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江苏省扬州中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试 数学(文) Word版含答案

江苏省扬州中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试 数学(文) Word版含答案

江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段测试试卷

高 二 数 学 (文 科)
本试卷考试时间为 120 分钟,总分为 160 分 一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,总分 70 分) 1. 命题“ ?x ? R , sin x≤1 ”的否定是“ ” . 2. 设复数 z ?
2?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 (1 ? i) 2

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2014.04



3. 观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > ,1+ + +…+ 此猜测第 n 个不等式为 4. 函数 (n∈N ) . 的定义域是 .
*

>2,1+ + +…+

> ,…,由

5. 幂函数 f(x)=x (α∈R) 过点

α

,则 f(4)=



6. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x<0 时,f(x)=1+2x,则当 x>0 时,f(x)=



|x-1|-2,|x|≤1 ? ? 1 7. 设 f (x)=? 1 ,则 f [ f (2)]= 2,|x|>1 ? ?1+x

8. 已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x |1 ? x ? 2}, 且A ? (CR B) ? R ,则实数 a 的取值范围是

9. 若函数

为区间[﹣1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值是



10. 已知偶函数 f(x)在[0,∞)上是增函数,则不等式

的解集是



11. 在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0), C (c,0) ,点 P(0,p)在线段 AO 上 (异于端点) , 设 a, b, c, p 均为非零实数, 直线 BP, CP 分别交 AC, AB 于点 E , F , 一同学已正确算的 OE 的方程: ?

?1 1? ? 1 1? ? ?x ? ? ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ( ?b c? ? p a?

)x?? ?

? 1 1? ? ? ?y ? 0 ? p a?

12. 定义在 R 上的函数 f(x)=﹣x﹣x ,设 x1+x2≤0,下列不等式中正确的序号有 ①f(x1)f(﹣x1)≤0 ②f(x2)f(﹣x2)>0 ③f(x1)+f(x2)≤f(﹣x1)+f(﹣x2) ④f(x1)+f(x2)≥f(﹣x1)+f(﹣x2)

3



? f ( x), f ( x) ? K , 5 13.数 f K ( x) ? ? (K 为给定常数) , 已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x2 ln x , 若对于任意的 x ? (0, ??) , f ( x) ≤ K 2 ?K , 恒有 f K ( x) ? K ,则实数 K 的取值范围为 .
2 2

14. 不等式 a +8b ≥λb(a+b)对于任意的 a,b∈R 恒成立,则实数 λ 的取值范围为



二、解答题(总分 90 分) 15.(14 分) 已知命题 p : ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 ,命题 q :1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) 。 (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=5, “ p ? q ”为真命题, “ p ? q ”为假命题,求实数 x 的取值范围。

16. (14 分)已知函数 f ( x ) ? (1)若 m ? ?

1 ? m,m ? R . 2 ?1
x

1 ,求证:函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数; 2

(2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2) 上没有零点,求实数 m 的取值范围.

17. (15 分)已知关于 x 的方程:x ﹣(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值. (2)若复数 z 满足| ﹣a﹣bi|﹣2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.

2

18. (15 分)设函数

的定义域为 E,值域为 F.

(1)若 E={1,2},判断实数 λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣ (2)若 E={1,2,a},F={0, },求实数 a 的值. (3)若

2

与集合 F 的关系;

,F=[2﹣3m,2﹣3n],求 m,n 的值.

19. (16 分)定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x)满足 f(1)=2,且当 a,b∈[﹣1,1],a+b≠0 时,有 . (1)试问函数 f(x)的图象上是否存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直,若存在,求出 A,B 两点的坐标;若不存在,请说明理由并加以证明. (2)若 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (16 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a(?1) k ln x(k ? N ? , a ? R且a ? 0), (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 k ? 2014 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值;

(3)当 k ? 2013 时,证明: 对一切 x ? (0,??) ,都有

f ( x ) ? x 2 ? 2a (

1 2 ? ) x e ex 成立.

命题、校对:张茹、蒋红慧 ??????密?????封?????线?????内?????不?????要?????答?????题??????

高二数学阶段测试答题纸
一、填空题: 1. 2. 3. 4.

2014.4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

姓名_____________ 学号

二、解答题 15.解:

高二___________

16.解:

17.解:

18.解:

请将第 19、20 题做在反面

高二数学阶段测试答案
1. ?x ? R , sin x ? 1 2. -1 3. 1+ + +…+ >

4. { 8. a ? 2

}

5. 2

6. 1﹣2x

7.

4 13

9. 1

10. {x|

}

11.

1 1 ? c b

12.①④

3 13. [ e 3 , ?? ) 2

2

14. [﹣8,4]

15.解: (1)p 是 q 的充分条件,

?

[? 1, 5? ] ? [m 1 ?, m 1 )

则实数 m 的取值范围为 (4, ??)

(2) [?4, ?1) ? (5,6)

16.解: (1 )定义域为 R 关于原点对称.

f ( x) ? f ( ? x) ?
因为

1 1 1 1 1 1 2x 1 ? ? ? ? ? ? ? ?0 x ?x x x 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ,

所以函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 (2) f ?( x) ?

