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2015-2016学年高中数学分类汇编:3函数与导数(含答案)概要.

2015-2016学年高中数学分类汇编:3函数与导数(含答案)概要.

2015-2016 学年下学期高中数学数分类大汇编 第 3 部分 函数与导数
一、选择题: 1.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P 0 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为( A ) A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,-4) 2 2.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 ( D ) A.a=-1,b=1 B.a=-1,b=-1 C.a=1,b=-1 D.a=1,b=1 3. 已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1、 x2,不等式

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为(
A.(1,+∞) 4.已知函数 f ( x) ? ? ( B ) A.1 5.如下四个函数: B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1)

C

).

?x ? 3
2

( x ? 1)

?? x ? 2 x ? 3 ( x ? 1)
B.2

, g ( x) ? 3x ,这两个函数图象的交点个数为

C .3

D.4

① f ( x) ? sin x ② f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ③ f ( x) ? ? x3 ? 4x ? 2 ④ f ( x) ? log 1 x
2

性质 A:存在不相等的实数 x1 、 x2 ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2

性质 B:对任意 0 ? x2 ? x3 ? 1, 总有f ( x1 ) ? f ( x2 ) 以上四个函数中同时满足性质 A 和性质 B 的函数个数为( B ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 6. 已知 t ? 0, 若 (2 x ? 2) dx ? 3, 则t =( C
0

?

1



A.3 C.1 7.已知 f ( x) ? ? ( B ) A.1

B.2 D.3 或—1

? x ? 3,
2

( x ? 1)

?? x ? 2 x ? 3,( x ? 1)
B.2
x

, 则函数g ( x) ? f ( x) ? e x 的零点个数为

C .3

D.4

8 . 已 知 函 数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 是 定 义 在 R 上 的 单 调 递 减 函 数 , 则 函 数

g ( x) ? log4 ( x ? 1) 的图象大致是
( D )

?1, x ? 0 ? 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 , 则 使 方程 x ? f ( x) ? m 有 解 的 实 数 m 的 取 值 范围是 , x ? 0 ? ?x
( D ) B. (??, ?2] D. (??,1] ? [2, ??)
1

A. (1,2) C. (??,1) ? (2, ??) 10.若 a ?

?

1

0

xdx, b ?? 1 ? xdx , c ? ? 1 ? x 2 dx ,则 a , b , c 的大小关系是( A )
0 0

1

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. c ? b ? a

11.若 f ( x) ? ? 2 ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A ) A、 sin ? 12.函数 y ? 3
log3 x

B、 cos ? 的图象大致是

C、 2? ? sin ? ( A )

D、

2? ? s i ? n

2 13.当 x ∈[0,2]时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值

范围是( D ) A、[ ?

1 ,?? ) 2

B、[ 0,??)

C、[ 1,??)

D、[

2 ,?? ) 3

? 1 ,x ? 3 ? 14. 设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?| x ? 3 | , 若关于x的方程f 2 ( x) ? af ( x) ? b ? 0 有 ?1, x?3 ?
5 个不同实数解,则实数 a 的取值范围是 ( D ) A. (0,1) B. (??,?1) C. (1,??) D. (??,?2) ? (?2,?1)

2 15、若函数 f ( x) ? ax ? b 的零点为 2,那么函数 g ( x) ? bx ? ax 的零点是( C )

A.0,2 16、函数 f ( x) ?

B.0,

1 2

C.0, ?

1 2

D. 2 ,

1 2

1 的图像大致是( C ) 1? x

17. 已知 ? , ? 是三次函数 f ( x) ?

b?2 的取值范围是 a ?1 1 1 A ( ,1) B ( ,1) 4 2


1 3 1 2 x ? ax ? 2bx 的两个极值点, 且 ? ? (0,1), ? ? (1,2) , 3 2
( A ) C

1 1 (? , ) 2 4

D

1 1 (? , ) 2 2

18.定义在 (??,??) 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [?1,0] 上是增函 数,下面五个关于 f ( x) 的命题中:① f ( x) 是周期函数;② f ( x) 图像关于 x ? 1 对称; ③ f ( x) 在 [0,1] 上是增函数;④ f ( x) 在 [1,2] 上为减函数;⑤ f (2) ? f (0) ,正确命题的 个数是 A. 1 个 二、填空题:
3

( C ) B. 2 个
2

C. 3 个

D. 4 个

19. 函数 f ( x) ? x ? ax ? x在点(1, f (1)) 处的切线斜率为 6,则实数 a= 20.给出下列命题: ① y ? x 是幂函数
2

1



② 函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 的零点有 2 个 ③ (x ?

