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2016白城医学高等专科学校单招数学模拟试题及答案

2016白城医学高等专科学校单招数学模拟试题及答案


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2016 白城医学高等专科学校单招数学模拟试题及答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填在答题卷上。

? 1-i ? 1.复数 ? ? ? 1+i ?
(A)0

2008



(B)

2 2

(C)1

(D) 2

若集合 A={x∣ x 错误!未定义书签。2},B={ x ∣ x 2 - 3x = 0 },则集合 A 错误!未定义书签。 B = (A){3} 2.函数 y= (A)y= (B){0} (C){0,2} (D){0,3}

x2+ 2(x 错误!未定义书签。0)的反函数是 x2- 2(x 错误!未定义书签。 2) (B)y=- x2- 2(x

错误!未定义书签。 2) (C)y= x2- 2(x 错误!未定义书签。0) (D)y=-

x2- 2(x 错误!未定义书签。0) 3.sin15°cos165°的值是 (A)
1 1 (B) 4 2

(C)-

1 1 (D)- 4 2

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x2 2 4.椭圆与双曲线 -y =1 有共同的焦点,一条准线的方程是 x= 3 6,则此 5 椭圆的方程为
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ?1 18 12 12 18 12 6 x2 y 2 ? ?1 9 6

(A)

(D)

5.函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图像如左图:则函数 y ? f ( x)?g ( x) 的图像可能是

f(x)

g(x)

6.已知直线 l 错误!未定义书签。平面α,直线 m 错误!未定义书签。平面β, 有如下四个命题: ①若α错误!未定义书签。β,则 l 错误!未定义书签。m; 若α错误!未定义书签。β,则 l 错误!未定义书签。m; ③ 若 l 错误!未定义书签。m,则α错误!未定义书签。β;④ 若 l 错误! 未定义书签。m,则α错误!未定义书签。β.其中正确的两个命题是 (A)①与② 与④ 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19 的值是 (A)55 (B)95 (C)100 (D)190 (B)①与③ (C)②与④ (D)③ ②

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8.定义运算
a1 a2 a3 a4

= a1a4 - a2 a3 . 将函数 f ( x) =

3 sin x 的图像向左平移φ (φ 1 cos x

>0)个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则φ 的最小值为
p 6
p 3

(A)

(B)

5 (C) p 6

2 (D) p 3

9.已知向量 a ? (2,1),b ? ( x,?2)且a ? b与2a ? b 平行,则 x 等于 (A)-6 (B)6 (C)-4 ( 40 (D)4 ) (D) 400

10.设 ? 是随机变量,且 D(10? ? 2) ? 40 ,则 D (? ) 等于 (A) 0.4 (B) 4 (C)

函数 y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是
2

(A)R

(B)[8,+ ?)

(C)(-∞,-3 ]

(D)[-3,+∞ )

11.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小,如 305,414,879 等, 则称这个三位数为“凹数”,那么所有“凹数”的个数是 (A)240 (D)920 12、与抛物线 x2=4y 关于直线 x+y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 (B)285 (C)729

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(A)(1,0) (0, ?
1 ) 16

(B)(

1 ,0) 16

(C)(-1,0)

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题纸 题中的横线上. 13.W 国参加 2008 奥运会有男运动员 56 人,女运动员 42 人.比赛后立即用 分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为 28 的样本进行尿样兴奋剂检 查.女运动员应分别抽取人。 0错误!未定义书签。x错误!未定义书签。2 ? ? 14.在条件 ?0错误!未定义书签。y错误!未定义书签。2下,函数 z=- 2x+ ? ?y-x错误!未定义书签。1 y 的最大值是。
1 2 x
3

15.若 ( x ?