?2x ln 2 ? 0 ? f ( x) 是实数集 R 上的单调递减函数(不说明单调性扣 2 分)又函数 f ( x) 的 (2 x ? 1)2

图象不间断,在区间 (1, 2) 恰有一个零点,有 f (1) f (2) ? 0 即 (m ? )(m ? ) ? 0 解之得 ?

1 1 3 5 1 1 m ? ? 或m ? ? 5 3

1 1 ? m ? ? ,故函数 f ( x) 在区间 (1, 2) 没有零点时,实数 m 的取值范围是 3 5
14 分

17. 2 解答: 解: (1)∵b 是方程 x ﹣(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, ∴(b ﹣6b+9)+(a﹣b)i=0, ∴ 解之得 a=b=3.
2

(2)设 z=x+yi(x,y∈R) ,由| ﹣3﹣3i|=2|z|, 2 2 2 2 得(x﹣3) +(y+3) =4(x +y ) , 2 2 即(x+1) +(y﹣1) =8, ∴z 点的轨迹是以 O1(﹣1,1)为圆心,2 为半径的圆,如图所示, 如图,

当 z 点在 OO1 的连线上时,|z|有最大值或最小值, ∵|OO1|= , 半径 r=2 ,

∴当 z=1﹣i 时. 18. 解答: 解: (1)∵

|z|有最小值且|z|min=



,∴当 x=1 时,f(x)=0;当 x=2 时,f(x)= ,

∴F={0, }.

∵λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣16 ∴λ∈F.…(5 分) (2)令 f(a)=0,即

2

=lg2(lg2+lg5)+lg5﹣ =lg2+lg5﹣ =lg10﹣ = .

,a=±1,取 a=﹣1;

令 f(a)= ,即 故 a=﹣1 或﹣2.…(9 分) (3)∵

,a=±2,取 a=﹣2,

是偶函数,且 f'(x)=

>0,

则函数 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ∵x≠0,∴由题意可知: 或 0< .


2

,则有

,即



整理得 m +3m+10=0,此时方程组无解;

若 0<

,则有

,即



∴m,n 为方程 x ﹣3x+1=0,的两个根.∵0< ∴m= ,n= .…(16 分)

2

,∴m>n>0,

19. 解答: 解: (1)假设函数 f(x)的图象上存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直, 则 A、B 两点的纵坐标相同,设它们的横坐标分别为 x1 和 x2,且 x1<x2. 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1 )+f(﹣x2)= [x1+(﹣x2)].

由于

>0,且[x1+(﹣x2)]<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,

故函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数. 这与假设矛盾,故假设不成立,即 函数 f(x)的图象上不存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰 好与 y 轴垂直. (2)由于 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,
2

∴故函数 f(x)的最大值小于或等于 2(m +2am+1) . 由于由(1)可得,函数 f(x)是[﹣1,1]的增函数,故函数 f(x)的最大值为 f(1)=2, 2 2 ∴2(m +2am+1)≥2,即 m +2am≥0. 令关于 a 的一次函数 g(a)=m +2am,则有
2



解得 m≤﹣2,或 m≥2,或 m=0,故所求的 m 的范围是{m|m≤﹣2,或 m≥2,或 m=0}. 20. 解: (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( a ,??) 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 (2)若 k ? 2014 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N* ) .
2 记 g ? x ? ? f ? x ? ? 2ax ? x ? 2ax ln x ? 2ax g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x

?

?

?

?

?

a , ?? 上是增函数.????4 分

?

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;

令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 ,

2 2 所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) , x 2 ? a ? a ? 4a . 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单 2 2 调递减函数;

当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .

2 ? g ( x ) ? 0, ? ? x ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, 则? 2 即 ? 22 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , ? g ?( x2 ) ? 0, ? ? x2 ? ax 2 ?a ? 0,

因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x
2

= 1,从而解得 a ? 1 ????10 分 2

2 另 解 : f ? x ? ? 2ax 即 x ? 2a ln x ? 2ax 有 唯 一 解 , 所 以 : 2a ?

x2 x2 , 令 p ? x? ? ,则 ln x ? x ln x ? x

p? ? x ? ?

x ? 2 ln x ? x ? 1?

? ln x ? x ?

2

,设 h ? x ? ? 2ln x+x ? 1 ,显然 h ? x ? 是增函数且 h ?1? ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时

a? 当 x ? 1 时 p? ? x ? ? 0 , 于是 x ? 1 时 p ? x ? 有唯一的最小值, 所以 2a ? p ?1? ? 1 , 综上: p? ? x ? ? 0 ,
x 2 ? ( x ? (0, ??)) ex e 1 1 由导数可求 ? ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到, e e x 2 1? x 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x , e e e 1 易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.故命题成立.????16 分 e ex
(3)当 k ? 2013 时, 问题等价于证明 x ln x ?

1 . 2


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