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2015江苏高考数学试题趋势大猜想——江苏卷

2015江苏高考数学试题趋势大猜想——江苏卷


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2015 高考数学试题趋势大猜想——江苏卷
江苏高考试题一般具有如下三点特性.第一,强调“三基”;第二,紧扣教材,对教材的问题进行改编, 对已有的问题进行创新;第三,注重知识点的互相交叉. 这几年,江苏卷一直在变,除了命题班子的变化,试卷的难易也在不断地变化(往简单方向发展) , 力图保持每年的变化趋势,从 13-14 年的趋势来看,越来越注重对基本知识的考查,填空题普遍简单,而 解答题在设问上技巧性比较强,需要学生先弄明白题意,再进行转化,进而解决问题,近几年压轴题在考 察上侧重学生思维的发展.

一、填空题
1.集合 考查基本运算,细心是关键. 2.简易逻辑 命题的改写、充分性必要性的分析. 3.复数 基本运算. 4.统计 茎叶图、频率分布直方图、简单数据分析平均数、方差、标准差等. 5.概率 枚举法求概率,注意有序与无序的公平性. 6.流程图 有限列表,无限则列表后观察规律省略中间步骤后写快结束进程附近的两项. 7.立体几何 近几年考查体积、体积比值居多. 8.双曲线与抛物线 抛物线考查定义运用,大部分问题都不需要联立,直接通过定义进行转化即可. 9.三角 三角函数的基本性质、化简求值运算. 10.导数 作为工具利用研究斜率,与其余章节结合. 11.向量 转化、基本定理与数量积. 12.数列 近几年逐渐回归基本问题的计算. 13.解析几何 直线与圆的基本问题,离心率的计算,今年直线与圆的创新型问题偏多,注意总结. 14.不等式 模拟卷多元最值居多,高考时解不等式和基本不等式应用居多,难度在降低,但识别能力需提高. 15.杂类问题 函数类居多,主要考察性质. 杂类能力题主要考察:导数,三角计算,解析几何(直线与圆) ,平面向量(基本定理与数量积) ,不 等式(线性规划、基本不等式或函数) ,数列综合,函数综合等.

二、解答题
1

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1.三角函数与向量 考纲解读 基本初等函数Ⅱ(三角函数) 、三角恒等变换 内容 三角函数的有关概念 同角三角函数的基本关系式 三角函数的诱导公式 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象与性质 两角和(差)的正弦、余弦及正切 二倍角的正弦、余弦及正切 解三角形 内容 正弦定理、余弦定理及其应用 平面向量 内容 平面向量的概念 平面向量的加法、减法及数乘运算 平面向量的坐标表示 平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直 平面向量的应用 ▲ ▲ A B ▲ ▲ ▲ ▲ C A B ▲ C ▲ ▲ ▲ A B ▲ ▲ ▲ ▲ C

命题趋势 15 题考查的内容比较多,不外乎诱导公式、二倍角公式混用以及图像性质求解之类,考查的方向虽多 面,但都比较简单. 定量问题直接运算,动量问题研究最值靠向基本不等式,值域问题靠向函数思想,部分构造问题,例 如遇到垂心构造高,遇到重心、外心构造中点解决等. y 参考试题 2 参考试题 1:已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数, ? ? ? ? 3 且 A>0, ? >0, ? <?< )的部分图象如图所示. x ?? O 2 2 3 (1)求函数 f(x)的解析式; ?2 3 ? (2)若 f (? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 参考试题 1 2 6 解: (1)由图可知,A=2,…………………………………………………… 2 分 T= 2 ? ,故 ? ? 1 ,所以,f(x) = 2sin( x ? ? ) .…………………………………… 4分 2? 2? ? ? ? 又 f ( ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 ,且 ? <?< ,故 ? ? ? . 3 3 2 2 6 ? 于是,f(x) = 2sin( x ? ) .………………………………………………………… 7分 6 3 ? 3 (2)由 f (? ) ? ,得 sin(? ? ) ? .………………………………………… 9分 2 6 4 ? ? ?? ? ? ? ? 所以, sin(2? ? ) ? sin ? 2(? ? ) ? ? ? cos ? 2(? ? ) ? ………………………… 12 分 6 6 2? 6 ? ? ? 2

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? 1 = 1 ? 2sin 2 (? ? ) ? ? .…………………………………… 6 8
参考试题 2:已知向量 a ? (? ,

14 分

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 0 ? ? ? π . 2 2

(1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值. 解: (1) 因为 a / / b ,所以 ?