)n 的展开式的第四项是常数项,则为 C 7 =。
n

16.设函数 f ( x) ? cos( ? 3x) ,则 f ?( x) 是 f ( x) 的导数,则 f ?( ) =_______。

π 4

π 4

已知正方体的表面积为 18,则正方体的外接球的体积等于。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

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乌鲁木齐市高级中学的成功同学到甲、乙、丙三所高校参加自主招生考试, 各高校是否录取他相互独立。成功同学被甲、乙、丙三所高校录取的概率分别 2 3 1 为 , , 。(假设允许成功同学可以被多所高校同时录取) 3 4 2 (Ⅰ)求成功同学没有被录取的概率; (Ⅱ)求录取成功同学的高校数ξ的分布列和数学期望。 成功同学被几个高校同时录取的可能性最大?

18.(本小题满分 12 分) 在锐角错误!未定义书签。ABC 中,设 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, ? S 为错误!未定义书签。ABC 的面积,且满足条件: 2sinB [ 1+cos( -B)] 2 + cos2B=1+ 3. (Ⅰ)求 错误!未定义书签。 B 的度数; (Ⅱ)若 a=4,S=5 3,求 c 和 b 的值。

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19.(本小题满分 12 分) 如图,P—ABCD 是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,其中 AB=2, PA= 6 (Ⅰ)求证:PA⊥B1D1; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角θ 的大小; (Ⅲ)求 B1 到平面 PAD 的距离。
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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20.(本小题满分 12 分) 如图,设 F1 、 F2 分别为椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点.设椭 a2 b2

圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1、F2 两点距离之和等于 4。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率;

3 2

???? ???? ? (Ⅱ)若 P(x,y)是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值。

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y A

F1
O

F2

A

x

21.(本小题满分 12 分) 两个二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 与 g ( x) ? ? x2 ? 2x ? d 的图像有唯一的公共点
P(1, ?2) ,

(Ⅰ)求 b, c, d 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? [ f ( x ) ? m]? g? ( x ),若 F ( x) 在 R 上是单调函数,求 m 的范围。 并说明函数是 R 上的单调递增函数还是单调递减函数。 设 F ( x) ? [ f ( x) ? 2]?g ?( x) ,求 F ( x) 在 x∈[-1,2]上的最大值和最小值。

22.(本小题满分 12 分)

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已知 f ( x) ?

ax2 ? x 1 ( a , b 为常数 ) 为奇函数 , 且过点 ( 1 , ). 3 2x 2 ? b

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)定义正数数列 ?an ? , a1 ?
?1 ? 列 ? 2 ? 2? 是等比数列; ? an ?

1 2 , an ?1 ? 2an ?f ( an ) 2

(n ? N ? ) ,证明:数

(Ⅲ)(理)令 bn ? (文) 令 bn ?

1 ? 2, Sn为?bn ?的前n项和, 求 lim Sn 。 2 n ?? an
1 31 ? 2, S n为?bn ? 的前n项和, 求使S n ? 成立的最小 n 值。 2 8 an
2 0 0 7 0 2 1 2

参考答案
一、选择题 1.C(文 B) 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10. A(文 C) 11.B 12.C 二、填空题 13. 12 三、解答题 17. 解:(Ⅰ)设成功同学没有被录取的概率为 P0,则 P0= . (Ⅱ) 设成功同学恰被一个高校录取的概率为 P1 P1= × × + × × + × × = 14. 2 15. 21 16. - 3

9π 2

1 1 1 1 . = …4 分 3 4 2 24

2 1 1 3 4 2

1 3 1 3 4 2

1 1 1 3 4 2

6 ……6 分 24

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设成功同学恰被两个高校录取的概率为 P2 P2= ×

1 3

3 1 2 1 1 2 3 1 11 × + × × + × × = ……8 分 4 2 3 4 2 3 4 2 24
2 3 1 3 4 2 6 ……9 分 24

设成功同学恰被三个高校录取的概率为 P3 P3= × × = ∴成功同学恰被两个高校录取的可能性最大。……10 分 (Ⅱ)ξ 可能取的值为 0 , 1 , 2 , 3 错误!未定义书签。 P( ξ = 0) =

