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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10篇 第4节 随机事件的概率课件 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10篇 第4节 随机事件的概率课件 理


第4节

随机事件的概率

最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频 率的稳定性,了解概率的

意义及频率与概率的 区别. 2.了解两个互斥事件的 概率加法公式.

编写意图

互斥事件与对立事件的概率是高考命题的重点,多以选

择题、填空题的形式出现,解答题中则会与概率分布列结合在一起 考查,属中档题目,本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突 出概率与频率的区别与联系,难点突破两互斥事件与对立事件概念 的理解与概率公式的应用,思想方法栏目凸显了思维的灵活性.课时

训练以考查基础知识和基本方法为主,精挑细选,立题新颖,很多题
目的考查角度与高考吻合.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
知识梳理
1.事件的相关概念

抓主干

固双基

(1)必然事件:在一定条件下, 一定会发生的事件; (2)不可能事件:在一定条件下, 一定不会发生的事件;
(3)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.

2.频率与概率 (1)频率 在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验 中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的 频数 ,称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A 出现的频率. n

(2)概率 对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称 为 A 的概率.

3.事件的关系与运算 见附表 质疑探究:互斥事件和对立事件有什么区别和联系 ? (提示:互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的 .在一次试验中, 两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的 事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们 未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两事件对立 是两事件互斥的一种特殊情况)

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 .
(2)必然事件的概率P(E)=1. (3)不可能事件的概率P(F)=0.

(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B) . ②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).

基础自测
1.在下列事件中,随机事件是( D )

(A)物体在只受重力作用下会自由下落 (B)若x是实数,则|x|<0 (C)若a>b,则a-b<0 (D)函数y=ax(a>0,且a≠1)是R上的增函数

解析:选项A中的事件为必然事件,选项B中的事件为不可能事件,选
项C中的事件为不可能事件,选项D中的事件当a>1时,发生;0<a<1时, 不发生,为随机事件.

2.从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数
都大于2),那么互斥而不对立的两个事件是( (A)至少有一个是红球,至少有一个是绿球 (B)恰有一个红球,恰有两个绿球 (C)至少有一个红球,都是红球 (D)至少有一个红球,都是绿球 解析:选项A、C中两事件可以同时发生,故不是互斥事件;选项B中两 事件不可能同时发生,因此是互斥的,但两事件不对立;选项D中的两 B )

事件是对立事件.

3.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是(

A

)

①设有一大批产品, 已知其次品率为 0.1,则从中任取 100 件,必有 10 件 是次品;②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此,出现正面的概
3 率是 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 7

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:要明确在试验中,虽然随机事件发生的频率
m 不是常数,但它 n

具有稳定性,且总是接近于某个常数,在其附近波动,这个常数叫做 概率,所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的.由此可知① ②③都是不正确的.

1 1 4.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不 2 3

输的概率是
1 1 5 解析:P= + = . 2 3 6
5 答案: 6

.

5.一个袋子中有红球5个,黑球4个,现从中任取5个球,则至少有1个 红球的概率为 .

解析:“从中任取5个球,至少有1个红球”是必然事件,必然事件发 生的概率为1.

答案:1

考点突破
考点一 随机事件的频率与概率
产品进行了抽样检测 ,检查结果如表所示:
抽取球数 n 优等品数 m 优等品频率 50 45 100 92 200 194

剖典例

找规律

【例 1】 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,有关部门对某批

500 470

1000 954

2000 1902

m n

(1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到 小数点后三位)

解: (1)表中乒乓球优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,

0.940,0.954,0.951.
(2)把这批乒乓球的数量看成很大的数,则这批乒乓球的优等品的

频率就可看成是任取一个乒乓球为优等品的概率,约为0.950.

反思归纳

(1)概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 ,频率是随机的,而概率 是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小 , 有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件

发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.

【即时训练】 如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随 机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如表:
所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 选择L2的人数 6 0 12 4 18 16 12 16 12 4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽 量大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选 择各自的路径.

解:(1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人,故用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为:
所用时间(分钟) L 1 的频率 L 2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(3) 设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别 表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A 2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2), ∴甲应选择 L1, P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B 2)>P(B1), ∴乙应选择 L2.

考点二 互斥事件与对立事件的判断
【例2】 从6件正品与3件次品中任取3件,观察正品件数与次品件数,判断下列 每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”; (2)“至少有1件次品”和“全是次品”; (3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”. 解:从6件正品与3件次品中任取3件,共有4种情况:①3件全是正品,②2件正品1 件次品;③1件正品2件次品;④全是次品. (1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”;“恰好有2件次品”即“1件正 品2件次品”,它们是互斥事件但不是对立事件. (2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是 次品”3种情况,它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件. (3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2种情况;“至 多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况,它们既是互斥 事件也是对立事件.

