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统计学_图文

统计学_图文

Chapter Five
Parameter Estimate

1

Main points
Methods of Parameter Estimate
Point Estimation

?

Interval Estimation

Determining the Sample Size

?
2

Chapter 4

Chapter 5
How about the Population

population

?

known

?

How about the sample mean X

Sample

X

known
3

Section 1 Point and Interval Estimation

4

Main points
? Point Estimation点估计 ? Properties of Good Point Estimators
– Unbiasedness无偏性 – Efficiency有效性 – Consistency一致性

? Basic Principle of Interval Estimate

5

Point Estimation: 如果使用估计量的单一值作为总 体参数的估计值,那么这种估计则为点估计。 P249-250(矩估计法、极大似然估计法)

估计量的评价标准:P271-273 ?) ? ? 1. Unbiasedness: E (? 无偏性考虑的是估计量和参数的系统偏差问题 2. Efficiency:评价无偏估计量的离中趋势即分散程 ? 与 ??2 是参数 ? 的无偏估计量, 度。设? 1 ? 是比 ?? 有效的 估计量。 若 ? (??1 ) ? ? (??2 ) ,则称 ? 1 ? 2 3. Consistency:如果样本容量增大时,估计量可以 以较大的概率接近所要估计的总体参数,则称为一致 的估计量。 ? ?? ? ? ? 1 p?

lim
n??

?

?

对于 X ,p,s2都满足无偏性、有效性和一致性。6

? 据上一章我们知道,如样本平均 数服从正态分布那么有:
p ? ? 2? X ? X ? ? ? 2? X ? 0.9544
E q u a t io n

Basic Principle of Interval Estimate

?

?

?也就是说有95.44%的样本平均数在

?? ? 2?

X

, ? ? 2? X

出:有95.44%的把握区间 ?X ? 2? X , X ? 2? X ? 包含 ?
7

? 之间,从这个可以推

Confidence Intervals
Confidence interval: an interval of values computed from sample data that is likely to include the true population value.

Interpreting the Confidence Level

? The confidence level is the probability that the procedure used to determine the interval will provide an interval that includes the population parameter. ? If we consider all possible randomly selected samples of same size from a population, the confidence level is the fraction or percent of those samples for which the confidence interval includes the population parameter.

Note:

percent.

Often express the confidence level as a Common levels are 90%, 95% and 99%.

8

Constructing a 95% Confidence Interval for a Parameter Point estimator ? Margin of error
In the long run, about 95% of all confidence intervals computed in this way will capture the population parameter, and about 5% of them will miss it.
Be careful: The confidence level only expresses how often the procedure works in the long run. Any one specific interval either does or does not include the true unknown population value.
9

Confidence Coefficient置信系数 and Confidence Interval置信区间
Sampling Distribution α/2 of X

1-α
? ? ?X

α/2

Critical Value of the Interval

1-α的区间 包含μ α的区间不 包括μ
10

X ? z? / 2? X
P290

Recall:
? A parameter is a population characteristic – value is usually unknown. We estimate the parameter using sample information. ? A statistic, or estimate, is a characteristic of a sample. A statistic estimates a parameter.

? A confidence interval is an interval of values computed from sample data that is likely to include the true population value. ? The confidence level for an interval describes our confidence in the procedure we used. We are confident that most of the confidence intervals we compute using a procedure will contain the true population value.
11

区间估计的几个关键概念
? 置信系数 1-α 使人相信区间包含总体参数的 概率,一般取 0.95,0.90,0.99.它的大小说 明估计的把握性的大小.
? 置信区间:在一定概率的保证下,包含总体均值 的区间,区间的宽窄说明估计精度的大小.区间 越宽,估计的精度就小;否则就大. ? 临界值:置信区间的上限和下限 ? 注意置信系数和 区间宽窄的关系
P291
12

Rough Definition: The standard error of a
sample statistic measures, roughly, the average difference between the statistic and the population parameter. This “average difference” is over all possible random samples of a given size that can be taken from the population. Technical Definition: The standard error of a sample statistic is the estimated standard deviation of the sampling distribution for the statistic.

