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导数的四则运算法则 公开课课件_图文

导数的四则运算法则 公开课课件_图文

3.2导数的计算 ——导数的运算法则
第二课时

李吉文

教学目标:
1.掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则; 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.

一、复习与自主学习
①基本初等函数的导数公式 0 ; 1. f ( x) = c(c 为常数 ) ? f ?( x ) 2. f ( x ) = x a (a 无Q* ) f ?( x ) = a xa - 1 ; 3. f ( x ) = sin x ? f ?( x ) cos x ; 4. f ( x ) = cos x ? f ?( x ) - sin x ; x x a ln a ; ? 5. f ( x ) = a ? f ( x ) x x e ? 6. f ( x ) = e ? f ( x ) ; 7. f ( x ) = log a x ? f ?( x ) 8. f ( x ) = ln x ? f ?( x )
1 x ln a 1 x .



一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利,那 么为什么还要求导运算法则? 问题 3 记忆求导运算法则,你发现运算法则有何规律?

二、新课引入 引例 假设某国家在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%, 物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)有如下函数关系
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51, 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?
p(t ) ? 1.05 解:根据基本初等函数的导数公式表,有 解析: p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ? p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p? (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
t

f ( x) ? ax ? f ?( x) ? ax lna

如果上式中的某种商品的 p0=5,那么在第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度 大约是多少?

三、四则运算求导法则
①[ f ( x ) ? g( x )]ⅱ f ( x ) ? g ?( x ) ②[ f ( x )? g( x )]ⅱ f ( x ) ?g( x ) f ( x ) ?g ?( x ) f ( x) fⅱ ( x ) ?g( x ) f ( x ) ?g ( x ) ]?= ③[ 2 g( x ) g ( x)

特别地
[c ? f ( x )]ⅱ c ? f ( x )

*引例中问题的解决 f ( x) ? ax ? f ?( x) ? ax lna 引例 假设某国家在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%,物 价 p (单位:元)与实践 t (单位:年)有如下函数关系
p( t ) = p0 (1 + 5%)t 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p0 = 5 , 那么在第 10 个年 头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)? t t 解: p(t ) = p0 (1 + 5%) = 5? 1.05 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05t )
Q pⅱ ( t ) = 5? (1.05t ) = 5? (1.05t ln1.05) \ p? (10) = 5? 1.0510 ln1.05 淮 5 0.08 = 0.40 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0. 40 元/年的速度上涨.

四、典型例题
例题 1 求下列函数的导数. (1) f ( x ) ? (2 x ? 1)(3 x ? 2) ; (2) f(x)=ex ln x ( x ? 0) ; x-1 ( x ? ?1) . (3) f(x)= x+1
四则运算求导法则:
①[ f ( x ) ? g( x )]ⅱ f ( x ) ? g ? ( x) x e x ?()] 答案: (x )) ??e ? ln (1) xⅱ ) ? 12 ? ?gf (x f x (x )1 ?; g((2) x ) f ?f (x g? ( x) x ? ; ②[ f ( x ) x f ( x) 2 f ⅱ ( x ) ?g ( x ) f ( x ) ?g ( x ) ]?= (3)③ f ?[ (x ) ? g( x )( x ? 1)2 . g2 ( x)

四、典型例题
变式训练 求下列函数的导数.
2 y ? 3 x (2 x ? 3); (1) ln x y? ? 5 ( x ? 0) (3) . x

x x y ? 1 ? sin cos (2) 2 2



变式训练答案:
2 ? y ? 18 x ? 9; (1)

1 y? ? cos x (2) ; 2

1 ? ln x y? ? (3) x2 .

四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线, l 2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程;
y
2

x

o

A(1,0)

2 20 (? , ? )B 3 9

l1

l2

四、典型例题
例题 3 已知函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ,过点 A(2,3)作该函数图象 的切线,求该切线的方程. 解:显然点 A(2,3)不在函数图象上,故该点不是切点. 2 P ( x , y ) 设切点的坐标是 0 0 ? f ( x) ? x ? x ? 2? f ?( x) ? 2 x+1 所以,过切点 P( x0 , y0 ) 的切线的斜率是 f ?( x0 ) ? 2 x0 +1 , y0 ? 3 2 k? y ? x 而又,过 A,P 两点的斜率可以表示为 x0 ? 2 且 0 0 ? x0 ? 2 ,
2

x0 ? x0 ? 2 ? 3 f ?( x0 ) ? k .故有 2 x0 +1 ? x0 ? 2 解得 x0 ? 1 或 x0 ? 3 所以 y0 ? 0 或 y0 ? 10 . 斜率分别为 k1 ? 3 或 k2 ? 7 所求切线的方程分别是 3 x ? y ? 3 ? 0 或 7 x ? y ? 11 ? 0
2

y

l1
P (2, 3) x

o

l2

五、课堂练习
?x ?1 练习 1 函数 y ? 的导数是( A ). sin x ?2 x sin x ? (1 ? x 2 )cos x A. y? ? ; 2 sin x ?2 x sin x ? (1 ? x 2 )cos x B. y? ? ; 2 sin x ?2 x sin x ? (1 ? x 2 ) C. y? ? ; sin x ?2 x sin x ? (1 ? x 2 ) D. y? ? sin x 练 习 2 函 数 y ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) 在 x ? 1 处 的 导 数 等 4 于 .
2

五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y ? x ? x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ? ,则 f ?( x )等于( D ) x 1? x 1 1 1 1 A. B. ? C. D. ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) 1? x 1? x *练习 5 1 已知直线 y ? kx 是曲线 y ? ln x 的一条切线, 则k的 值为 . e

六、课堂小结
(1)本节课的主要任务是能熟练运用导数的运算法则求导. (2)请同学们用自己的话来归纳概括运算法则,以便于记忆! (3)用运算法则进行运算时,你认为要注意哪些事项? (4)求函数曲线的切线方程有三种基本类型:①已知切点求斜 率;②已知斜率求切点;③未知切点和斜率(过曲线外一点).解题 关键是“不知切点设切点 P( x0 , y0 ) ”.

七、课外作业 ①《课时作业》
②体验高考
1. (2011 温 州 高 三 适 应 性 试 题 节 选 ) 已 知 函 数 8x ? y ? 2 ? 0 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? 10 . (1)当 a ? 1时,求曲线 y ? f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程. 2. (2016 新 课 标 文 ) 已 知 ? ? f ( x) 为 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? e ? x ?1 ? x , 则 曲 线 ? ? y ? f ( x ) 在 (1,2) 处 的 切 线 方 程 式 2x ? y ? 0 _____________________________.


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