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复变函数-2-11_图文

复变函数-2-11_图文

第一节 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考

一、复变函数的导数与微分

1.导数的定义:

设w 函 ?f(z)数 定义 D ,z 于 0为 D 中 区的 域

点 ,点 z0? ? z不 D 的 出,范围

如果 lif m 极 (z0? ? z限 )?f(z0)存 , 在

? z? 0

? z

那末f就 (z)在 称 z0可.这 导个极限 f(z)在 值 z0 称

的导 , 数

记f?( 作 z 0 )? d d w zz ? z 0? ? lz ? i 0fm (z 0 ? ? ? z z )? f(z 0 ).

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在定义中应注意: z0??z? z0(即 ?z? 0)的方式.是任意 即z0??z在区D域 内以任意方z0时 式, 趋于 比值 f(z0??z)?f(z0)都趋于同.一个数
?z 如果f(函 z)在 数 区 D 内 域 处,处 我可 们导 就f称 (z)在区D可 域.导 内
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例1 求f(z)?z2的导.数

解 f?(z)?lim f(z?? z)?f(z)

? z? 0

? z

?lim(z??z)2?z2

?z?0

?z

?lim (2z??z)?2z. ?z? 0

(z2)? ?2z

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例2 讨f论 (z)?Im z的可.导性

解 ?f?f(z??z)?f(z) ?Imz? (?z)?Imz

?z

?z

?z

?Im z?Im ?z?Im z ? Im ?z

?z

?z

?Im?(x?i?y) ? ?y , ?x?i?y ?x ? i?y

当点沿平行向 于 (?y实 ?0)轴 而的 ? 使 z? 方 0时 ,

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li? m f?lim f(z?? z)?f(z)?lim ?y ?0,

? z? 0? z ? z? 0

? z

?x?0?x?i?y

?y?0

当点沿平行向 于 (?x虚 ?0)而 轴? 使 的 z? 方 0时 ,

li? m f?lim f(z?? z)?f(z)?lim ?y ?1,

? z? 0? z ? z? 0

? z

?y?0?x?i?y i

?x?0

当点沿不同 ?z? 的 0时 ,方 极向 限使 值 , 不同

故f(z)?Imz在复平面上处处.不可导

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例3 问f(z)?x?2yi是否可导?   

解 li? m f?lim f(z?? z)?f(z)

? z? 0? z ? z? 0

? z

?li(m x? ? x )? 2 (y? ? y )i? x? 2 yi

? z? 0

? z y

?x?2?yi ? lim
?z?0 ?x??yi

z? o

?y?0 x

设 z??z沿着平 x轴 行的 于直线 z,趋

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lim?x?2?yi ? lim?x?1, ?z?0 ?x??yi ?x?0?x

设 z??z沿着平 y轴 行的 于直线 z,趋向

lim?x?2?yi? lim2?yi?2, ?z?0 ?x??yi ?y?0 ?yi

?x?0 y

所f以 (z)?x?2y的 i 导数 z ?

不存 .  在  

o

?y?0 x

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2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但
函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
? 证 令 (? z)? f(z 0? ? ? z z )? f(z 0 )? f?(z 0 )
根据z在 0可导的,定 则 义 ? lz? i0m ?(? z)?0,
? 因 f( z 0 为 ? ? z )? f( z 0 )? f?( z 0 ) ? z ?( ? z ) ? z ,
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所 ? lz ? 0 i 以 f( m z 0 ? ? z )? f( z 0 ) , 即 f(z)在 z0连.续

[证毕]