Standard Errors

13

Standard Error of a Sample Mean
s s.e.( x ) ? , s ? samplestandarddeviation n

Example: Mean Hours Watching TV
Poll: Class of 175 students. In a typical day, about how much time to you spend watching television?
Variable N TV 175 Mean Median TrMean StDev SE Mean 2.09 2.000 1.950 1.644 0.124

s 1.644 s.e.?x ? ? ? ? .124 n 175
14

Standard Error of a Sample Proportion p?1 ? p ? s.e.( p ) ? , p ? sample proportion
n

Example: Intelligent Life on Other Planets
Poll: Random sample of 935 Americans “Do you think there is intelligent life on other planets?” Results: 60% of the sample said “yes”, p = .60

.6?1 ? .6 ? s.e.? p ? ? ? .016 935

The standard error of .016 is roughly the average difference between the statistic, p, and the population parameter, π, for all possible random samples of n = 935 from this population.

15

Steps of Interval Estimate
? Determining of Confidence Coefficient ? Determining of the Probability of Distribution of the Statistic ? Sampling with the Sample Size n ? Computing X , and computing the S if σ is unknown ? Determining the Critical Value of the Interval

X ? z? X

X ?t

s n

p ? z? p

16

Section 2 Practice of Interval Estimate P301

17

Main points
? Normal distribution with σ assumed known X ? z? X ? Any distribution with σ assumed known s – Large-sample case X ? z? X ? z X n ? Interval Estimate of a Population Mean: Large-Sample Case with σ Estimated by s ? Interval Estimate of a Normal Population Mean: Small-Sample Case with σ Estimated s X ? t by s n ? Interval Estimate of a Population Proportion

p ? z? p

18

Example 1
某质量管理部门的负责人估计一批原材 料的平均重量。抽取样本容量为250的一个 随机样本,测得样本平均数为为65千克。 已知总体标准差为15千克,假设原材料每 包的重量服从正态分布。求置信系数为 95%的这批原材料平均重量的置信区间。
19

Normal distribution with σ assumed known

Result of Example 1
解:根据已知条件可知样本平均数服从

?

正态分布。 的置信区间的临界值为

15 65 ? 196 . ? 65 ? 186 . 250


20

Example 2
Any distribution with σ assumed known:
Large-sample case

某职业介绍所的职员从申请某一职业 的1000名申请者中采用不重复抽样方式 随机抽取了200名申请人,借此来估 1000名申请者考试的平均成绩。样本平 均数为78分,由已往经验得知总体的方 差为90分。求总体平均数的90%的置信 区间。

21

Result of Example 2
解:由于n大于30,根据中心极限定理 X 服从正态分布

的置信区间为 ?78 ? 1645 . ?0.6,78 ? 1645 . ?0.6? 得出:有90%的把握总体均值在(77 , 79) 区间之内。 22

?

? ? N ? n? 90 1000 ? 200 ?X ? ? ? 0.6 n N ?1 200 1000 ? 1

Example 3
Interval Estimate of a Population Mean: Large-Sample Case with σ Estimated by s

某百货商店通过100位顾客的随机 样本研究购买额。样本均值为247.5元 ,样本标准差为55元。求逛此商店的 所有顾客平均购买额的99%的置信区 间。
23

Result of Example 3
解:总体标准差未知时,严格来说,

样本X应服从t分布,但由于n=100大于30。 所以可以用正态分布逼近它。

S 55 X ?z ? 247.5 ? 2.58? ? 247.5 ? 1419 . 10 n ? ?23331 . ,26169 . ?
24

? 的置信区间为

Exercises1

s N ?n ?X ? ? 0.89 n N ?1
z=1.96 120±1.96*0.89 118.25~121.75

? P293:1,2,3; ? 某教务处欲了解2000名在校学生每年购 买教材的费用情况.他们随机抽查了400 名学生进行调查,这个样本的平均数为 120元,标准差为20元.求在95%的置信 系数的条件下全校学生购买教材平均费 用的置信区间.
25

Example 4
Interval Estimate of a Normal Population Mean: Small-Sample Case with σ Estimated by s

为了估计一分钟一次广告的平均费用 ,抽出了15个电视台的随机样本。样本 的平均值为2000元,样本的标准差为 1000元.假定一分钟一次广告的费用服 从正态分布,求总体平均数的95%的置 信区间。
26

Result of Example 4
解:已知:X=2000元,S=1000元, n=15,自由度(n-1)=14

?

