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2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题八 平面向量 第29讲 平面向量的概念及线性运算讲义_图文

2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题八 平面向量 第29讲 平面向量的概念及线性运算讲义_图文

第29讲 平面向量的概念 及线性运算

1.向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的 平面向量是自由
量;向量的大小叫做 向量
向量的长度(或称模)

零向 长度为 0 的向量;其 量 方向是任意的

记作 0

单位 长度等于 1 个单位的向量
向量
平行 方向相同或相反的非零向量
向量 共线 方向相同或相反的非零向量 向量 又叫做共线向量

非零向量 a 的单 位向量为±|aa|
0 与任一向量平 行或共线

相等 长度相等且方向 两向量只有相等或

向量 相同的向量

不等,不能比较大小

相反 长度相等且方向 0 的相反向量为 0
向量 相反的向量

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则 (或几何意义)

运算律

加法

求两个向 量和的运 三角形 算

平行四边形

(1)交换律:a+b =b+a. (2)结合律:(a+ b)+c=a+(b+c)

减法

求 a 与 b 的相 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差

三角形

a-b=a+(-b)

求实 (1)| λa|=|λ||a|;

(1) λ(μa)=

数 λ 与 (2)当 λ>0 时,λa 的方



(λμ)a; 向量 a 向与 a 的方向相同;



(2)( λ+μ)a= 的积 当 λ<0 时,λa 的方向

λa+μa;(3) λ(a

的运 与 a 的方向相反;当

+b)=λa+λb

算 λ=0 时,λa=0

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ, 使 b=λa.

1.平面向量的概念

【例1】 设a0为单位向量,①若a为平面内的某个

向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与

a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是

()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模 相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平 行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向, 反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是 3.
答案:D

剖析:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向 量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.

(4)非零向量 a 与|aa|的关系:|aa|是与 a 同方向的单位向 量.

2.平面向量的线性运算

【例2】 如图,一直线EF与平行四边形ABCD的

两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于K,

其中,

A→E



2 5

A→B



A→F



1 2

A→D



A→K

=λ

A→C

,则λ的值为

()

A.29 B.27 C.25 D.23

解析:∵A→E=25A→B,A→F=12A→D,∴A→B=52A→E, A→D=2A→F.

由向量加法的平行四边形法则可知, A→C=A→B+A→D,



A→K

=λ

A→C

=λ(

A→B



A→D)



λ???52A→E+2A→F???



5 2λ

A→E



2λA→F,

由 E,F,K 三点共线,可得 λ=29. 答案:A

剖析:平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合 三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边 形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形 法则.

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向 量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值.

3.共线定理的应用

【例 3】 (1)已知向量A→B=a+3b,B→C=5a+3b,C→D

=-3a+3b,则( )

A.A,B,C 三点共线 B.A,B,D 三点共线

C.A,C,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD



1 2

AB,BE=

2 3

BC.若

D→E

=λ1

A→B

+λ2

A→C

(λ1,λ2为实数),

则λ1+λ2的值为________.

解析: (1)∵ B→D=B→C+C→D =2a+6b=2(a+3b)= 2A→B,∴B→D,A→B共线,又有公共点 B,
∴A,B,D 三点共线.故选 B. (2)D→E=D→B+B→E=12A→B+23B→C=12A→B+23(A→C-A→B) =-16A→B+23A→C,

∵D→E=λ1A→B+λ2A→C,∴λ1=-16,λ2=23, 故 λ1+λ2=12. 答案:(1)B (2)12

剖析:(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共 线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量 a,b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2, 使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2= 0 时成立,则向量 a,b 不共线.

