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人教A版高中数学必修五课件第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式精选ppt课件_图文

人教A版高中数学必修五课件第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式精选ppt课件_图文

2.4 等比数列
第 1 课时 等比数列的概念 与通项公式

[学习目标] 1.通过实例,理解等比数列的概念并会 简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握 等比数列的通项公式了解其推导过程.

1.等比数列的概念 (1)定义:一个数列从__第__2_项___起,每一项与它的前 一项的比等于__同__一__常___数__. (2)公比:这个常数叫做等比数列的公比. (3)公比的表示:__q_.

2.等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成 等___比__数__列__,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,其满足的关 系式为_a__b_=__q_2_.
3.等比数列的通项公式
首 项 是 a1 , 公 比 是 q(q≠0) 的 通 项 公 式 为 an = _a__1·_q_n_-_1_ (a1≠0,q≠0).

[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常 数,则该数列为等比数列.( ) (2) 等 比 数 列 的 首 项 不 能 为 零 , 但 公 比 可 以 为 零.( ) (3)常数列一定为等比数列.( ) (4)任何两个数都有等比中项.( )

解析:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为 同一个常数时,该数列才是等比数列.(2)错误,当公比 为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零.(3) 错误,当常数列不为零时,该数列才是等比数列.(4)错 误,当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

2.若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这

个数列的项数为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

解析:设项数为 n,则98·???23???n-1=13,

所以 n=4.

答案:B

3.若数列{an}是等比数列,则下列数列中一定成等 比数列的有( )
①{a2n};②{a2n};③{lg an};④???a1n???;⑤{|an|};⑥{can}(c 为常数且不等于 0);⑦{an±k}(k≠0).
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 解析:①、②、④、⑤、⑥均为等比数列,共 5 个.
答案:B

4. 等比数列 1,13,…的通项公式为______________. 1
解析:等比数列的首项为 1,公比为31=13,所以其通
项公式为 an=???13???n-1. 答案:???13???n-1

5.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则 a7= ________.
解析:a4=a1q3=a1(-3)3=27,故 a1=-1,a7=a1q6 =-1×(-3)6=-729.
答案:-729

类型 1 等比数列的通项公式
[典例 1] 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求 an; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求 n.

??a4=a1q3, 解:(1)法一:因为?
??a7=a1q6, ??a1q3=2, 所以? ??a1q6=8.
两式相除得 q3=4,从而 q=3 4,
而 a1q3=2,于是 a1=q23=12. 2n-5
所以 an=a1qn-1=2 3 .

法二:因为 a7=a4q3,所以 q3=4.

所以

an=a4qn-4=2·(3

2n-5 4)n-4=2 3 .

??a2+a5=a1q+a1q4=18, (2)法一:因为?
??a3+a6=a1q2+a1q5=9, 1
所以两式相除得 q=2,从而 a1=32.

又 an=1,所以 32???12???n-1=1, 即 26-n=20,所以 n=6. 法二:因为 a3+a6=q(a2+a5),所以 q=12. 由 a1q+a1q4=18,知 a1=32. 由 an=a1qn-1=1,知 n=6.

归纳升华 (1)在已知 a1 和 q 的前提下,利用公式 an=a1qn-1 可 求出等比数列中任意一项. (2)在通项公式中知道 a1、q、n、an 四个量中的任意 三个,可求得另一个量.

[变式训练] 求下列各等比数列的通项公式: (1)a1=3,a3=27; (2)a1=1,an+1=2an(n≥1). 解:(1)因为 a3=a1q2,所以 q2=9,
所以 q=±3. 所以 an=a1qn-1=3×3n-1=3n.

或 an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n. 所以 an=3n 或(-1)n-13n. (2)由题意知aan+n 1=2(n≥1). 所以数列{an}是公比为 2 的等比数列,且首项为 a1= 1. 所以通项公式为 an=a1qn-1=1·2n-1=2n-1.

类型 2 构造等比数列求数列的通项公式
[典例 2] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn} 中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且 an+Sn=n.
(1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明:因为 an+Sn=n,① 所以 an+1+Sn+1=n+1.②
②—①得 an+1-an+an+1=1,

所以 2an+1=an+1,所以 2(an+1-1)=an-1, 所以aan+n-1-11=12.由 a1+a1=1 知, a1=12,所以 a1-1=12-1=-12≠0, 所以{an-1}是等比数列. 又 cn=an-1,

所以首项 c1=-12,公比 q=12,

所以{cn}是以-12为首项,12为公比的等比数列.

(2)解:由(1)可知 cn=???-12???·???12???n-1=-???12???n,

所以 an=cn+1=1-???12???n,

所以当

n≥2





bn



an



an



1



1



?1? ??2??

n



????1-???12???n-1????=???12???n-1-???12???n=???12???n.

又 b1=a1=12,代上上式也符合, 所以 bn=???12???n.

归纳升华 (1)已知数列的前 n 项和或前 n 项和与通项的关系求 通项,常用 an 与 Sn 的关系式求解. (2)由递推关系 an+1=Aan+B(A,B 为常数,且 A≠0, A≠1)求 an 时,用待定系数法,设 an+1+λ=A(an+λ),可 得 λ=A-B 1,这样就构造了等比数列{an+λ}.