的区间为

s 1000 X ?t ? 2000 ? 2.14 ? ?1447.5,2552.5? n 15
27

Exercises2
? P300:13,14; P301:15,16 ? 某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋, 测得每袋重量(单位:克)分别为789, 780,794,762,802,813,770, 785,810,806,要求以95%的把握程 度,估计这批食品的平均每袋重量的区 间范围及其允许误差。
x =791.1克 S=17.136克
s ? 12.26 n

Summary in P301

t? / 2

28

Example 5
Interval Estimate of a Population Proportion

某企业在一项关于寻找职工流动原因 的研究中,研究人员从该企业前职工的 总体中随机抽取了200人的一个样本。 在对他们进行访问时,有140人说他们 离开该企业的原因是因为收入太低。求 由于这种原因而离开该企业的人员的真 正比率的95%的置信区间。
.
29

Result of Example 5
解:因np=200*0.7=140, n(1-p)=200*0.3=60.它们都大于5. 所以p 可以用正态分布逼近它
p?1 ? p? 0.7?0.3 p ? z? p ? 0.7 ? 196 . ? 0.7 ? 196 . n 200 ? 0.7 ? 0.064 ? ?63.6%,76.4% ?
30

In Summary: Confidence Interval
General CI for p ? z ? /2

for a Population Proportion π

π:

p ?1 ? p ? n n

Approximate p?1 ? p ? p?2 95% CI for π :
Conservative 95% CI for π :

1 p? n
31

Exercises3
? P309:31,32

80.85%~89.15% 0.57~0.63

? 某厂对一批产品的质量进行抽样检验,采用重 复抽样样品200只,样本优质品率为85%,试 计算当把握程度为90%时优质品率的区间范围。 ? 为了研究我国所生产的真丝被面的销路,在纽 约举办的我国纺织品展销会上,对1000名成 年人进行调查,得知其中有600人喜欢此种产 品。试以95%的置信系数确定纽约市民成年人 喜欢此种产品的比率的置信区间。
32

Section 3 Determining of the Sample Size

33

Main points ? Determining of sample size as estimating μ
? Infinite population or finite population with replacement ? Finite population without replacement

? Determining of sample size as estimating π
34

Determining of sample size as estimating ?p303
z? X ??

?X

?

error

e ? z? X ? z z ? n? 2 e ?2 n? 2 e ?2
2 2

?X ?
n
无限总体

?

e

?X

我不希望样本 单位数太多或

太少

z

2

?

有限总体
35

N

Example 1
拥有MBA学位的毕业生前三年的年 平均年薪的标准差大致为2000元,假 定希望估计中国所有MBA毕业生前 三年的年平均年薪的95%的置信区 间.要求估计误差小于500元. 问需要多大的样本容量?
36

RESULT
z? 1.96 ? 2000 n? 2 ? 2 e 500 ? 61.4656 ? 62
2 2 2 2

37

Exercises 4
? P304:23,24 ? 我国某市工商税务部门欲调查该市三资企业由 于实行转让价格而给我国造成损失情况。他们 重点对家电行业的三资企业调查。该市现有 550家生产或组装家电的三资企业,采用抽样 方法估计该市三资企业由于实行转让价格而转 移的利润平均水平。根据价差的比较和推算表 明,标准差为30万美元。如果以95%的置信系 数且要求估计的转移利润水平误差在±10万美 元以内,问应取多大的样本容量?
n ? 32.5 ? 33
38

Determining of sample size as estimating p307

n?

? 2 z ? ?1 ? ? ?
e
2

我不希望样本 单位数太多或 太少!

Notes: (1)实际π是不知道的 ,一般令它等于0.5(2)Z的大 小由置信系数确定,它是事先给 定的。(3)e 是一个可以接受的 误差。

39

Example2
一家市场调查公司希望估计某地区有 29英寸彩色电视机的家庭所占的比率 。该公司希望对 ? 的估计误差不超 过0.07,置信系数为95.44%,但没有可 利用的比率的估计值. 问应抽取多大容量的样本?.
40

z 2? ? 1? ? n ? e2 ? 2
2

RESULT

?

? 0. 5 ? ? 1 ? 0. 5 ? 0.0 72

? 204

41

Exercises5

1) n=271 2)0.694~0.782

? P309:33,34 ? 某市消费者协会,希望了解当地公众认为目前 我国市场上存在的最主要的问题是什么。最后 得到的结果是对有关比率的估计。他们希望以 90%的把握做出估计,并使估计误差在 ±0.05的范围内,问样本量为多大?若抽样 调查结果中有200人认为我国市场主要存在的 问题是对伪劣产品未能采取法律手段进行管理。 对持有这种看法的总体比率构造置信区间。
42


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