1 6 , P( ξ = 1) = , P( ξ = 3) = 24 24

6 , 24
P( ξ = 2) = 1 -

1 6 6 11 - - = ,……7 分 24 24 24 24

错误!未定义书签。 ξ 的分布列为:

ξ p

0

1

2

3

1 24

6 24

11 24

6 24

………8 分 E ξ =1 ×

6 11 6 46 23 ? +2× +3× = 24 24 24 24 13

………10 分

18.解:(Ⅰ)由已知得:2sinB·(1+sinB)+ 1 - 2sin2B=1+ 3,………2 分 3 ,………3 分 2

化简整理,得:2sinB= 3,错误!未定义书签。sinB= ∵三角形 ABC 是锐角三角形 ∴ B= 60°………5 分

1 (Ⅱ)∵ a= 4,S= 5 3,∴S= acsinB= 5 3,∴ c= 5;………8 分 2

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由 b2= 42+ 52- 2·4·5·cos60°= 21,得 b= 21;………12 分

19. 解:以 A1 B1 为 x 轴, A1 D1 为 y 轴, A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系 (其他建系亦 可)…2 分 (Ⅰ)设 E 是 BD 的中点,? P—ABCD 是正四棱锥,∴ PE ? ABCD 又 AB ? 2, PA ? 6 , ∴ PE ? 2 ∴ B1D1 ? (?2,2,0), AP ? (1,1,2) ∴ P(1,1,4) ………4 分 即 PA ? B1D1 …6 分

?????

??? ?

∴ B1D1 ? AP ? 0

????? ??? ?

(Ⅱ)设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x, y, z) , ? AD ? (0,2,0), AP ? (1,1,2) ∴ y ? 0, x ? 2 z ? 0 取 z ? 1 得 m ? (?2,0,1) , ………8 分

??

??? ?

??? ?

??

? 又平面 BDD1B1 的法向量是 n ? (1,1,0)
?? ? ?? ? m?n 10 ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? ? 5 m n
∴ ? ? arccos

z

10 …10 分 5
y

???? (Ⅲ)? B1 A ? (?2,0,2)
???? ?? B1 A ? m 6 ∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? 5 ………12 分 ?? ? 5 m
(其他解法酌情给分)

x

20. (Ⅰ) 2a ? 4 ,

1 9 ? 2 ? 1 . a 2 ? 4 , b2 ? 3 .…分 2 a 4b
因为 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 .所以离心率 e ?

椭圆的方程为 分

x2 y2 ? ? 1 ,………4 分 4 3

1 .………6 2

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(Ⅱ)由(Ⅰ)易知 F1 ? (?1,0), F2 (1,0) …………8 分

∵P(x,y),则 PF PF2 ? (?1? x, ? y)? (1? x, ? y) ? x2 ? y 2 ?1 (*) 1? = x2 ? 3 ?

???? ???? ?

3 2 1 x ?1 ? x2 ? 2 4 4

………………10 分

? x ? [?2, 2] ,
∴ 当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最小值 2; 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最大值 3 ……12 分

(Ⅱ)法二:还可以从(*)处用三角代换法求解 ∵
x2 y2 ? ? 1 ∴x=2sinθ ,y= 3 cosθ 4 3

2 2 2 2 2 PF 1 ? PF 2 ? (?1 ? x,? y) ? (1 ? x,? y) ? x ? y ? 1 =4sin θ +3cos θ -1=sin θ +2………

10 分 ∴sin2θ =0,即 x=0 时, PF 1 ? PF 2 有最小值 2 sin2θ =1,即 x ? ?2 时, PF 1 ? PF 2 有最大值 3。………………12 分

21.解:(Ⅰ)由已知得 ?