反思归纳

判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生;

两个事件为对立事件的前提是两事件互斥,且必有一个事件发生 .具体 应用时,可把试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果 ,从而判 断所给两事件之间的关系.

【即时训练】 袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球 和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球; ④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中,是对立事件的为( (A)① (B)② (C)③ (D)④ )

解析:结合互斥事件与对立事件的定义进行判断.从3个白球,4个黑球的袋中任 取3个球共有全是白球、2白1黑、1白2黑、全黑四种情况.①中恰有1个白球,

即1白2黑与3球全是白球互斥而不对立;②中至少有1个白球,即1白2黑、2白1
黑、3白与3球全是黑球是对立事件;③至少有1个白球,即1白2黑、2白1黑、3 白与至少有2个白球,即2白1黑、3白既不互斥又不对立;④中至少有1个白球,

即1白2黑、2白1黑、3白与至少有1个黑球,即1黑2白、2黑1白、3黑也既不互
斥又不对立,故选B.

考点三 互斥事件与对立事件的概率
【例 3】 某战士射击一次,问: (1)若中靶的概率为 0.95,则不中靶的概率为多少? (2)若命中 10 环的概率是 0.27,命中 9 环的概率为 0.21,命中 8 环的概 率为 0.24,则至少命中 8 环的概率为多少?不够 9 环的概率为多少? 解:(1)设中靶为事件 A,则不中靶为 A . 则由对立事件的概率公式可得, P( A )=1-P(A)=1-0.95=0.05.

(2)设命中 10 环为事件 B,命中 9 环为事件 C,命中 8 环为事件 D,由题 意知 P(B)=0.27,P(C)=0.21,P(D)=0.24. 记至少命中 8 环为事件 E, 则 P(E)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.27+0.21+0.24=0.72 记至少命中 9 环为事件 F, 则 P(F)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.27+0.21=0.48. 故不够 9 环为 F ,则 P( F )=1-P(F)=1-0.48=0.52.

【即时训练】 经过统计,在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相 应概率如表: 排队人数 概率 0 1 2 3 4 5人及5人以上 0.04 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1

(1)求至多2人排队等候的概率是多少? (2)求至少3人排队等候的概率是多少?

解:设Ai=有i人排队等候,i=0,1,2,3,?,
B=至多2人排队等候,C=至少3人排队等候, (1)P(B)=P(A0)+P(A1)+P(A2)

=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)P(C)=1-P(B)=1-0.56=0.44.

助学微博
1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验

次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率
P(A). 2.“互斥”未必“对立”,“对立”必“互斥”,“互斥”是

“对立”的必要不充分条件.
3.当一个事件的概率直接求解有困难或含有“至多”、“至少” 等词语时,可运用逆向思维,求其对立事件的概率.

思想方法

融思想

促迁移

正难则反思想在互斥事件中的应用
【典例】 玻璃盒子里装有各色球 12 个,其中 5 红、4 黑、 2 白、1 绿, 从中任取 1 球.记事件 A 为 “取出 1 个红球” ,事件 B 为 “取出 1 个黑球” , 事件 C 为“取出 1 个白球”,事件 D 为“取出 1 个绿球”. 已知 P(A)=
5 1 1 ,P(B)= ,P(C)= , 12 3 6

P(D)=

1 .求: 12

(1)“取出 1 球为红球或黑球”的概率; (2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率.

解:法一 应用互斥事件的概率加法公式求概率. (1)“取出 1 球为红球或黑球”的概率为
5 1 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = 12 3 3 . 4

(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
5 1 1 = + + 12 3 6 11 = . 12

法二 应用对立事件的概率公式求概率. (1)“取出 1 球为红球或黑球”的对立事件为“取出 1 球为白球 或绿球”,即 A∪B 的对立事件为 C∪D,故“取出 1 球为红 球或黑球”的概率为

?1 1 ? 3 P(A∪B)=1-P(C∪D)=1- ? ? ? = . ? 6 12 ? 4
(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出 1 球 为绿球”,即 A∪B ∪C 的对立事件为 D,所以“取出 1 球为红球或
1 11 黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪C)=1-P(D)=1- = . 12 12

方法点睛

在数学中,如果从正面思考较为困难时,就考虑从反面去

思考,对于求一个事件发生的概率,如果从正面较困难或较繁琐,就考 虑求其对立事件概率,由互为对立事件的概率和为1而求解.

【即时训练】 某公务员要去外地开会,他乘火车、汽车、飞机去的 概率分别为0.6,0.1,0.3. (1)求他乘火车或飞机去的概率; (2)求他不乘飞机去的概率. 解:记乘火车去为事件A,乘汽车去为事件B,乘飞机去为事件C. (1)乘火车或飞机去的概率为 P1=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.6+0.3=0.9. (2)不乘飞机去的概率P2=1-P(C)=1-0.3=0.7.


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