1 ? 2)5 展开式的项数是 6 项 x

④ 函数 y ? sin x( x ?? ?? , ? ?) 图象与 x 轴围成的图形的面积是 S ? ⑤ 若? ~ N( 1 , ?
2

? ? sin xdx
?

?

) ,且 P(0 ? ? ? 1) ? 0.3 ,则 P(? ? 2) ? 0.2
(写出所有正确命题的编号) 。

其中真命题的序号是 ① ⑤

21.设 0 ? a ? 1 , m ? loga (a2 ? 1) , n ? loga (a ? 1) , p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大小 关系是( D ) A. n ? m ? p B. m ? p ? n C. m ? n ? p D. p ? m ? n

22、已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ( x ? 0) 1 , 则f [ f ( )] ? 2 ?log2 x( x ? 0)

1 3
②④

23、给出下列四个命题,其中正确命题的序号是 ①函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像可由函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移

? 单位得到; 6

0 ② ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 A ? 60 , a ? 7 ,则 b ? c 不可能 等于 ...

15; ③若函数 f ( x ) 的导数为 f '( x) , f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值的充要条件是 f ?( x0 ) ? 0 ; ④在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象只有一个公共点; 24.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,若方程恰有 8 个不同的实 根,则实数 k 的取值范围是 .

? 1? ? 0, ? ? 4?
三、解答题: 25. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、 Q 两点间的最短距离; (Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方,求实数 a 的取值范围. 25.解:(Ⅰ)F(x)= ex+sinx-ax, F '( x) ? e ? cos x ? a .
x

因为 x=0 是 F(x)的极值点,所以 F '(0) ? 1 ? 1 ? a ? 0, a ? 2 .………2 分 又当 a=2 时,若 x<0, F '( x) ? e ? cos x ? a ? 0 ;若 x>0, F '( x) ? e ? cos x ? a ? 0 .
x x

∴x=0 是 F(x)的极小值点, ∴a=2 符合题意. ………4 分 (Ⅱ) ∵a=1, 且 PQ//x 轴,由 f(x1)=g(x2)得: x2 ? e 1 ? sin x1 ,所以 x2 ? x1 ? e 1 ? sin x1 ? x1 .
x x

令 h( x) ? e ? sin x ? x, h '( x) ? e ? cos x ?1 ? 0 当 x>0 时恒成立.
x x

∴x∈[0,+∞ ) 时,h(x)的最小值为 h(0)=1.∴|PQ|min=1. ………9 分 (Ⅲ)令 ? ( x) ? F ( x) ? F (? x) ? e ? e
x ?x

? 2sin x ? 2ax.

则 ? '( x) ? e ? e
x x

?x

? 2cos x ? 2a. S ( x) ? ? ''( x) ? ex ? e? x ? 2sin x .
?x

因为 S '( x) ? e ? e

? 2cos x ? 0 当 x≥0 时恒成立, ………11 分

所以函数 S(x)在 [0, ??) 上单调递增, ………12 分 ∴S(x)≥S(0)=0 当 x∈[0,+∞ ) 时恒成立; 因此函数 ? '( x ) 在 [0, ??) 上单调递增, ? '( x) ? ? '(0) ? 4 ? 2a 当 x∈[0,+∞ ) 时恒成立. 当 a≤2 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在[0,+∞ ) 单调递增,即 ? ( x) ? ? (0) ? 0 . 故 a≤2 时 F(x)≥F(-x)恒成立. ………13 分

当a ? 2时,? '( x) ? 0, 又 ? '( x)在?0, ?? ? 单调递增, ?总存在x0 ? (0, ??), 使得在区间?0,x0 ? 上? '( x) ? 0.导致? ( x)在?0, x0 ? 递减,而? (0) ? 0, ?当x ? (0, x0 )时,? ( x) ? 0,这与F ( x) ? F (? x) ? 0对x ? ?0, ?? ? 恒成立不符, ? a ? 2不合题意.综上a取值范围是 ? -?,2?.???14分
26.(本小题满分 14 分) 已知对任意的实数 m,直线 x ? y ? m ? 0 都不与曲线 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) 相切. (I)求实数 a 的取值范围; (II)当 x ? [?1,1] 时,函数 y=f(x)的图象上是否存在一点 P,使得点 P 到 x 轴的距离不小 于

1 .试证明你的结论. 4
…………2 分

26.解: (I) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ?[?3a,??) , ∵对任意 m ? R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不与 y ? f ( x) 相切, ∴ ? 1?[?3a,?? ) , ? 1 ? ?3a ,实数 a 的取值范围是 a ?

