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等比数列精品课件同步导学 新人教B版必修5_图文

等比数列精品课件同步导学 新人教B版必修5_图文

? 2.3 等比数列

? 2.3.1 等比数列

1.已知数列{an}的前 4 项为 2,6,18,54,则它的一个通项
an=2·n-1 3 公式为

.

2.若数列{an}的通项公式为 an=3( 2)n-1,则其前 4 项 依次为 3,3 2,6,6 2 ,第 10 项为 48 2 .

3.若{an}满足 a1=5,an+1=-2an,则该数列的前 4 项 依次为 5,-10,20,-40 a2 -2 ,a3= -2 ,a4 ,a = a2 a3 1 .

(-2)-1 = -2 ,其通项公式为 an=5·

? 1.等比数列的定义 ? 如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一 项的比都等于 同一个常数 ,那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列 的 公比 ,公比通常用字母 q 表示.

2.等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列 an 的首项为 a1,公比为 q(q≠0),填表:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

递推公式 an =q(n≥2) an-1

通项公式 an=a1qn-1

3.等比中项 (1)如果三个数,x,G,y 组成 等比数列 ,则 G 叫做 x 和 y 的等比中项. G y (2)如果 G 是 x 和 y 的等比中项,那么 = ,即 G2=xy . x G

? 4.等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
通项公式的推广:an= am· qn-m (m,n∈N+)

多项关系
项的运算性质:若m+n=p+q(m, n,p,q∈N+),则am·an= ap·aq

5.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方),即 a1·n a =a2·an-1 =ak· an-k =a
2n+1

2

(n 为正奇数)

6.等比数列的运算性质 (1)若 an 是公比为 q 的等比数列,则 a ① c·n (c 是非零常数)是公比为 q 的等比数列; ② |an| 是公比为 |q| 的等比数列;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m? ③ an ???(m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

是整数常数)是公比为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

qm

的等比数列.

(2)若 an 、 bn 分别是公比为 q1、q2 的等比数列,则数列
? ? ? ? ?

an·n 是公比为 b

? ? ? ? ?

q1q2

的等比数列.

? 任意两个实数x,y都有等比中项吗?都有等 差中项吗?如果有,有几个?
【提示】 如果 xy>0,则 x 与 y 有等比中项,且有两

个,即± xy;如果 xy≤0,则 x 与 y 没有等比中项,而不论 x+y x,y 是何实数,它们都有且只有一个等差中项,即 . 2

?

已知等比数列{an},若a1 +a2 +a3 =7, a1a2a3=8,求an. ? 【思路点拨】 由条件列方程组,先求出a1和 q.

【解析】

方法一:∵a1a3=a2, 2

∴a1a2a3=a3=8,∴a2=2, 2
?a +a =5 ? 1 3 ? 从而 ?a1a3=4 ?



解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1. 1 当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q= . 2 故 an=2n-1 或 an=23-n.

方法二:由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q2, 代入已知得,
?a +a q+a q2=7 ? 1 1 1 ? ?a1·1q·1q2=8 ? a a ?a ?1+q+q2?=7 ? 1 ,即? 3 3 ?a1q =8 ?



即 2 将 a1= 代入①得 2q2-5q+2=0, q 1 ∴q=2 或 q= , 2
?a =1 ? 1 由②得? ?q=2 ?

?a1=4 ? 或? 1 ,故 an=2n-1 或 an=23-n. ?q=2 ?

? a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个 基本量,其他量便可求出来,方法一是常规 解法,先求a1,q,再求an,方法二是运用通 项公式及方程思想建立方程组求a1和q,也是 常见的方法.

? 1.在等比数列中: ? (1)若a1+a2+a3=21,a1·a2·a3=216,求an; ? (2)若a3·a5=18,a4·a8=72,求公比q.
【解析】
3 (1)∵a1·3=a2,∴a1·2·3=a2=216, a a a 2

解得 a2=6,代入已知可得
?a +a =15, ? 1 3 ? ?a1·3=36, ? a ?a =3, ? 1 解方程得? ?a3=12, ? ?a =12, ? 1 或? ?a3=3. ?

