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学院附中2012学年第二学期期中考试高一数学答案

学院附中2012学年第二学期期中考试高一数学答案


丽水学院附中 2012 学年第二学期期中考试试卷 高一数学
(本试卷用时 120 分钟,满分 150 分,命题:刘伟刚,校审:胡汉成) 一、选择题(1~10 题每题 4 分,11~15 题每题 5 分,共 65 分) 1.观察数列:-1,3,-7,( A.33 B.15 ),-31,63,… 括号中的数字应为( C.-21 ) D. ? D.-37 B )

2. sin 27? cos 63? ? cos 27? sin 63? ? ( A A. 1 B. ?1 C.

2 2

2 2
)

3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 B.16 C. 20

B

D.24 D ) D. ?7

4.已知 ? 为锐角 , sin ? ? A. ?

4 ? ,则 tan(? ? ) =( 5 4
C. 7

1 7

B.

1 7

5.下列函数中,以 ? 为周期且在区间 (0, ) 上为增函数的函数是( D A. y ? sin

? 2

) D. y ? ? cos 2 x

x 2

B. y ? sin x

C. y ? ? tan x

6.若

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α=( B ) sin ? ? cos ? 2 3 3 4 A. - B. C.- 4 4 3

D.

4 3
A )

7. 已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0 ? , 向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直, 则实数 ? 的值为( A. ?

? 单位,再向上平移 1 单位,所得图像函数解析式是( A ) 4 ? y A.y ? cos 2 x ? 1 B.y ? sin 2 x ? 1 C. ? sin( 2 x ? ) ? 1 D.y ? cos 2 x 4 9.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 an ? ( D )
8. 函数 y ? sin 2 x 图像向左平移 A. 2
n ?1

1 7

B.

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

B. ( )

3 2

n ?1

C. ( )

2 3

n ?1

D. 非以上答案

10.当 x ? [ ?

, ] 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域是( D ) 2 2 1 A.[-1, 1] B. [? ,1] C. [-2, 2] D.[-1, 2] 2

? ?

2 11.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b) ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 (

△ABC 的面积为( A ) A.

3 3

B.

4 3

C.

2 3 3

D. 2 ? 3

12.数列{an}的通项公式 a n ? n cos A.1006 B.2012

n? ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于( 2
C.503 D.0

A

)

13.如图,在△ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,AP 的中点为 Q,BQ 的中点 为 R,CR 的中点为 P,若 AP ? ma ? nb ,则 m ? 2 n =( D A. )

6 7

B.1

C.

8 7

D.

10 7

14. Sn 是公差为 d d≠0) 设 ( 的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和, 则下列命题错误的是 .. ( C ) A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D.若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

15.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图像象不可能是 ( D ) ...

二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 16. cos 690 ?
?



. (

3 ) 2

17.已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? ( Sn ?

1 , S2 ? a3 ,则 Sn = 2





1 2 1 n ? n) 4 4

18.△AB C 中, AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 ,则 CB ? CA =

??? ??? ? ?



. 16) ( ▲__ _. (30° ) ▲ .

19.已知钝角△ABC 中, a ? 4, b ? 4 3, ?A ? 30? ,则∠ C=_

20.函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ?1,x ? R 的单调递增取区间是 ( ? k? ?

? ?

?
8

,k? ?

3? ? ) (k ? Z) 8 ? ?
2

21.若关于 x 的方程 cos x ? sin x ? a ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是 ( a ? [?





5 ,1] ) 4

22.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 B ? 等差数列,则 tan A = ▲ . 2 ?1 ) (

?
4

,0 ? A ?

?
2

, 且 a ,b ,c 成

2

2

2

二、解答题(23~25 题 14 分,26 题 15 分,共 57 分) 23. (本小题满分 14 分)已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值. 【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ )由(Ⅰ )可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 . 24. (本小题满分 14 分)已知 a 、 b 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,-2) . (Ⅰ )若| b | ? 2 5 ,且 b∥ a ,求 b 的坐标;

(Ⅱ )若| b |= 1 ,且 a ? b 与 a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? 的余弦值. 【解析】 (1)设 c ? ( x, y) ,可得: b

? ?

?

?

? 1? y ? 2 ? x ? 0 ? x ? ?2 ? x?2 , ∴ ? 或 ? ? 2 2 ? x ? y ? 20 ? y?4 ? y ? ?4 ? ? ∴bc ? (?2, 4) ,或 ? (2, ?4) ……………7 分 c
(2)?(a ? b) ? (a ? 2b), ∴(a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 , 即 a ? a ? b ? 2b ? 0, ∴| a |2 ?a ? b ? 2 | b |2 ? 0 ,

? ?

?

?

? ?
?

?

?

?2 ? ?

?2

? ?

?

? ? ? ? ? ? a ?b 3 5 ? ? ∴ 5 ? a ? b ? 2 ? 0 ,所以 a ? b ? 3 ,∴cos ? ? ? 5 | a |?| b |

…………14 分

25.本小题满分 14 分 ) ( 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c, bsinA= 3 ac osB. B, b, 且 (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【解析】 (1) ? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得

tan B ?

3,? B ?

?
3


2 2 2

co , ( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ?2 a c s B
9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

26.(本题满分 15 分)已知向量 a ? (cos (1)求 a ? b及 | a ? b | ;

3 3 x x ? x,sin x ), b ? (cos , ? sin ), 且x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

3 ,求实数 ? 的值. 2 3 x 3 x 【解析】 (1) a ? b ? cos x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x , 2 2 2 2
(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

3 x 3 x ? | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 , 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 | cos x | 2 2 2 2

3 x ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 | cos x | 2 2

∵x ? [0,

?
2

],

∴cos x ? 0 ,

∴| a ? b |? 2 cos x .

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 , ∵x ? [0,

?
2

],

∴0 ? cos x ? 1 ,

1?、 当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f (x) 取得最小值 ? 1 ,这与已知矛盾; 1??、 当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ? 时, f (x) 取最小值 ? 1 ? 2?2 ,
由已知得 ? 1 ? 2? ? ?
2

3 1 ,解得 ? ? ; 2 2

1???、 当? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f (x) 取得最小值 1 ? 4? ,
由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ?

3 5 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8

1 为所求. 2

参考答案
1~10. BABDD BAADD 11~15. AADCD 19. 30
?

16.

3 2
5 ,1] 4

17.

n2 ? n 4
22. 2 ? 1

18.16

20. [k? ?

?
8

, k? ?

3? ], k ? Z 8

21. [?

23.(1) an ? 2n ; (2) k ? 6 . 24. (1) b ? (2,?4) 或 b ? (?2,4) ; (2) 25. (1) 60 ; (2) a ?
?

3 5 . 5

3, c ? 2 3 .
1 . 2

26. (1) a ? b ? cos2 x , | a ? b |? 2 cos x ; (2) ? ?


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