1 3 ? 2sin ? ? ? 2cos ? ,即 ? sin ? ? 3 cos? , 2 2
2 π. 3
2

所以 tan ? ? ? 3 , 又 0 ? ? ? π ,所以 ? ?

……………7 分

(2)因为 a ? b ? b ,所以 (a ? b)2 ? b2 ,化简得 a ? 2a ? b ? 0 , 又 a ? (? ,

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) ,则 a 2 ? 1 , a ? b ? ? cos? ? 3sin ? , 2 2
1 π 1 ,则 sin(? ? ) ? ? ? 0 , 2 6 4
……………10 分

所以 3 sin ? ? cos ? ? ?

又 0 ? ? ? π , cos(? ? ) ?

π 6

15 , 4

所以 sin ? ? sin[(? ? ) ? 2.立体几何 考纲解读 空间几何体

π 6

π π π π π 15 ? 3 ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin ? .…………14 分 6 6 6 6 6 8

内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 柱、锥、台、球的表面积和体积 点、线、面之间的位置关系 内容 平面及其基本性质 直线与平面平行、垂直的判定及性质 两平面平行、垂直的判定及性质

A ▲ ▲ A ▲

B

C

B ▲ ▲

C

命题趋势 15、16 题的顺序 7 年未变,都是考查基本问题,仔细计算即可. 有面面平行、面面垂直一般需要退化进行转化,即若提供面面垂直一般需要通过线线垂直转化到线面 垂直,若没有线线垂直则构造线线垂直,否则面面垂直这一条件难以使用. 参考试题 参考试题 1:如图,在三棱锥 D ? ABC 中,已知 ?BCD 是正三角形, AB ? 平面 BCD , AB ? BC ? a ,

E 为 BC 的中点, F 在棱 AC 上,且 AF ? 3FC .
3

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(1)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (2)求证: AC ? 平面 DEF ; ( 3 )若 M 为 DB 中点, N 在棱 AC 上,且 CN ? 求证: MN // 平面 DEF . 解: (1)因为 △ BCD 是正三角形,且 AB ? BC ? a , 所以 S?BCD ?

3 CA , 8

3 2 a ,……2 分 4

因为 AB ⊥平面 BCD ,

1 VD? ABC ? VA? BCD ? ? AB ? S△BCD ? 1 ? 3 a 2 ? a ? 3 a3 . 3 12 3 4
(2)在底面 ABC 中, (以下运用的定理不交代在同一平面中,扣 1 分) 取 AC 的中点 H ,连接 BH , AB ? BC ? BH ? AC ,
? ? ? EF ?

……5 分

AF ? 3FC , ? F 为 CH 的中点,

? ? ? ?EF ? AC ?? 6分 ? ? BH

E 为 BC 的中点,
△ BCD 是正三角形, ? DE ? BC .
? ? AB ? 面BCD, ? ? ? AB ? DE , (7 分 ) ? ? DE ? 面BCD, ? ? ? DE ? 面ABC ,(8分) ? ? ? DE ? AC , (9分) ? ? AB ? BC ? B, AC ? 面ABC , ? ? ? AC ? EF , ? AB, BC ? 面ABC , ? ? ? DE ? EF ? E , ? DE , EF ? 面DEF , ? ? ? AC ? 面DEF .……10 分

(注意:涉及到立体几何中的结论,缺少一个条件,扣 1 分,扣满该逻辑段得分为止) 参考试题 2:如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, 且 PB ? PD . (1)求证: BD ? PC ; (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l ,求证: BC // l . 解: (1)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 PO. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BD ? AC ……2 分 又因为 PB ? PD ,O 为 BD 的中点, B 所以 BD ? PO ……………………………………4 分 又因为 AC ? PO ? O ,所以 BD ? 平面APC , 又因为 PC ? 平面APC 所以 BD ? PC ……………………………………7 分 (2)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BC // AD ……………9 分 因为 AD ? 平面PAD,??BC ? 平面PAD . 所以 BC // 平面PAD ……………………11 分 又因为 BC ? 平面PBC , 平面 PBC ? 平面 PAD ? l . 4 B
参考试题 2 图

P

A

D

C
参考试题 2

P

A O C

D

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所以 BC / /l . 3.解析几何 考纲解读 直线 直线的斜率与倾斜角 直线方程

…………………………14 分

内容

A

B ▲

C ▲

直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 两点间的距离,点到直线的距离 圆的标准方程和一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 圆锥曲线与方程 内容 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 ▲ ▲ A