1 当 a1=3 时,q=2,当 a1=12 时,q=2. ∴an=3· 2
n-1



?1? - ? an=12· ?n 1 ?2?

(2)由 a3·5=18,得 a a1q2·1q4=18,即 a2·6=18①, a 1q 又由 a4·8=72,得 a a1q3·1q7=72,即 a2·10=72②. a 1q ②÷ ①得 ∴q=± 2. q4=4,

?

已知数列{an}中,a1=1,an+2an-1+ 3=0(n≥2). ? (1)判断数列{an+1}是否为等比数列?并说 明理由; ? (2)求an.
an+1 【思路点拨】 将条件变形,用整体代换法证明 an-1+1 是否为常数即可.

? ? ? ? ?

【解析】 (1)数列{an+1}是等比数列,证明如下: ∵a1=1,an+2an-1+3=0, ∴an+1=-2(an-1+1), ∴数列{an+1}是首项为2,公比为-2的等比数列. (2)由上述可知an+1=2·(-2)n-1=-(-2)n,

? ∴an=-(-2)n-1.

an 判断一个数列是等比数列的基本方法是紧扣定义: an-1 an+1 an =q(q 为非零常数),也可以用 a = (n≥2)进行判断. an-1 n

2.已知等比数列 an 中,a1=1,公比为 q,且 bn=an+1- an. (1)判断数列 bn 是否为等比数列?说明理由. (2)求数列 bn 的通项公式.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

【解析】


(1)∵等比数列 an 中,a1=1,公比为 q,


? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

∴an=a1qn 1=qn 1(q≠0), 若 q=1,则 an=1,bn=an+1-an=0, ∴ bn 是各项均为 0 的常数列,不是等比数列. 若 q≠1, bn+1 an+2-an+1 qn 1-qn qn?q-1? 由于 b = = = =q, an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1? n

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∴ bn 是首项为 b1=a2-a1=q-1, 公比为 q 的等比数列.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? (2)由(1)可知,当q=1时,bn=0; ? 当q≠1时,bn=b1qn-1=(q-1)·qn-1, ? ∴bn=(q-1)qn-1(n∈N+).

已知等比数列 an 中,a2a6a10=1,求 a3·9. a

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? 【思路点拨】 既可以利用等比数列的性质,也可以 利用通项公式进行求解. ? 【解析】 方法一:根据等比数列的性质 ? a2·a10=a3·a9=a, ? 由a2·a6·a10=1得a=1,故a6=1, ? ∴a3·a9=a=1.

? ? ? ?

方法二:根据等比数列的通项公式得: a2·a6·a10=(a1q)(a1q5)(a1q9)=aq15 =(a1q5)3=1,∴a1q5=1, ∴a3·a9=(a1q2)(a1q8)=(a1q5)2=1.

? 等比数列中的项的序号若成等差数列,则 对应的项依次成等比数列,有关等比数列 的计算问题,应充分发挥项的“下标”的 “指引”作用,以使运算简便.

3.(1)在各项均为正数的等比数列 an 中,若 a5·6=9,则 a log3a1+log3a2+?+log3a10=( A.12 C.8
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

)

B.10 D.2+log35

(2) an 为等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,求 a11

? 【解析】 (1)由等比数列的性质知a1a10 = a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9, ? ∴ log3a1 + log3a2 + ? + log3a10 = log3a1a2?a10=log395=10. ? 故选B. ? 【答案】 B

(2)∵ an 为等比数列, ∴a1·9=a3·7=64,又 a3+a7=20 a a ∴a3,a7 是方程 t2-20t+64=0 的两个根. ∴t1=4,t2=16. ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4. 当 a3=4 时,a3+a7=a3+a3q4=20. ∴1+q4=5,∴q4=4.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

当 a3=16 时,a3+a7=a3(1+q4)=20, 5 1 4 ∴1+q =4,∴q =4,
4

∴a11=a1q10=a3q8=64 或 1.