1 ; 3

…………4 分

(II)存在,证明方法 1:问题等价于当 x ? [?1,1] 时, | f ( x) |max ? 设 g ( x) ?| f ( x) | ,则 g ( x) 在 x ? [?1,1] 上是偶函数, 故只要证明当 x ? [0,1] 时, | f ( x) |max ?

1 ,…………6 分 4

①当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增,且 f (0) ? 0 , g ( x) ? f ( x)

1 , 4

g ( x)max ? f (1) ? 1 ? 3a ? 1 ? 1 3

1 ; 4

…………8 分

②当 0 ? a ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,列表:

x
f ?( x )
f ( x)

(??,? a )
+

? a
0 极大 2a a

(? a , a )
-

a
0 极 小

( a ,??)
+

?

?

? 2a a

?

f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
注意到 f (0) ? f ( 3a ) ? 0 ,且 a ? 3a ? 1 ,

…………10 分

∴ x ? (0, 3a ) 时, g ( x) ? ? f ( x) , x ? ( 3a ,1) 时, g ( x) ? f ( x) , ∴ g ( x)max ? max{ f (1),? f ( a )} ,…………12 分

1 1 1 及 0 ? a ? ,解得 0 ? a ? ,此时 ? f ( a ) ? f (1) 成立. 4 3 4 1 ∴ g ( x) max ? f (1) ? 1 ? 3a ? . 4 1 1 1 1 由 ? f ( a ) ? 2a a ? 及 0 ? a ? ,解得 ? a ? ,此时 ? f ( a ) ? f (1) 成立. 4 3 4 3 1 ∴ g ( x) max ? ? f ( a ) ? 2a a ? . 4
由 f (1) ? 1 ? 3a ? ∴在 x ? [?1,1] 上至少存在一个 x 0 ,使得 | f ( x0 ) |? (II)存在,证明方法 2:反证法 假设在 x ? [?1,1] 上不存在 x 0 ,使得 | f ( x0 ) |?

1 成立. 4

…………14 分

设 g ( x) ?| f ( x) | ,则 g ( x) 在 x ? [?1,1] 上是偶函数, ∴ x ? [0,1] 时, | f ( x) | max ?

1 1 成立,即 ? x ? [?1,1] , | f ( x0 ) |? , 4 4

1 , …………6 分 4 ①当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增,且 f (0) ? 0 , g ( x) ? f ( x) 1 1 …………8 分 g ( x) max ? f (1) ? 1 ? 3a ? , a ? 与 a ? 0 矛盾; 4 4 1 ②当 0 ? a ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,列表: 3
x
f ?( x )
f ( x)

(??,? a )
+

? a
0 极大 2a a

(? a , a )
-

a
0 极
? 2a a

( a ,??)
+ 小 …………10 分

?

?

?

f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
注意到 f (0) ? f ( 3a ) ? 0 ,且 a ? 3a ? 1 ,

∴ x ? (0, 3a ) 时, g ( x) ? ? f ( x) , x ? ( 3a ,1) 时, g ( x) ? f ( x) , ∴ g ( x)max ? max{ f (1),? f ( a )} ,……………12 分 注意到 0 ? a ?