▲ ▲ ▲ ▲ ▲ B ▲ C

命题趋势 解析几何题近 7 年考查 3 次圆,4 次椭圆,背景稳定,但运算求解的要求相对变高了. 估计今年考查椭圆的概率还是比较大的,但由于命题班子的变化,很难说清考查什么方向. 但思路简单,计算要求变高却是一种必然趋势. 参考试题 参 考 试 题 1 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

3 x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,上顶点为 B ,直线 a b 2
1 l : y ? x与椭圆 E 交于 C , D 两点,且 ?BCD 的面积为 2 . 2 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设点 P 是椭圆 E 上一点,过点 P 引直线 m ,其倾斜角与直线 l 的
倾斜角互补. 若直线 m 与椭圆 E 相交, 另一交点为 Q , 且直线 m 与 x , y 轴分别交于点 M , N ,求证: QM 2 ? QN 2 为定值. 解: (1)由 e ? P M C N

y B D O Q m x l

参考试题 1

3 2 2 1 2 c 3 2 ,得 c ? a b ? a , ? 4 4 a 2

………2 分

1 ? ? y? x 2 2 2 2 2 2 10 ,………4 分 联立 ? ,得 D( 2 a, a) ,所以 CD ? 2 ( a) ? ( a) ? a 2 2 2 2 4 2 4 2 ? ?x ? 4 y ? a

5

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又上顶点 B(0, ) 到直线 l 的距离为 d ?

a 2

a , 5

所以 ?BCD 的面积为 S ?

1 1 10 a 2 2 CD ? d ? ? a? ? a ? 2, 2 2 2 4 5
x2 ? y 2 ? 1. 4
………8 分

解得 a 2 ? 4 ,即椭圆的方程为

(2)设 Q( x1 , y1 ) ,则

1 x12 ? y12 ? 1 ,因为直线 m 与直线 l 的倾斜角互补,所以 k m ? ? kl ? ? , 2 4

所以直线 m 的方程为 y ? y1 ? ?

1 ( x ? x1 ) , 2
1 x1 ? y1 ) . 2
………10 分

令 y ? 0 ,得 M ( x1 ? 2 y1 ,0) ;令 x ? 0 ,得 N (0, 所以 QM ? QN ? (2 y1 ) ? y1 ? x1 ? ( x1 ) ?
2 2 2 2 2 2

1 2

5 2 x2 x1 ? 5 y12 ? 5( 1 ? y12 ) ? 5 . ………14 分 4 4

方法 2:设 P( x0 , y0 ) ,则 所以 k m ? ? kl ? ?

x0 2 ? y0 2 ? 1 ,因为直线 m 与直线 l 的倾斜角互补, 4

1 1 ,所以直线 m 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) , 2 2 1 令 y ? 0 ,得 M ( x0 ? 2 y0 ,0) ;令 x ? 0 ,得 N (0, x0 ? y0 ) . 2

………10 分

? x2 ? y2 ? 1 ? ? 4 2 2 联立 ? ,消去 x ,得 8 y ? 4 y( x0 ? 2 y0 ) ? ( x0 ? 2 y0 ) ? 4 ? 0 , ? y ? y ? ? 1 (x ? x ) 0 0 ? ? 2
解得 Q (2 y0 ,
2

1 x0 ) , 2
2 2

………12 分

所以 QM ? QN ? x0 ?

1 2 x2 x0 ? 4 y0 2 ? y0 2 ? 5( 0 ? y0 2 ) ? 5 . 4 4

………14 分

参考试题 2:在平面直角坐标系 xOy 中,设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2,右准线 l:x=m+1 与 x 轴的交点为 B,BF2=m. (1)已知点( 6 ,1)在椭圆 C 上,求实数 m 的值; 2
y M A P F1 O F2 Q l B x

(2)已知定点 A(-2,0). TA ①若椭圆 C 上存在点 T,使得 = 2,求椭圆 C 的离心率的取值范 TF1 围; ②当 m=1 时,记 M 为椭圆 C 上的动点,直线 AM,BM 分别与椭圆 6

