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2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.3 空间的角的计算

2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.3 空间的角的计算


数学 3.2.3 学习目标 空间的角的计算 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3. 体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 知识点一 空间角的计算(向量法) 思考 1 设 a,b 分别是空间两条直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 的夹角大小一定为〈a,b〉 吗? 思考 2 若二面角 α-l-β 的两个半平面的法向量分别为 n1, n2, 则二面角的平面角与两法向 量的夹角〈n1,n2〉一定相等吗? 梳理 空间三种角的向量求法 角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为 θ, 它们的方向向量为 a,b,则 cos θ=________=______________. 设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,l 的方向向量 范围 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 为 e,平面 α 的法向量为 n,则 sin θ=________ =________. 设二面角 α-l-β 为 θ,平面 α,β 的法向量分 二面角 |n1· n2| 别为 n1,n2,则|cos θ|=________= . |n1||n2| 数学 知识点二 向量法求线面角、二面角的原理 1.向量法求直线与平面所成角的原理 条件 直线 l(方向向量为 e)与平面 α(法向量为 n)所成的角为 θ 图形 π 〈e,n〉∈[0, ], 2 π θ= -〈e,n〉 2 π 〈e,n〉∈[ ,π], 2 π θ=〈e,n〉- 2 关系 计算 sin θ=|cos〈e,n〉| 2.向量法求二面角的原理 条件 平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2,α,β 所构成的二面角的大 小为 θ, 〈n1,n2〉=φ 图形 关系 计算 θ=φ cos θ=cos φ θ=π-φ cos θ=-cos φ 类型一 求两条异面直线所成的角 例 1 如图,在三棱柱 OAB-O1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60° ,∠AOB= 90° ,且 OB=OO1=2,OA= 3,求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大小. 数学 反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时,若能构建空间直角坐标系,则建 立空间直角坐标系, 利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成 角的区别. 跟踪训练 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1D1、A1C1 的中点,求异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 类型二 求直线和平面所成的角 例 2 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成 的角. 反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐 标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法,即先求 平面法向量与斜线的夹角,再进行换算. 跟踪训练 2 如图所示, 已知直角梯形 ABCD, 其中 AB=BC=2AD, AS⊥平面 ABCD, AD∥BC, AB⊥BC,且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值. 数学 类型三 求二面角 例 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,E 是 PD 的中点,求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角. 反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特

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