1.设 a,b 是两个非零向量,则下列结论不正确的是 ()
A.若存在一个实数 k 满足 a=kb,则 a 与 b 共线 B.若 a=b,则|a|=|b| C.|a+b|>|a-b| D.若 a 与 b 为两个方向相同的向量,则|a+b|=|a| +|b|

解析:由向量的共线定理知,A 项正确;若 a=b 成 立,则两向量方向和大小相等,所以|a|=|b|,B 项正确; 当两向量方向相反时,|a+b|<|a-b|,C 项错误;显然, D 项正确,故选 C.
答案:C

2.若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,

则向量 a+b 与 a-b 的夹角为( )

π π 2π 5π A. 6 B. 3 C. 3 D. 6

解析:结合向量加减法的平行四边形法则、三角形法

则可知 a+b,a-b 分别为以 a,b 为临边的平行四边形的

对角线对应的向量,因为|a+b|=|a-b|=2|a|,所以此平

行四边形是矩形,且对角线与矩形的边的较小的夹角为

π 6 ,结合图形可知向量

a+b



a-b

的夹角为2π3 .

答案:C

3.设 O,A,B,M 为平面上四点,O→M=λO→A+(1 -λ)O→B,λ ∈(0,1),则( )
A.点 M 在线段 AB 上 B.点 B 在线段 AM 上 C.点 A 在线段 BM 上 D.O,A,B,M 四点共线
解析:因为O→M=λO→A+(1-λ)O→B,λ∈(0,1),所 以O→M-O→B=λ(O→A-O→B),B→M=λB→A,所以点 M 在线
段 AB 上,选 A. 答案:A

4.设 e1,e2 不共线,则下列四组向量中不能作为基 底的是( )
A.e1+e2 与 e1-e2 B.3e1-2e2 与 4e2-6e1 C.e1+2e2 与 e2+2e1 D.e2 和 e1+e2 解析:因为 4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以(3e1-2e2) ∥(4e2-6e1),故 3e1-2e2 与 4e2-6e1 不能作为基底,故 选 B. 答案:B

5.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且O→A+O→B+ O→C=0,则△ABC 的内角 A 等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120° 解析:由O→A+O→B+O→C=0,知点 O 为△ABC 的重 心, 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心, ∴△ABC 为等边三角形,A=60°. 答案:B

6.已知 e1,e2 不共线,a=ke1+e2,b=e1+ke2,当 k=________时,a,b 共线.
解析:因为 e1,e2 不共线,a=ke1+e2,b=e1+ke2, 当 a,b 共线时,则有 k=±1.
答案:±1

7.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,

AD=CD=1,AB=3,动点 P 在 BCD 内运动

(含



界),

设 A→P



α

→ AD



→ β AB

,则

α+β

的最大值是

________.

解析:以 A 为原点,AB 为 x 轴建立直角坐标系,

设 P(x,y),则

A→D=(0,1),A→B=(3,0),所以 x=3α,y=β,所以

α=x3,β=y,

所以 α+β=x3+y 由线性规划知识知在点 C(1,1)处 取得最大值43.
答案:43

8 . 设 两 个 向 量 a = (λ , λ - 2cos α ) 和 b =

???m,m2 +sin

α

?
?,其中 λ、m、α 为实数,若 a=2b,则 m
?

的取值范围是________. 解析:因为 a=2b,

??λ=2m,

所以???λ-2cos

α=2???m2 +sin

α??,
?

所以 m=2sin α+2cos α=2 2sin????α+π4 ????∈[-

2 2,2 2].

答案:[-2 2,2 2]

9.在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点, G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设A→B=a,A→C=b,试用 a,b 表示A→D,A→G.
解:A→D=12(A→B+A→C)=12a+12b. A→G=A→B+B→G=A→B+23B→E=A→B+13(B→A+B→C)=23A→B +13(A→C-A→B)=13A→B+13A→C=13a+13b.

10.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果A→B=e1-e2,B→C=3e1+2e2,C→D=-8e1-2e2, 求证:A,C,D 三点共线; (2)如果A→B=e1+e2,B→C=2e1-3e2,C→D=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. (1)证明:∵A→B=e1-e2,B→C=3e1+2e2, C→D=-8e1-2e2,



A→C



A→B



B→C



4e1



e2





1 2

(



8e1



2e2)





1 2

C→D,

∴A→C与C→D共线.

又∵A→C与C→D有公共点 C,

∴A,C,D 三点共线.


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