参考试题 2

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→ → → → C 交于另一点 P,Q,若AM =λ AP ,BM=? BQ ,求证:λ+?为定值. x2 y2 解: (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 2 2 a ? ? ?a2=m+1, ? =m+1, x2 y2 由题意,得? c 解得?b =m, 所以椭圆方程为 + =1. m+1 m ?(m+1)-c=m, ?c=1. ? ? 6 3 1 1 因为椭圆 C 过点( ,1),所以 + =1,解得 m=2 或 m=- (舍去). 2 2 2(m+1) m 所以 m=2. ………………………… 4 分 (2)①设点 T(x,y). TA 由 = 2,得(x+2)2+y2=2[(x+1)2+y2],即 x2+y2=2.………………… 6 分 TF1 2 y2=2, ? ?x + 2 y2 由? x 得 y2=m2-m.因此 0≤m2-m≤m,解得 1≤m≤2. + =1, ? ?m+1 m 1 3 2 所以椭圆 C 的离心率 e= ∈[ , ]. ………………………… 10 分 3 2 m+1 ②(方法一)设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2). ? ? 则AM=(x0+2,y0), AP =(x1+2,y1). ?x0+2=?(x1+2), ? ? 由AM=? AP , 得 ? ?y0=?y1. ?x0=?x1+2(?-1), 从而? ………………………… 12 分 ?y0=?y1. [?x1+2(?-1)]2 x02 因为 +y02=1,所以 +(?y1)2=1. 2 2 x12 即?2( +y12)+2?(?-1)x1+2(?-1)2-1=0. 2 x12 因为 +y12=1,代入得 2?(?-1)x1+3?2-4?+1=0. 2 3?-1 ?-3 由题意知,?≠1,故 x1=- ,所以 x0= . 2 2? -?+3 同理可得 x0= .………………………… 14 分 2 ?-3 -?+3 因此 = , 2 2 所以?+?=6. ………………………… 16 分 (方法二)设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2). y0 直线 AM 的方程为 y= (x+2). x0+2 y0 x2 1 2 2 2 2 将 y= (x+2)代入 +y2=1,得( (x0+2)2+y0 )x +4y0 x+4y0 -(x0+2)2 =0(*). 2 2 x0+2 x02 2 2 因为 +y02=1,所以(*)可化为(2x0+3)x2+4y0 x-3x0 -4x0=0. 2 2 3x0+4x0 3x0+4 3x0-4 因为 x0x1=- ,所以 x1=- .同理 x2= .………………………… 14 分 2x0+3 2x0+3 2x0-3 ? ? → → 因为AM=? AP , BM =? BQ , x0+2 x0-2 x0+2 x0-2 (x0+2)(2x0+3) (x0-2)(2x0-3) 所以?+?= + = + = + =6. x1+2 x1-2 3x0+4 3x0-4 x0+2 -x0+2 - +2 -2 2x0+3 2x0-3 即 λ+?为定值 6. ………………………… 16 分 7

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4.应用题 考纲解读 考纲中并没有对此类问题的特别说明,只是将知识融合到各类问题中. 今年江苏将“互斥事件及其发生的概率”这一考点,由 A 级提升到 B 级,部分老师猜想会考查与互斥 事件概率有关的应用题,但也不是不可能,只是题目的设计需要精妙又不至于过难,我们还是期待吧! 模拟卷中多数是三角、解析几何模型,函数模型在逐渐淡化. 命题趋势 除个别年份,应用题与解析几何基本占据 17、18 题,但近两年的趋势逐渐强化应用题的地位,弱化 解析几何,但这样的配比会使得试卷整体运算量增加. 应用题的考查多为三角模型、函数模型及解析几何模型等.

?三角模型 ?解值域方法,化双同、二次、换元、求导、几何意义 ? ? ?函数模型 ?低次、高次,带有指、对数的比较少,用导居多? 步骤:★设、列、解、答 ? 解析模型 ?更多的是直线与直线,直线与圆?,距离是关键词 解决问题关键是巧设变量 ? ? ?分式模型 ?求导、平方、换元、基本不等式、分子 ?分母 ? 有理化? 定义域问题要严格注意 ? 不等式模型 ?取大、取小函数模型?,构造函数或基本不等式解决 ? 本质:建模与解模 ??递归? 数列模型 ?少见,例如银行存款,延伸出的设备价值衰减等 ? ? ? ?概率与统计模型 ?外省居多,关键是表达语言 ?
参考试题 参考试题 1:如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m . 在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以 A 为圆心,1 百米为半径 设立一个圆形保护区. 为了连通公路 l 、 欲再新建一条公路 PQ , 点P 、 m,



Q

Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与圆 A 相切.
(1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长; (2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长. 解:以 O 为原点,直线 l 、 m 分别为 x , y 轴建立平面直角坐标系. 设 PQ 与圆 A 相切于点 B ,连结 AB ,以 1 百米为单位长度,则圆 A 的方程为

A l m

O

P





x ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2

Q

(1)由题意可设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? 2 y ? 2q ? 0 , (q ? 2) , 2 q
? 1 ,解得 q ?