? 1 ? b ? c ? ?2 ?b ? c ? ?3 化简得 ? ……………2 分 ??1 ? 2 ? d ? ?2 ? d ? ?3
…3 分 ……5 分 …………6 分

且 x2 ? bx ? c ? ? x 2 ? 2 x ? d 即 2 x2 ? (b ? 2) x ? c ? d ? 0 有唯一解 所以 ? ? (b ? 2)2 ? 8(c ? d ) ? 0 即

b2 ? 4b ? 8c ? 20 ? 0

消去 c 得 b2 ? 4b ? 4 ? 0 ,解得 b ? ?2, c ? ?1, d ? ?3 (Ⅱ) f ( x) ? x2 ? 2 x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 ∴ g ?( x) ? ?2 x ? 2
F ( x) ? ( x2 ? 2x ?1 ? m) ? (?2x ? 2) ? ?2x3 ? 6x2 ? (2 ? 2m) x ? 2m ? 2

……7 分

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F ?( x) ? ?6x2 ? 12x ? 2 ? 2m

………8 分

若 F ( x) 在 R 上为单调函数,则 F ?( x) 在 R 上恒有 F ?( x) ? 0 或 F ?( x) ? 0 成立。……9 分 因为 F ?( x) 的图象是开口向下的 抛物线,所以 F ?( x) ? 0 时 F ( x) 在 R 上为减函数,10 分 所以 ? ? 122 ? 24(?2 ? 2m) ? 0 , 解得 m ? 2 即 m ? 2 时, F ( x) 在
F ?( x) F ( x)

x

- 1

(-1, 1)

1 (1, 2) 0

2

16

递减

0 递增

R 上为减函数。 12 分

- 2

或 m≥ ? 3x2 ? 4x ? 1 恒成立, m≥(? 3x2 ? 4x ?1) =2 即 m ? 2 时, F ( x) 在 R 上为减 max 函数。 12 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) ? x2 ? 2 x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 ∴ g ?( x) ? ?2 x ? 2 ∴ F ( x) ? ( x2 ? 2x ? 1) ? (?2 x ? 2) ? ?2 x3 ? 6 x 2 ? 6 x ? 2 令 F ?( x) ? ?6x2 ? 12x ? 3 =0,则 x=1 列表如右 ∴ F ( x) 的最大值为 16,最小值为 0。 22. 解:(Ⅰ)? f ( x) ? 则 f (?1) ? ? f (1) ? ∴ F ?( x) ? ?6x2 ? 12x ? 6

ax2 ? x 为奇函数 2x 2 ? b
∴ a ? 0 …2 分

a ?1 a ?1 ?? 2?b 2?b x 2x ? b
2

∴ f ( x) ?

x 2x ? b
2

又 f ( x)过点(1, ) ? f (1) ?

1 3

?

1 1 x ? ? b ? 1 ? f ( x) ? 2 ………4 分 2?b 3 2x ? 1

(Ⅱ)? a

2 n ?1

2 an 2an ? 2an ?f (n) ? 2an ? 2 ? 2 2an ? 1 2an ?1

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1 ?2 2 an 1 1 1 1 1 1 ? (常数) ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 2) ? ?1 1 2 an a n?1 2a n an?1 ?2 2 2 an
∴数列 ?

?1 ? 1 ? 2? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列 . ………8 分 2 2 ? an ?

(Ⅲ)? bn ?

1 ? 2, 2 an

a1 ?

1 1 ∴ b1=2, 公比 q= 2 2

1 ? ? 2 ?1 ? ( )n ? 1 ? 2 ? ? ? Sn ? ? ? 4 ?1 ? ( )n ? ………10 分 1 2 ? ? 1? 2


1 ? ? lim S n = lim 4 ?1 ? ( ) n ? =4 n ?? n ?? 2 ? ?

………12 分

? bn ?

1 1 1 ∴b1=2,公比 q= ? 2 n a1 ? 2 2 2 an

1 ? ? 2 ?1 ? ( )n ? 1 ? 2 ? ? ? Sn ? ? ? 4 ?1 ? ( )n ? ………10 分 1 2 ? ? 1? 2
1 1 ? ( )n ? 2 32 ? n ? 5 ∴满足 S n ?

又 Sn ?

31 ? 1 ? 31 即4?1 ? ( ) n ? ? 8 2 ? 8 ?

31 的最小 n为6. ………12 分 8


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