[变式训练] 数列{an}满足 a1=2,an+1=a2n+6an+ 6(n∈N*),设 cn=log5(an+3).
(1)求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:由 an+1=a2n+6an+6,得 an+1+3=(an+3)2.
所以 log5(an+1+3)=log5(an+3)2=2log5(an+3),
即 cn+1=2cn,
又 c1=log5 5=1≠0,

cn+1 所以 cn =2, 所以{cn}是等比数列. (2)解:由(1)知, 数列{cn}是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 所以 cn=2n-1, 即 log5(an+3)=2n-1,

所以 an+3=52n-1. 故 an=52n-1-3.

类型 3 等比中项

[典例 3] 已知等比数列的前三项和为 168,a2-a5 =42,求 a5,a7 的等比中项.
解:设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,

??a1+a1q+a1q2=168, 因为?
??a1q-a1q4=42.

??a1(1+q+q2)=168.



所以?

??a1q(1-q3)=42. ②

因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), ②式与①式相除,得 q(1-q)=14?q=12. 所以 a1=q-42q4=12-4???212???4=96. 若 G 是 a5,a7 的等比中项,则应有 G2=a5·a7=a1q4·a1q6=a21q10=962×???12???10=9, 所以 a5,a7 的等比中项是±3.

归纳升华 等比中项的三点认识
(1)当 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个;当 a, b 异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.

(3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),要特别注意限定的条件,否则是不等价的.可 以用它来判断或证明三个数成等比数列,同时还要注意到 “a,G,b 成等比数列”与“G=± ab”是不等价的.

[变式训练] (1)已知-1,x,-4 成等比数列,则 x

的值为( )

A.2

B.-52

C.2 或-2 D.- 2或 2

(2)方程 2x2-3x+1=0 两根的等比中项是________.

(1)解析:因为-1,x,-4 成等比数列,所以 x2=4,

所以 x=±2.

(2)2x2-3x+1=0,x1=12,x2=1,x1 与 x2 的等比中

项为:± 22.

答案:(1)C

(2)±

2 2

类型 4 等比数列的判定(互动探究)
[典例 4] (1)已知{an},{bn}都是等比数列,那么( ) A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等 比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等 比数列 D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列

(2) 在 数 列 {an} 中 , 若 an > 0 , 且 an + 1 = 2an + 3(n∈N*).证明:数列{an+3}是等比数列.
(1)解析:{an+bn}不一定是等比数列,如 an=1,bn =-1,因为 an+bn=0.所以{an+bn}不是等比数列,设
an+1bn+1 an+1 bn+1 {an},{bn}的公比分别为 p,q,因为 anbn = an · bn = pq≠0,所以{an·bn}一定是等比数列.
答案:C

(2)证明:法一:因为 an>0,所以 an+3>0.

又因为 an+1=2an+3,

an+1+3 2an+3+3 2(an+3)

所以





=2.

an+3 an+3

an+3

所以数列{an+3}是首项为 a1+3,公比为 2 的等比数

列.

法二:因为 an>0,所以 an+3>0. 又因为 an+1=2an+3, 所以 an+2=4an+9. 所以(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2 =(an+1+3)2. 即 an+3,an+1+3,an+2+3 成等比数列,

所以数列{an+3}是等比数列. 法三:令 an+1+λ=2(an+λ),即 an+1=2an+λ, 与已知 an+1=2an+3 比较知,λ=3. 所以 an+1+3=2(an+3), 又已知 an>0,所以 an+3>0,

an+1+3

所以

=2.

an+3

所以数列{an+3}是首项为 a1+3,公比为 2 的等比数

列.

[迁移探究] 典例 4 第(2)题的条件不变,若 a1=2, 求数列{an}的通项公式.
解:由数列{an+3}是等比数列,当 a1=2 时, a1+3 =5,所以数列{an+3}是首项为 5,公比 q=2 的等比数列,
所以 an+3=5×2n-1, 即 an=5×2n-1-3.

归纳升华

判断或证明一个数列为等比数列的常用方法

(1)定义法:

an+1 an =q(q

为常数且

q≠0)等价于{an}是等比数列.

(2)等比中项法:

a2n+1=anan+2(n∈N*且 an≠0)等价于{an}是等比数列.

(3)通项公式法: an=a1qn-1(a1≠0 且 q≠0)等价于{an}是等比数列.

[变式训练] 已知数列{an}是首项为 2,公差为-1 的

等差数列,令 bn=???12???an,求证数列{bn}是等比数列,并求 其通项公式.
证明:由已知得,an=2+(n-1)·(-1)=3-n,



bn+1 bn

=???12???3-(n+1)= ???12???3-n

???12???3-(n+1)-3+n



???12???-1=2.

所以数列{bn}是等比数列. 因为 b1=???12???3-1=14, 所以 bn=???14???×2n-1=2n-3.

1.要注意利用等比数列的定义解题.在很多时候紧 扣定义是解决问题的关键.
2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首 项 a1,公比 d 为基本量,其他量用这两个量表示出来, 再寻求条件与结论的联系,往往使很多问题容易解决.

3.若已知三个数成等比数列,一般设为:aq-1,a, aq.
若已知五个数成等比数列,一般设为:aq-2,aq-1, a,aq,aq2.
若前三个数成等差数列、后三个数成等比数列,设 四个数分别为 a-d,a,a+d,(a+ad)2或 2aq-1-a, aq-1,a,aq.

具体设法,要视题设条件不同而选择,以便于运算 为目的.
4.等比中项概念要掌握好,在题目中经常出现.

再见


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