函数在点 P0处连续。

设P0是函数f ( p)的定义域的聚点, 如果
f ( p)在点P0处不连续, 则称P0是函数f ( p)的

间断点。

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例5

讨论函数

?x3 ?

f

(

x,

y)

?

? ?

x

2

?

y y

3 2

,

( x, y) ? (0,0)

??0,

( x, y) ? (0,0)

在(0,0)处的连续性.

解 取 x ? ? cos? ,

y ? ? sin?

f ( x, y) ? f (0,0)

? ? (sin3? ? cos3? ) ? 2?

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? ? ? 0, ? ? ? ? , 当 0 ? x2 ? y2 ? ? 时
2
f ( x, y) ? f (0,0) ? 2? ? ?
lim f ( x, y) ? f (0,0),
( x, y )?(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
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例6 讨论函数

f

(

x

,

y

)

?

? ? ?

x

2

xy ?

y

2

,

x2 ? y2 ? 0

??0,

x2 ? y2 ? 0

在(0,0)的连续性.

解 取 y ? kx

lim
x?0

x

2

xy ?

y2

y?0

?

lim
x?0

x2

kx 2 ? k2x2

y?kx

?

1

k ?k

2

其值随k的不同而变化, 极限不存在.

故函数在(0,0)处不连续.

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闭区域上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,
在D上至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取得两个不同的函数值,
则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.
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(3)一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定
在D上一致连续.
多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
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一般地,求 lim f (P) 时,如果 f (P) 是初等函 P ? P0

数,且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点,则 f (P ) 在

点 P0

处连续,于是 lim P ? P0

f (P) ?

f (P0 ).

例7 求 lim xy ? 1 ? 1.

x?0

xy

y?0

解 原式 ? lim xy ? 1 ? 1 ? lim

x?0 xy( xy ? 1 ? 1) x?0

y?0

y?0

1 xy ? 1 ? 1

? 1. 2

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四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性)
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
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思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时,函数 f ( x, y)都趋向于 A,能否 断定 lim f ( x, y) ? A?
( x , y )?( x0 , y0 )
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思考题解答

不能.



f

(

x,

y)

?

(

x3 y2 x2? y4

)2

,

( x, y) ? (0,0)

取 y ? kx,

f

(

x,

kx)

?

(

x3 ? k2x2 x2?k4 x4 )2

?x???0? 0

但是 lim f ( x, y) 不存在.

( x , y )?(0,0)

原因为若取x ? y2,

f

(

y

2

,

y)

?

(

y6 y4?

y2 y4

)2

?

1 4

.

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一、 填空题:

练习 题

1、 若 f ( x, y) ? x 2 ? y 2 ? xy tan x ,则 f (tx, ty) =____. y

2、 若 f ( x, y) ? x 2 ? y 2 ,则 f (2,?3) ? __________; 2 xy

f (1, y ) ? ________________. x

3、 若 f ( y ) ? x 2 ? y 2 ( y ? 0),则f ( x) ? ________.

x

y

4、 若 f ( x ? y, y ) ? x 2 ? y 2 , 则 f ( x, y) ? _________. x

4x ? y2

函数z

?

ln(1

?

x2

?

y2

的定义域是__________. )

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6、函数z ? x ? y 的定义域是______________.

7、函数z ? arcsin y 的定义域是_______________. x

8、函数z

?

y2 y2

? 2x 的间断点是________________. ? 2x

二、求下列各极限:

1、lim 2 ? xy ? 4 ;

x?0

xy

y?0

2、lim sin xy ; x?0 x
y?0

3、lim x?0

1? (x

cos( x 2 ? y2

2
)

? x2

y2 y2

)

.

y?0

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三、证明:lim xy ? 0.

x?0 y?0

x2 ? y2

四、证明极限lim xy ? 1 ? 1不存在 . x?0 x ? y
y?0

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练习题答案

一、 1、 t 2 f ( x, y);

2、? 13 , f ( x, y); 12

3、 1 ? x 2 ;

4、 x2 1 ? y ;

x

1? y

? ? 5、 ( x, y) 0 ? x2 ? y2 ? 1, y2 ? 4 x ;

? ? 6、 ( x, y) x ? 0, y ? 0, x 2 ? y ;

7、?( x, y) x ? 0,? x ? y ? x?

? ?( x, y) x ? 0, x ? y ? ? x?;
? ? 8、 ( x, y) y 2 ? 2x ? 0 .

二、1、? 1 ; 4

2、0;

3、? ? .

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