1 ,由: 3
1 4 矛盾; 1 4

1 ?? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a ? ?? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a ? 0?a? a? ? ? ? ? ? 4 矛盾; ? , , ? ? ? ? 1 1 ? f (1) ? 1 ? 3a ? ?? f ( a ) ? 2 a a ? ?a ? 1 ?a ? 4 4 ? ? ? ? 4 ? ? 1 1 ∴ ? x ? [?1,1] , | f ( x0 ) |? 与 a ? 矛盾, 3 4 ∴假设不成立,原命题成立. …………14 分 27.(本题满分 14 分)
有 f ( x) ? ln g ( x) ? (1)求 b 的值;

x 已知 g ( x) ? ln(e ? b) (b 为常数)是实数集 R 上的奇函数,当 g ( x) ? 0 时,

a . x

3 (2)若函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上的最小值是 , 求 a 的值. 2 27.(本题满分 12 分)
解 : ⑴ ∵ g (? x) ? ? g ( x) ∴ ln(e ? x ? b) ? ln(e x ? b) ? 0 ? (e ? x ? b)(e x ? b) ? 1

? (e ? x ? e x )b ? b 2 ? 0 ? (e ? x ? e x ? b)b ? 0 ? b ? 0 .
⑵ 由(1)知 f ( x) ? ln x ?

a 1 a x?a x ? 0 ,则 f '( x) ? ? 2 ? 2 x x x x 在 ?1 , e? 上,讨论如下: ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,其最小值为 f (1) ? a ? 1 , 3 相矛盾; 2 ②当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ?1 , e ? 单调递增,其最小值为 f (1) ? 1 ,同样与最小值是
这与函数在 ?1 , e? 上的最小值是

3 相矛盾; 2 ③当 1 ? a ? e 时,函数 f ( x) 在 ?1 , a ? 上有 f ? ? x ? ? 0 ,单调递减,
由 ln a ? 1 ?

在 ? a , e? 上有 f '?( x) ? 0 ,单调递增,所以函数 f ( x) 满足最小值为 f (a) ? ln a ? 1

3 ,得 a ? e . 2 ④当 a ? e 时,函数 f ? x ? 在 ?1 , e ? 上有 f ? ? x ? ? 0 ,单调递减,其最小值为 f (e) ? 2 ,
还与最小值是

3 相矛盾; 2 a ? 2, e

⑤当 a ? e 时,显然函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上单调递减,其最小值为 f (e) ? 1 ? 仍与最小值是

3 相矛盾; 2

综上所述, a 的值为 e . 28. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x , g ( x) ? ? x2 ? 14 x . (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,求实数 a 的取 值 范围; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值. 28. (Ⅰ)解: f '( x) ? 2 x ?

8 2( x ? 2)( x ? 2) ? x x

(x ? 0 )

当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 , 要使 f ( x ) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 2

g ( x) ? ? x2 ? 14x ? ?( x ? 7)2 ? 49

如使 g ( x) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 1 ? 7 ,即 a ? 6 由上得出,当 2 ? a ? 6 时 f ( x ) , g ( x) 在 (a, a ? 1) 上均为增函数 ……………6 分 (Ⅱ)方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解 ? ? 设 h( x) ? 2x2 ? 8ln x ?14x

?y ? m
2 ? y ? 2 x ? 8ln x ? 14 x

有唯一解

h '( x) ? 4 x ?

8 2 ? 14 ? (2 x ? 1)( x ? 4) x x

(x ? 0)

h '( x), h( x) 随 x 变化如下表

x
h '( x)
h( x )

(0, 4)

4

(4, ??)

?

0
极小值 ?24 ? 16 ln 2

?

由于在 (0, ??) 上, h( x) 只有一个极小值,? h( x) 的最小值为 ?24 ? 16 ln 2 , 当 m ? ?24 ? 16 ln 2 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解. ……………12 分

29. (13 分)如图,求由两条曲线 y=-x2,4y=-x2 及直线 y=-1 所围成图形的面积. 解:由对称性,所求图形面积为位于 y 轴在侧图形面积 的 2 倍…2 分由 y ? ? x 得 C(1,-1)同理得 D(2,-1)……5 分
2

?y ? ?1

∴所求图形的面积 S ? 2{ [? x ? (? x 2 )]dx ? [? x ? (?1)]dx} ……8 分 ? ?
1 2 0

2

2

4

1

4

2 2 x 2 3x 2 ? 2( ? dx ? ? dx ? ? dx) 0 4 1 4 1 1

y O x A
4y=-x2

x3 ? 2( 4

1 0

x3 ? 12

2 1

4 ? x | ) ? ……13 分 3
2 1

B -1C

D
y=-x2

30、设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? ln( 1 ? x)
2

2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? a 在区间 [0,2] 上恰好有两个相异的实根,求实
2

1 e

数 a 的取值范围。 解析:依题意知 x ? ?1 ,又因为 f ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x) 所以 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?
2 2

