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降幂公式、辅助角公式(老师)

降幂公式、辅助角公式(老师)


降幂公式、辅助角公式练习
1.(2010 浙江理) (11)函数 f ( x) ? sin(2 x ? 解析: f ?x ? ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是__________________ .

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正周期为π , 2 4? ?
2

2.(2010 浙江文) (12)函数 f ( x) ? sin (2 x ? 3.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) 的最小正周期是

。答案

?
4

? 2

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2
2

? 的偶函数 2

解析 因为 y ? 2cos ( x ?

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 A. ) ?1 ? cos ?2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

4.(2010 湖南文)16. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

5.(2010 北京文) (15)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; 解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos

?

? 3

(Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值

3

3 1 2? ? ? sin 2 = ?1 ? ? ? 4 4 3 3
2 2

(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x)

? 3cos2 x ?1, x ? R
因为 cos x ?? ?1,1? ,所以,当 cos x ? ?1 时 f ( x) 取最大值 2;当 cos x ? 0 时, f ( x) 去最小值-1。
1

6.(2010 北京理) (15) 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解: (I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1
2

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [ ?1,1] , 所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当 cos x ? 7.(2010 湖北文)16. 已经函数 f ( x) ?

7 2 时, f ( x) 取最小值 ? 3 3

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使用 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

8.(2010 湖南理)16.已知函数. (Ⅰ)求函数 f ( x) f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x 的最大值 (II)求函数 f ( x) 的零点的集合。

2

9. 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离 9. 等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 解析 f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

10.(2009 安徽卷文)设函数 则导数 A. 的取值范围是 B.
x ?1

,其中



C.

D.

解析 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? ?0,

? ? 2 ? ? 5 ? ? ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? ? 2, 2 ? ,选 D 3 ? 2 ? ? 12 ?
3

11. 函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

解析 由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? 12. 若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? C. 3 ? 1

?
6

) 可得最小正周期为 2? ,故选 A.

?
2

,则 f ( x) 的最大值为

A.1

B. 2

D. 3 ? 2

解析 因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

13.函数 y ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ . 解析 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 14.

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

15.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2

所以函数 f(x)的最大值为

4

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2
1 , 3

所以 sin C ? 所以

3 , 2
2 3, 3

因为 C 为锐角,

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

sin B ?

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
16. 设函数 f(x)=2 sin x cos (1)求 ? .的值;
2

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2)在 ? ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? (2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12

?

或B ?

17.

设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2

2

? x(? ? 0) 的最小正周期为

2? . 3

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 求 y ? g ( x) 的单调增区间. 解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

? 个单位长度得到, 2

? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 3 2? 2? ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2 2? 3
5

?

(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?
(k ? Z ) \

5? ? 2 ? 2 7? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 2 4 2 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12

?

≤ 3x ?

18.(2008 广东)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是(



? 的奇函数 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 1 1 ? cos 4 x 2 2 2 2 解析 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ? sin 2 x ? 2 4
A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为 19. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3, )

答案:D

3 2
2

D. -2,

3 2

1? 3 ? 解析 ∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ? ? ? 2? 2 ?
2

1 3 时, f max ? x ? ? ,当 sin x ? ?1 时, f min ? x ? ? ?3 ;故选C; 2 2 1 2 20. 若函数 f ( x) ? sin x ? ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( ) 2 π A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 2
∴当 sin x ? C.最小正周期为 2 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 答案 D

21. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a、b为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 则函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,

3? ? x) 是( ) 4

答案 D B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 22.当 0 ? x ?

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为( sin 2 x
C.4 D. 4 3

)

A.2

B. 2 3

答案 C .

23.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是

6

解析 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?
2

2? 1 ? cos 2 x 1 ?? 。 ? sin 2 x ,所以函数的最小正周期 T ? 2 2 2

7


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