? ? 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等 比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个 数与第三个数的和是12,求这四个数. ? 【思路点拨】 四个数分段成两种数列.解答时可先 按性质设其一种再推得其余.

【解析】 方法一:设四个数依次为 ?a+d?2 a-d,a,a+d, a , ?a+d?2 ? ?a-d+ a =16 由条件得? ?a+?a+d?=12 ?
?a=4 ? 解得? ?d=4 ? ?a=9 ? 或? ?d=-6 ?



.

所以,当 a=4,d=4 时,所求四个数为 0,4,8,16; 当 a=9,d=-6 时,所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.

2a a 方法二:设四个数依次为 -a, ,a,aq(a≠0), q q ?2a ? q -a+aq=16 由条件得? ?a+a=12 ?q
?a=8 ? ,解得? ?q=2 ?

?a=3 ? 或? 1 ?q=3. ?

当 a=8,q=2 时,所求四个数为 0,4,8,16; 1 当 a=3,q=3时,所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4, 8,16 或 15,9,3,1.

合理地设出所求数中的三个,根据题意得出另一个是解 a 决这类问题的关键.一般地,三个数成等比数列,可设为q, a,aq;三个数成等差数列,可设为 a-d,a,a+d.

? 4.已知四个数,前3个数成等差数列,后三个数成等比数列, 中间两个数之积为16,前后两数之积为-128,求这四个 数.
【解析】 a 依题意设后三个数为q,a,aq,

又∵前三个数成等差数列, 2a ∴第一个数为 q -a,则由已知得:

由①得 a2=16q



由②得 a

2

?2 ? ? -1?· q=-128. q ? ?

将③代入得:q2-2q-8=0,∴q=4 或 q=-2. 又 a2=16q,∴q>0,∴q=4,∴a=± 8. 当 a=8 时,所求四个数分别为:-4,2,8,32. 当 a=-8 时,所求四个数分别为:4,-2,-8,-32.

? ? ? ?

1.有关等比数列的定义应注意的问题 与等差数列的定义类似,学习等比数列时需注意三点: (1)注意定义中“从第2项起”这一条件的两层含义. 其一,第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项 的比”相吻合;其二,等比数列的定义包括了首项这一 基本量,且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项 作商. ? (2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要 求,它的含义也有两个.其一,强调作商的顺序,即后 面的项比前面的项;第二,强调这两项必须相邻.

(3)注意定义中的“同一常数”这一要求, 否则这个数列 不能称为等比数列. 2.判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法 an+1 =q(q 为常数且不为零)? an 为等比数列. an
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)等比中项法 a2+1=anan+2(n∈N+且 n (3)通项公式法 an=a1q
n-1

an≠0)? an 为等比数列.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

(a1≠0 且 q≠0)? an 为等比数列.

3.等比数列与指数函数的关系 (1)等比数列的通项公式 an =a1qn -1 ,可以整理为 an =
?a1? ?a1? n n ? ?· , q>0 且 q≠1 时, q 当 y=q 是一个指数函数, y=? q ?·n 而 q q? ? ? ?

是一个不为 0

?a1 ? ? n? q 的常数与指数函数的积, 因此, 数列 an 即? q · ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

a1 中的各项所表示的点(n,kq )(k= )离散地分布在函数 y= q
n

k·x(x∈R)的图象上,所以可以借助指数函数 y=qx(q>0 且 q q≠1)的性质来研究等比数列.