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3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函
数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c)??0, 其c为 中复 . 常数
(2 ) (zn)??nn ? 1 z, 其 n 为 中正 . 整数
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( 3 )?f ( z ) ? g ( z ) ? ?? f ?( z ) ? g ?( z ). ( 4 )? f ( z ) g ( z ) ? ?? f ? ( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ? ( z ).
(5 )? ? ?g f( (z z ) )? ? ? ?? f?(z )g (z g )2 ? (z f )(z )g ?(z ). (g (z )? 0 )
( 6 )? f [ g ( z ) ? ?? ]f ? ( w ) g ? ( z )其 . w ? g ( z 中 ) (7) f?(z)???(1w), 其中 w?f(z)与 z??(w)是 两个互为反函 函,数 数 且 ??的 (w)?单 0 值
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4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变
函数的微分概念完全一致. 定义 设函数w? f (z)在z0可导, 则
?w? f (z0 ??z)? f (z0) ? f?(z0)??z??(?z)?z, 式中lim?(?z)?0, ?(?z)?z是?z 的高阶无穷
?z?0
小, f?(z0)??z是函数w? f (z)的改变量 ?w的 线性部分 . f?(z0)?? z称为 w ?f 函 (z)在 数 z0点 的,微分 记作 d? w f?(z0)?? z.
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如果z0函 的数 微,则 在 分称 存 f(z)函 在数 在 z0可. 微 特别地, 当 f(z)?z时 ,
dw?dz?f?(z0)??z??z, d w ? f ? ( z 0 ) ? ? z ? f ? ( z 0 ) ? d z ,即 f?(z0)?ddwz z?z0 函w 数 ?f(z)在 z0可导 z0可 与微 在是 . 等
如果f函 (z)在 数 区D 域 内处处 ,则可 称微 f(z)在 区D 域 内可 . 微
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二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函 f(z)在 数z0及z0的邻域内处
导 ,那末f(称 z)在z0解.析 如果函 f(z数 )在区域 D内每一点 ,则解 称析
f(z)在区域 D内解. 或 析称 f(z)是区域 D内的一 个解析(全 函纯 数函数或)正 . 则函数
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2. 奇点的定义 如果 f(z函 )在 z0数 不解 ,那析 末 z0为 称
f(z)的奇 . 点
根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
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例4 研究 f(z)函 ?z2,g(数 z)?x?2y和 i h (z)?z2 的解 . 析性

解 由本节例1和例3知: f(z)?z2 在复平面内是解 ; 析的

g(z)?x?2yi处处不; 解析

下面h 讨 (z)?论 z2的解,析性

h(z0??z)?h(z0) ? z0 ??z2 ?z0 2

?z

?z

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?(z0??z)z(0??z)?z0z0 ?z

?z0

??z?z0? ?zz,

(1)z0?0,

lim h(z0??z)?h(z0)?0.

?z? 0

?z

(2)z0?0,

令 z 0 ? ? z 沿 y ? y 0 直 ? k ( x ? x 0 ) 趋 线 z 0 , 于

?z ?z

?

?x ? i?y ? ?x ? i?y

1 1

? ?

i?y ?x i?y

? 1 ? ik 1 ? ik

?x

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由于 k的任意, 性

?z ?1?ki不趋于一个确定 . 的值 ?z 1?ki

lim h(z0??z)?h(z0)不存 . 在

?z? 0

?z

因此 h(z)?z2仅在 z?0处可,而 导在其他点都 不可,根 导据定 ,它义在复平面内析 处. 处不

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例5 研究函w数 ?1的解析 . 性 z
解 因w 为 ?1在复平 z?0面 处内 处 , 除 可 z
且 ddwz ??z12, 所w 在 以复z 平 ?0外 面 处 内 , 处 除 z?0为它的.奇点
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定理 (1)在区 D内 域解析的f两 (z)与 个 g(z)的 函数 和、差、 (除积 去、 分商 母)在 为 D内 零解 .的析 (2)设函h? 数 g(z)在z平面上的 D内 区解 域 , 析 函数 w?f(h)在h平面上的 G内区解域 .如 析果 对D内的每一 z,函 个数 g(点 z)的对应 h都值 属 于G,那末复合 w?函 f[g(数 z)]在D内解. 析
以上定理的证明, 可利用求导法则.
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根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2)任何一个有理分 P(式 z)在函不数含分母为
Q(z) 零的点的区域内 的,是 使解 分析 母为零的点是 它的奇. 点
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三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法.
注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.
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思考题
复变 f(z)函 在z0 数 点 可导 z0解 与析 在 ? 有
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思考题答案
f(z)在z0点 解析 z0可 必 , 导 反在 之不对. 例f如 (z)?z2在 z0?0处可 , 导
但z在 0?0处不.解析

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