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2016年高三数学(理)创新设计资料包13-5_图文

2016年高三数学(理)创新设计资料包13-5_图文

第5讲
最新考纲





1.理解复数的基本概念;2.理解复数相等的充

要条件;3.了解复数的代数表示法及其几何意义;4.会进 行复数代数形式的四则运算;5.了解复数代数形式的 加、减运算的几何意义.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
1.复数的有关概念
内容 意义 备注

a+bi (a∈R, 若b=0,则a+bi为实 复数 形如_______ 的概 b∈R)的数叫复数,其中 数;若a=0且b≠0, 则a+bi为纯虚数 a ,虚部为__ 念 实部为__ b

复数 a+bi=c+di? a=c且b=d 相等 ____________ a+bi与c+di共轭? 共轭 ____________ a =c且b=-d (a,b, 复数 c,d∈R)
基础诊断 考点突破 课堂总结

建立平面直角坐标系来表 复 示复数的平面叫做复平 平 x轴 叫实轴,y轴叫 面,____ 面 虚轴
复 数 的 模
→ 设OZ对应的复数为 z=a → + bi ,则向量 OZ的长度 叫做复数 z=a+bi 的模

实轴上的点都表示实数; 除了原点外,虚轴上的点 都表示纯虚数,各象限内 的点都表示虚数

2 2 a + b |z|=|a+bi|=________

基础诊断

考点突破

课堂总结

2. 复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应

的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组
成的集合也是一一对应的,即 (1)复数z=a+bi Z(a,b)(a, 复平面内的点_______
→ 平面向量OZ.

b∈R).
(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

z1 a+bi (a+bi)(c-di) ④除法: = = z2 c+di (c+di)(c-di) ac+bd+(bc-ad)i = (c+di≠0). c2+d2

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,
有 z1 + z2 = z2 + z1 , ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) . (3)复数加、减法的几何意义
→ → ① 复数加法的几何意义: 若复数 z1, z2 对应的向量OZ1, OZ2不 → → 共线,则复数 z1+z2 是以OZ1,OZ2为两邻边的平行四边形的对 → 角线OZ所对应的复数. → → → ②复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是OZ1-OZ2=Z2Z1所对应 的复数.
基础诊断 考点突破 课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi. 精彩PPT展示 (× ) (× ) (3)原点是实轴与虚轴的交点. (√) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的

(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.

距离,也就是复数对应的向量的模.

(√ )

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 2.设 z= +i,则|z|= 1+i

(

)

1 A. 2
解析 i, ∴|z|=
答案

2 3 B. C. D.2 2 2 1-i 1-i 1 1 1 ∵z= +i= +i= +i= + 2 2 2 1+i (1+i)(1-i)

?1?2 ?1?2 ? ? +? ? = ?2? ?2?

2 ,故选 B. 2

B

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.(2014· 湖北卷)i
A.1
C.i

?1-i? ?2 为虚数单位,? ?1+i? = ? ?

(

)

B.-1
D.-i
?1-i? ? ?2 -2i 因为? ? = 2i =-1.故选 1 + i ? ?

解析
答案

B.

B

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2 = A.3-4i B.3+4i C.4-3i ( D.4+3i )

解析
答案

∵a+i=2-bi,∴a=2,b=-1,
A

∴(a+bi)2=(2-i)2=3-4i,故选A.

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(人教 A 选修 2-2P129B1 改编)已知(1+2i) z =4+3i,则 z =________.



4+3i (4+3i)(1-2i) 解析 ∵ z = = 1+2i (1+2i)(1-2i)


10-5i = =2-i,∴z=2+i. 5
答案 2+i

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一

复数的概念

10 【例 1】(1)设 i 是虚数单位. 若复数 a- (a∈R)是纯虚数, 3-i 则 a 的值为
A.-3 B.-1 C.1 D.3

(

)

3+bi (2)若 =a+bi(a,b∈R),则 a+b=________. 1-i

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

10(3+i) 10 (1)复数 a- =a- =(a-3)-i 为纯虚数, 10 3-i

∴a-3=0,∴a=3. (2)由已知得 3+bi=(1-i)(a+bi)=a+bi-ai-bi2= (a+b)+(b-a)i,
? ? ?a+b=3, ?a=0, 根据复数相等得? 解得? ∴a+b=3. ? ? ?b-a=b, ?b=3.