2 1? x

(1)令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ? 分)

? ?2 ? x ? ?1 或 x>0,所以 f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) ;…(3

2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x

2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x 。……(5 ? ?1 ? x ? 0或x ? ?2, 所以f ( x) 的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2)
令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ? 分) (2)令 f ?( x) ? 0 ? (1 ? x) 2 ? 1 ? x ? 0或x ? ?2 (舍) ,由(1)知,f(x)连续,

1 1 ? f ( ? 1) ? 2 ? 2, f (0) ? 1, f (e ? 1) ? e 2 ? 2, e e 1 所以, 当x ? [ ? 1, e ? 1]时, f ( x)的最大值为e 2 ? 2. e
因此可得:f(x)<m 恒成立时,m>e -2 (9 分) 2 (3)原题可转化为:方程 a=(1+x)-ln(1+x) 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。
2

2 , 令g ?( x) ? 0, 解得 : x ? 1, 1? x 当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0,? g ( x)在(0,1)单调递减, 令g ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x) 2 , 则g ?( x) ? 1 ? 当x ? (1,2)时, g ?( x) ? 0,? g ( x)在(1,2)单调递增 . ? g ( x)在x ? 0和x ? 2点处连续, 又 ? g (0) ? 1, g (1) ? 2 ? ln 4, g (2) ? 3 ? ln 9,
且 2-ln4<3-ln9<1,∴ g ( x) 的最大值是 1, g ( x) 的最小值是 2-ln4。 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是: 2-ln4<a≤3-ln9 ………………… (14 分) 31、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? (1)求函数 g ( x) ?

??? (12分)

ln x x

ln x 的单调递增区间; x

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 上恒成立,求 k 的取值范围;

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n ln x 31、解: (1)∵ g ( x) ? ( x ? 0) x 1 ? ln x ∴ g ?( x ) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e x2 ln x 故函数 g ( x) ? 的单调递增区间为 (0, e) ………………………………………………3 分 x
(3)求证:

(2)由 kx ?

ln x ln x ln x ,得 k ? 2 , 令h( x) ? 2 x x x
…………………………………………5 分

则问题转化为 k 大于等于 h( x) 的最大值 又 h ?( x) ?

1 ? 2 ln x …………………………………………………………………………6 分 x3

令 h?( x) ? 0时,x ?

e

当 x 在区间(0,+ ? )内变化时, h ?( x ) 、 h( x) 变化情况如下表:

x
h ?( x)
h( x )
由表知当 x ? 因此 k ?

(0, e ) + ↗

e
0

( e ,+ ? ) — ↘

1 2e

e 时,函数 h( x) 有最大值,且最大值为

1 ……………………………..8 分 2e

1 ………………………………………………………………………………….9 分 2e

32. (本题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? ax ln x 图像上点 (e, f (e)) 处的切线与直线

y ? 2x
平行(其中 e ? 2.71828 ? ) , g ( x) ? x ? tx ? 2.
2

(I)求函数 f ( x) 的解析式;

(II)求函数 f ( x)在[n, n ? 2](n ? 0) 上的最小值; (III)对一切 x ? ? 0, e? ,??3 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 32. 解: (I)由点 (e, f (e)) 处的切线方程与直线 2 x ? y ? 0 平行,得该切线斜率为 2,即

f ' (e) ? 2.
又? f ' ( x) ? a(ln x ? 1), 令a(ln e ? 1) ? 2, a ? 1, 所以 f ( x) ? x ln x. …………4 分 (II)由(I)知 f ' ( x) ? ln x ? 1 ,显然 f ' ( x) ? 0时x ? e ?1 当 x ? (0, )时f ' ( x ) ? 0, 所以函数 f ( x)在(0, ) 上单调递减.当 x ? ( ,?? ) 时 f ' ( x) ? 0 ,所以函数

1 e

1 e

1 e

1 f ( x)在( ,?? ) 上单调递增, e 1 1 1 ① ? (n, n ? 2]时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e 1 ② ? n ? n ? 2 时,函数 f ( x)在[n, n ? 2] 上单调递增, e
因此 f ( x)min ? f (n) ? n ln n; …………7 分

所以 f ( x) min

1 ? 1 ? , (0 ? n ? ), ? ? e e ?? …………10 分 1 ?n ln n, (n ? ). ? e ?


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