? (2)首项与公比和等比数列单调性的关系.
a1 q 的范围 0<q<1
? an?的 ? 单调性 ? ? ?

a1>0 q=1 q>1 0<q<1

a1<0 q=1 q>1

递减 数列

不具有 单调性

递增 数列

递增 数列

不具有 单调性

递减 数列

4.由等比数列的任意两项求公比 若已知等比数列 an 中的任意两项 an,am,由 an=am·n- q
m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

n-m a n 可以求得公比 q= am 5.等比数列的“子数列”的有关性质 若数列 an 是公比为 q 的等比数列,则 (1) an 去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

列;

(2)奇数项数列 a2n-1 是公比为 q2 的等比数列; 偶数项数列 a2n 是公比为 q2 的等比数列; (3)若 kn 成等差数列且公差为 d,则 akn 是公比为 qd 的等 比数列,也就是说等比数列中项的序号若成等差数列,则对 应的项依次成等比数列.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

1 an 的首项 a1=a≠ ,且 设数列 4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?1 ?2an an+1=? ?an+1 4 ?

?n为偶数? ?n为奇数?, n=1,2,3,?.

1 记 bn=a2n-1-4, (1)求 a2,a3;

(2)判断数列 bn 是否为等比数列,并证明你的结论.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

【错解】

1 1 (1)a2=a1+4=a+4,

1 a 1 a3= a2= + . 2 2 8 1 (2)bn+1=a2n+1- , 4 1 bn+1 a2n+1-4 a2n 1 ∴ = = = , bn 1 a2n-2 4 a2n-1-4 ∴ bn 是等比数列.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【错因】

数列 an 中的项之间的关系有两种:

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

an+1 1 (1)n 为偶数, = ; an 2 1 (2)n 为奇数,an+1=an+ . 4 错解没有正确地理解数列 an 中各项之间的关系. 错误地 1 a2n+1-4 a2n 1 认为 1=a2n-2=4,从而造成错误. a2n-1-4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【正解】

1 1 (1)a2=a1+4=a+4,

1 1 1 a3=2a2=2a+8. 1 1 3 (2)∵a4=a3+4=2a+8, 1 1 3 所以 a5=2a4=4a+16, 1 1 所以 b1=a1- =a- , 4 4 1 1 1 b2=a3- = (a- ), 4 2 4

1? 1 1? b3=a5-4=4?a-4?, ? ? 1 猜想: bn 是公比为2的等比数列.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 1 证明:因为 bn+1=a2n+1-4=2a2n-4 1 1 1 =2(a2n-1+4)-4 1 1 1 =2(a2n-1-4)=2bn(n∈N+), 1 1 所以 bn 是首项为 a-4,公比为2的等比数列.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1.已知等比数列 an 中,a2 ( ) A. -1 C.± 1 B.1

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

008=a2 010=-1,则

a2

009=

D.以上都不对

? 【答案】 C

2. 在等比数列 an 中, 5·6·7=3, 6·7·8=24, a7·8·9 a a a a a a 则 a a 的值等于( A.48 C.144 ) B.72 D.192

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? 【答案】 D

? 3.在两数1、25之间插入3个数,使它们成 等比数列,则中间数等于________. ? 【答案】 5

20 an 为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求 an 的通 4.已知 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

项公式.

【解析】 由题意得

方法一:设 an 的公比为 q,

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

a1q+a1q3 10 由②÷ ①得 a q2 = 3 ,
1

1 ∴3q -10q+3=0,∴q=3或 q=3.
2

?1? - 1 当 q=3时,a1=18,此时 an=18×?3?n 1 ? ?

=2×33 n; 2 2 当 q=3 时,a1=9,此时 an=9×3n-1=2×3n-3.



方法二:设等比数列 an 的公比为 q,则 q≠0, a3 2 a2= = ,a4=a3q=2q, q q 2 20 1 ∴q+2q= 3 ,解得 q1=3,q2=3.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

1 当 q=3时,a1=18, 1 n-1 - ∴an=18×(3) =2×33 n; 2 当 q=3 时,a1= , 9 2 n-1 ∴an= ×3 =2×3n-3. 9


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