答案

(1)D

(2)3 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数

规律方法 处理.

的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 1】 (1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为
A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i


(

)

1 (2)(2014· 青岛质量检测)复数 z= (其中 i 为虚数单位)的 2+i 虚部为________.
解析 (1)由(z-3)(2-i)=5,

5(2+i) 5(2+i) 5 得 z= +3= +3= +3=5+i, 5 2-i (2-i)(2+i) ∴ z =5-i.故选 D.
基础诊断 考点突破 课堂总结


2-i 2-i 2 1 1 (2)z= = = = - i. 5 5 5 2+i (2+i)(2-i) 1 故复数 z 的虚部为- . 5
答案 (1)D 1 (2)- 5

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二

复数的运算

【例 2】 (1)(2014· 安徽卷)设 i 是虚数单位,- z 表示复数 z z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i·- z= i
A.-2 B.-2i C.2 D.2i

(

)

? -2 3+i ? ? 2 ?2 014 (2) + =________. ? 1 - i 1+2 3i ? ? ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

z (1)z=1+i,所以 +i·- z =(-i+1)+i(1-i)=2. i

? ? ? i(1+2 3i) ? ?? 2 ?2?1 007 (2)原式= +?? ? ? 1+2 3i ??1-i? ? ? 2 ? ?1 =i+? ?-2i? ? ?

007=i+i1 007

=i+i4×251+3=i+i3=0.
答案 (1)C (2)0

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项

式运算, 除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, 注意 要把 i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论, 可提高运算速 1+i 1-i a+bi 度:①(1± i) =± 2i;② =i;③ =-i;④ =b- i 1-i 1+i
2

ai;⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).

基础诊断

考点突破

课堂总结

7+i 【训练 2】(1)(2014· 天津卷)i 是虚数单位, 复数 =( 3+4i

)

A.1-i 17 31 C. + i 25 25
?1+i? ?6 (2)? ?1-i? + ? ?

B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7 2+ 3i =________. 3- 2i

解析

7+i (7+i)(3-4i) 25-25i (1) = = =1-i, 25 3+4i (3+4i)(3-4i)

故选 A.

基础诊断

考点突破

课堂总结

?(1+i)2? ? ?6 ( (2)原式=? + ? 2 ? ?
6

2+ 3i)( 3+ 2i) ( 3)2+( 2)2

6+2i+3i- 6 =i + =-1+i. 5
答案 (1)A (2)-1+i

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三 于

复数的几何意义 ( B.第二象限 D.第四象限 )

【例3】 (1)(2014· 重庆卷)复平面内表示复数i(1-2i)的点位
A.第一象限 C.第三象限

(2-i)2 (2)复数 z= (i 为虚数单位),则|z|= i A.25 B. 41 C.5 D. 5

(

)

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应点(2,1).

4-4i-1 3-4i (3-4i)i 4+3i (2)∵z= = = = =-4-3i, i i i·i -1 ∴|z|=
答案

(-4)2+(-3)2=5.
(1)A (2)C
要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复

规律方法

平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系,从而准 确理解复数的“数”与“形”的特征.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练3】 (1)如图,在复平面内,点A表示

复数z,则图中表示z的共轭复数的点是
( A.A C.C B.B D.D )

(2)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于

原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)设 z=-a+bi(a,b∈ R+),则 z 的共轭复数 z =-a



-bi,它的对应点为(-a,-b),是第三象限的点,故选 B. (2)在复平面内,复数 z=a+bi 与点(a,b)一一对应. ∵点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数 z2=-2 +3i.
答案 (1)B (2)-2+3i

基础诊断

考点突破

课堂总结

[思想方法]

1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次
方根.除法实际上是分母实数化的过程. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部惟一确定 的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数 问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,b∈R),既

要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要
从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法
则其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结 合.

[易错防范]
1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑 它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小. 3.注意复数的虚部是指在a+bi(a,b∈R)中的实数b,即虚

部是一个实数.

基础诊断

考点突破

课堂总结


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