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龙泉中学2012-2013学年度上学期期中考试(高一数学答案)

龙泉中学2012-2013学年度上学期期中考试(高一数学答案)

龙泉中学 2012-2013 学年度上学期期中考试 高一数学试卷答案
一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 2 C 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 B 9 A 10 A

得 a ? ?1 ;
2

???? 6 分

若 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 对任意实数 x 都成立,则有: (1)若 a ? 1 =0,即 a ? ?1 ,则不等式化为 x ? 2 ? 0 不合题意 ???? 7 分 (2)若 a ? 1 ? 0,则有 ? 得a ? ?

?a ? 1 ? 0
2 ?a ? 4(a ? 1)(a ? 1) ? 0

???? 8 分 ???? 10 分

2 3 , 3

3 2 11. {(2, ?2)} ;12. ( 2, ;14. ? 1 ;15.①②③ ] ;13. (?5, ?2) (写闭区间也正确) 2
三、解答题: (本题共 6 小题,共 75 分. ) 16.(1) B ? {x | ?1 ? x ? 6} (2) ?U B ? {x | x ? ?1 或 x ? 6}

???? 4 分 ???? 8 分

2 3 时, (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 才对任意实数 x 都成立。 3 ∴这时 (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 不对任意实数 x 都成立 ……………12 分 20.解:解: (1)因为 f (x) 是偶函数,即对 x ? R ,
综上可知,只有在 a ? ?

或 (?U B )? A? {x ? 3 x ? ? 1x ? 6} . ???? 12 分 | ? 2 17.(1) e ? ; 3 1 1 1 1 2 2 ,b ? (2)由已知 a ? , ? ? (lg 2 ? lg 5) ? . 2 lg 2 lg 5 a b 2 ( 0? t ? 5 t, ? N ) ? 10 ? 2t ? 20 18.解: (1) P ? ? ( 5? t ? 1 0t, ? N ) ?20 ? 2(t ? 10) ( 1 1 t ? 1 6 ,? N ) ? t ? (2)? L ? P ? Q

???? 6 分 ???? 12 分

1 4x ?1 log4 ? kx ? log4 (4 x ? 1) ? kx 恒成立,解得 k ? ? . ???? 4 分 x 2 4 1 x (2)由(1)得 f ( x) ? log 4 (4 ? 1) ? x , 又 f ( x) ? g ( x) 2
4 ? x x x ? 4 ? 1 ? 2 (2 ? 3 ) a , 所 以 ? 则 ? ? a (2 x ? 4 ) ? 0 ? 3 ?

(a ? 1)2 2 x ?

4a x 2 ? 1 ? 0 , 记 2x ? t 3

(t ? 0) , 则 方 程

???? 4 分

h(t ) ? (a ? 1)t 2 ?

? 0.125t 2 ? 6 ? ? L ? ? 0.125t 2 ? 2t ? 16 ?0.125t 2 ? 4t ? 36 ?
当 0 ? t ? 5 时, t ? 5 时 Lmax ? 当 5 ? t ? 10 时, L ?

( 0? t ? 5 t, ? N ) ( 5? t ? 1 0t, ? N ) ( 1 1 t ? 1 6 ,? N ) ? t
73 ; 8
???? 8 分

73 ; 8
57 8

4a ???? 6 分 t ? 1 ? 0 只有一个正实根. 3 4 ???? 8 分 ①当 a = 1 时, h(t ) ? ? t ? 1 ? 0 无正实根; 3 16 2 3 a ? 4(a ? 1) ? 0 ,解得 a ? 或 a =–3. ②当 a≠1 时,若 ? ? 4 9 3 1 ???? 10 分 而 a ? 时,t =–2;a =–3 时, t ? >0. 4 2 16 2 3 1 ? 0 ,得 a ? 1 . a ? 4(a ? 1) ? 0 ,即 a ? ?3 或 a ? ,又由 t1t 2 ? ? 若? ? 4 a ?1 9

由上可知, a ? 2

当 11 ? t ? 16 时, t ? 11 时 Lmax ? 综上,当 t ? 5 时 Lmax ?

综上所述, a ?{?3} ? (1, ? ?) . 21.解: (1)由① 得: f (0) ? 0 ;

? ?

x

4? ? ? ? 0 恒成立. 3?

???? 12 分
???? 13 分

73 8
???? 12 分

又由③ x1 ? 0, x2 ? 0 时有: f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 当 从而有: f (0) ? 0 ;

即当第 5 周时每件服装的销售利润最大为

73 元. 8 ?? ? 16a 2 ? 16(3a ? 4) ? 0 ? ?a 19.解:由题意得 ? ? 2 ?2 ? f (2) ? 16 ? 8a ? 3a ? 4 ? 0 ?

???? 4 分

(2)设对任意的 x1,x2 ? [0,1] 且 x1 ? x2 有:

???? 4 分

f ( x2 ) ? f ((x2 ? x1 ) ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ,而 x2 ? x1 ? 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 . 故对于对任意的 x1,x2 ? [0,1] 且 x1 ? x2 都有: f ( x2 ) ? f ( x1 ) , f (0) ? 0 , f (1) ? 1 及 f (x ) 在 [0,1] 由 ???? 9 分 上的连续性可知 f (x ) 的值域为 [0,1] . (3)令 t ? f (x) ,由(2)知 t ? [0,1] ,

问题即为对任意的 t ? [0,1] , 4t 2 ? 4(2 ? a)t ? 5 ? 4a ? 0 恒成立,即有: 4t 2 ? 8t ? 5 ? ( ? t )a 恒成 41 立 , 显 然 当 t ? 1 时 结 论 成 立 ; 当 t ?[0,1) 时 , 有 : a ? (1? t ) ?

1 , 再 令 4(1? t )

u (t ) ? (1? t ) ?
故: a ? 1 .

1 1 t ? [0,1) ? u (t ) min ? u ( ) ? 1 . 4(1? t ) 2
???? 14 分


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