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黑龙江省哈三中2012—2013学年度上学期高三期末考试(数学文)

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考无不胜

黑龙江省哈三中 2012—2013 学年度上学期高三期末考试

数学试题(文科)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂在机读卡上,请在各题目的答题区域内作答; (3)只交答题卡.

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? x y ? A. ?0,3?

?

3x ? x 2 , B ? y y ? x 2 ,则 A ? B 为
B. ?2,3? C. ?3,??? D. ? ,3? 1

?

?

?





2.函数 f ?x ? ? ?x ? 2?ln x 的零点有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个





3.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? ?a ? 2?y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于 A. 1 或 ? 3
x





B. ? 1 或 3

C. 1 或 3

D. ? 1 或 3

2 ?1? 4.命题甲: ? ? ,21? x ,2 x 成等比数列;命题乙: lg x, lg?x ? 1?, lg?x ? 3? 成等差数列,则甲是 ? 2?

乙的 A.充分不必要条件 C.充要条件

( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



5.已知 y ? tan x , x ? ? 0,

? ?? ? .当 y ? ? 2 时, x 等于 ? 2?
B.





A.

? 3
2

2 ? 3
2

C.

? 4

D.

? 6
( )

6.直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 相交,则 a 的取值范围是 A. (0, 2 ? 1) C. (? 2 ? 1, 2 ? 1) B. ( 2 ? 1, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1)

7.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图,则四棱锥 P ? ABCD 的体积为





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2

2

1

1
主视图 A.

1
侧视图 B.

1
俯视图 C.

2 3

1 3

4 3

D. 2 ( )

8.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 4 , an ? 4 ?

4 ?n ? 2? ,则 a6 ? an?1
C.

A.

9 4

B.

20 9

16 7

D.

7 3
( )

?y ? x ? 9.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 ? x ? ?2 ?
A. ? 2 B. ? 4 C. ? 6 D. ? 8

10.在 ?ABC 中, AB ? BC ? ? ,

?3 3 3 ? 3 ,则 AB 与 BC 夹角的取值范围是 ? ,其面积 S ? 16 ?8 8 ?
( )

A. ?

?? ? ? , ?6 4? ?

B. ?

?? ? ? , ?6 3? ?

C. ? ,

?? ? ? ?4 3? ?
y

D. ?

?? 3? ? , ? ?6 4 ?
y

11.下图是一组函数图象,它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配:

y

y

O

t

O

t

O

t O

t

① ② ③ ④ 情境 A:一份 30 分钟前从冰箱里取出来,然后被放到微波炉里加热,最后放到餐桌上 的食物的温度(将 0 时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻) ; 情境 B:一个 1970 年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者 收藏,并且被保存得很好) ; 情境 C:从你刚开始放水洗澡,到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度; 情境 D:根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润; 其中情境 A、B、C、D 分别对应的图象是 ( ) A.①③④② B.①④②③ C.④③①② D.④③②①
A1 B1 C1

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12.已知三棱柱 ABC? A1 B1C1 ,底面是正三角形,侧棱和 底面垂直,直线 B1C 和平面 ACC1 A1 成角为 30 ? ,则异 面直线 BC1 和 AB1 所成的角为 ( )

? 6 ? C. 3
A.

B. D.

? 4
2π 3
(非选择题,共 90 分)

第Ⅱ 卷
13.已知 tan ?? ? ? ? ?

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置)

1 1 , tan ? ? ,则 tan?? ? ? ? ? _______. 2 3

14.现有三种股票和两种基金,欲购买其中任意两种,有且只有一种基金的概率为_______. 15. 设 f ?x ?, g ?x ? 分 别为 定义 在 R 上的 奇函 数和 偶函 数, 且 g ?x ? ? 0 , 当 x ? 0 时 , 且 则不等式 f ?x ?g ?x ? ? 0 的解集为_________ f ??x?g ?x? ? f ?x?g??x? ? 0 , f ?? 2? ? 0 , 16.已知 ? , ? , ? 是三个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,有下列三个条件 ① m // ? , n ?

? ;② m // ? , n // ? ;③ m ? ? , n // ?

要使命题“若 ? ? ? ? m, n ? ? ,且 _________ ,则 m // n ”为真命题,则可以在横线 处填入的条件是 _________ (把你认为正确条件的序号填上) 三、解答题(本题共 6 小题,总分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ?x? ? ax3 ? cx?a ? 0? , 其图象在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 x ? 6 y ? 21 ? 0 垂直,导函数 f ?? x ? 的最小值为 ? 12 . (I)求函数 f ?x ? 的解析式; (II)求 y ? f ?x ?在 x ? ?? 2,2? 的值域.

18. (本小题满分 12 分)

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已知向量 m ? ? 3 cos , cos ? , n ? ? sin

? ?

x 4

x? 4?

? ?

x x? , cos ? . 4 4?

(I)若 m ? n ?

3 ?1 ?? ? ,求 cos? x ? ? 的值; 2 3? ?
1 ,在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b , c ,且满足 2

(II)记 f ? x ? ? m ? n ?

?

2a ? c cosB ? b cosC ,求函数 f ? A? 的取值范围.

?

19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 6.BC ? 2 3 ,沿对角线 BD 将 ?ABD 向上折起, 使点 A 移至点 P ,且点 P 在平面 BCD 内的射影 O 在 CD 上. (I)求证: PD ? BC ; (II)求二面角 P ? DB ? C 的正弦值.

P

D

O

C

A

B

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 3 ? 2 n ? 3 . (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )令 bn ? ?n ? 1?an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

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19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ?x ? 3? ? ? y ? 4? ? 16 .
2 2

(Ⅰ)求过点 P?? 3,?3? 的圆的切线方程; (Ⅱ)作直线 l : kx ? y ? k ? 0 ,若直线 l 与圆 C 交于 Q 、 R 两点,且直线 l 与直线 l1 :

x ? 2 y ? 4 ? 0 的交点为 M , 线段 QR 的中点为 N , A?1,0? , 若 求证: AM ? AN
为定值.

20. (本小题满分 12 分)

1 ?x ? 1?2 ? ln x ? ax ? a . 2 (Ⅰ)若 x ? 2 为函数极值点,求 a 的值;
(Ⅱ)若 x ? ?1,3? 时, f ?x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

已知函数 f ? x ? ?

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参考答案
一、选择题: 1—5 ACABC 二、填空题: 13. 1 ; 三、解答题: 17.解: (Ⅰ) f ??x? ? 3ax2 ? c ,则 ?

6—10 DADDA

11—12 AC 15. ?? ?,?2? ? ?0,2? ;

14.

3 ; 5

16.③

?a ? 2 ? f ??1? ? ?6 ,则 ? ,所以 f ?x? ? 2x 3 ? 12 x ; ?c ? ?12 ?c ? ?12

(Ⅱ) f ??x? ? 6x 2 ? 12 ,令 f ??x ? ? 0 得, x ? ? 2 。

? ? 2,2?上为增函数,在 ?? 2, 2 ?上为减函数。 f ?? 2? ? 8, f ?2? ? 16 ? 24 ? ?8, f ? 2 ? ? ?8 2, f ?? 2 ? ? 8 2 , 所以 y ? f ?x ?在 x ? ?? 2,2? 的值域为 ?? 8 2 ,8 2 ?.
所以函数 y ? f ?x ? 在 ? 2,? 2 和 18.解: (Ⅰ) m ? n ?

?

3 ?1 x x x 3 x 1 x 1 ? 3 cos sin ? cos2 ? sin ? cos ? 2 4 4 4 2 2 2 2 2

即 sin ?

?? ?? 1 3 ? ?x ?? 2? x ,所以 cos? x ? ? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? ? ; ? ?? 3? 2 2 ? ?2 6? ?2 6?
1 ?x π? ?A π? ? sin? ? ? , 则 f ? A? ? sin? ? ? 2 ?2 6? ? 2 6?

(Ⅱ) f ?x ? ? m ? n ?

因为

?

2a ? c cos B ? b cos C ,则

?

?
π 4

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

即 2 sin A cos B ? sin A ,则 B ? 则 A ? ? 0,

? ?

3 ? A π ? π 13π ? π ?, ? ? ? , ? 4 ? 2 6 ? 6 24 ? ?1 ? ? ?

则 f ? A? ? ? ,1? 2

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19.解: (Ⅰ)因为 BC ? CD, BC ? OP ,则 BC ? 平面 PCD ,则 PD ? BC ; (Ⅱ)过 P 作 PE ? BD于点 E ,连接 OE 因为 BD ? OP ,则 BD ? 平面 OPE ,则 BD ? OE , 所以 ?PEO 为二面角 P ? BD ? C 的平面角, 在 ΔPOE 中, PE ? 3, OE ? 1, PO ? 2 2 , 则 sin ?PEO ? 20.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 3
n n ?1 n ?1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 所以 an ? 3 ? 2 n?1 ;

2 2 ; 3

(Ⅱ) bn ? 3?n ? 1? ? 2 n?1

Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? ?n ? 1? ? 2n?1
利用错位相减法解得 Tn ? 3?n ? 2? ? 2 n ? 6 21.解: (Ⅰ) k ? (Ⅱ)由 ?

?

?

9 13 或 k ? ? ,切线方程为 9 x ? 2 y ? 21 ? 0 或 3x ? 16y ? 57 ? 0 ; 2 6

? y ? k ?x ? 1? ? 2k ? 4 ? 5k ? 得: M ? , ? ? 2 k ? 1 2k ? 1 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0

?? x ? 3?2 ? ? y ? 4?2 ? 16 ? k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k ? 由? 得: N ? ? k 2 ?1 , k 2 ?1 ? ? ? ? ? y ? k ? x ? 1?
又由 A?1,0? 则由两点间距离公式可得:

AM ? AN ? 10为定值。
22. (Ⅰ) f ?? x ? ? ? x ? 1? ?

1 3 ? a ,由 f ??2? ? 0 得, a ? ; x 2

(Ⅱ)当 a ? 1 时, f ??x ? ? 0 成立,所以函数 y ? f ?x ? 在 ?1,3? 上为增函数, 对任意的 x ? ?1,3? , f ?x ? ? f ?1? ? 0 ,所以 a ? 1 成立; 当 a ? 1 时,令 f ?? x ? ? ? x ? 1? ?

?a ? 1? ? ?a ? 1? ? 4 1 ? a ? 0 ,得 x ? ,则函数在 x 2
2

? ?a ? 1? ? ?a ? 1?2 ? 4 ? ? 0, ? 上为增函数, ? ? 2 ? ?

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? ?a ? 1? ? ?a ? 1?2 ? 4 ?a ? 1? ? ?a ? 1?2 ? 4 ? ? 上为减函数, 在? , ? ? 2 2 ? ? ? ?a ? 1? ? ?a ? 1?2 ? 4 ? 在? ,?? ? 上为增函数, ? ? 2 ? ?
当a ?

?a ? 1? ? ?a ? 1? ? 4 7 时, 1 ? ? 3, 3 2
2

? ?a ? 1? ? ?a ? 1?2 ? 4 ? ? ,不合题意,舍去。 则 f ?1? ? f ? ? ? 2 ? ? 7 当 a ? 时,函数在 ?1,3? 是减函数, f ?x ? ? f ?3? ? 0 ,不合题意,舍去. 3 综上, a ? 1 .


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