B A l m

∵ PQ 与圆 A 相切,∴

2 ? 2q q ?2
2 2

8 , 3
……………5 分 8

O

P



故当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为

8 百米. 3

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(2)设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? py ? pq ? 0 , ( p ? 1, q ? 2) , p q
? 1 ,化简得 p 2 ?

∵ PQ 与圆 A 相切,∴

p ? pq q ?p
2 2

q q 2 2 2 ? q2 , ,则 PQ ? p ? q ? q?2 q?2
……8 分

q 2 2(q ? 1)(q 2 ? 3q ? 1) 2 (q ? 2) , 令 f (q) ? ? q (q ? 2) ,∴ f ?(q) ? 2q ? ? q?2 (q ? 2)2 (q ? 2)2
当2? q ?

3? 5 3? 5 ) 上单调递减; 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 (2, 2 2

当q ?

3? 5 3? 5 , ??) 上单调递增, 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 ( 2 2 3? 5 3? 5 时取得最小值,故当公路 PQ 长最短时, OQ 的长为 百米. 2 2
8 百米; 3

∴ f (q) 在 q ?

答: (1)当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为

(2)当公路 PQ 长最短时, OQ 的长为

3? 5 百米. …………14 分 2

参考试题 2:为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200 m,圆心角为 120° 的扇形地上建造市 民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在半径 OP,OQ 上,C,D ) 在圆弧 PQ 上,CD∥AB;△OAB 区域为文化展示区,AB 长为 50 3 m;其余空地为绿化区域,且 CD 长不 . 得超过 ...200 m. (1)试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? D (2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC= 2? ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函数,并求出 S 的最大值. 200] , 解: (1)设 OA ? m,OB ? n,m,n ? (0, P 2? 在△ OAB 中, AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? cos , 3 2 2 2 即 (50 3) ? m ? n ? mn ,…………………………………………………… 所以, (50 3)2 ? (m ? n)2 ? mn ≥ (m ? n)2 ?
C Q

B A O

参考试题 2 2分

(m ? n)2 3 4分 ? (m ? n)2 ,………… 4 4 所以 m ? n ≤ 100 ,当且仅当 m=n=50 时, m ? n 取得最大值,此时△ OAB 周长取得最大值. 答:当 OA、OB 都为 50m 时,△ OAB 的周长最大. 6分 C (2)当△AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E, F D 则 E、 F 分别为 AB,CD 的中点, ? 所以 ?DOE ? ? ,由 CD ≤ 200 ,得 ? ? (0, ] . 8分 E B 6 O P OF ? 200cos ? . A 在△ ODF 中, DF ? 200sin ?, ? 参考试题 2 答案 又在△ AOE 中, OE ? OA cos ? 25 ,故 EF ? 200 cos ? ? 25 . 10 分 3 9

Q

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1 所以, S ? (50 3 ? 400sin ? )(200cos? ? 25) = 625( 3 ? 8sin ? )(8cos? ? 1) 2 ? 12 分 ? 625(8 3 cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3) , ? ? (0, ] .………… 6 ? 令 f (? ) ? 8 3 cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3 , ? ? (0, ] , 6 ? ? f ?(? ) ? ?8 3sin ? ? 8cos? ? 64cos 2? ? ?16sin(? ? ) ? 64cos 2? , ? ? (0, ] , 6 6 ? ? 又 y= ?16sin(? ? ) 及 y= cos 2? 在 ? ? (0, ] 上均为单调递减函数, 6 6 ? 故 f ?(? ) 在 ? ? (0, ] 上为单调递减函数. 6 ? 3 1 ? ? 4 ? ) >0,故 f ?(? ) >0 在 ? ? (0, ] 上恒成立, 因 f ?( ) ? ?16( 6 2 2 6 ? 于是, f (? ) 在 ? ? (0, ] 上为单调递增函数. ……… 14 分 6 ? 所以当 ? ? 时, f (? ) 有最大值,此时 S 有最大值为 625(8 ? 15 3) . 6 ? 答:当 ? ? 时,梯形 ABCD 面积有最大值,且最大值为 625(8 ? 15 3) m2.… 16 分 6 5.数列 考纲解读 数列

内容 数列的概念 等差数列 等比数列

A ▲

B

C ▲ ▲

命题趋势 数列考查的范围比较广,抽象性较为集中,需要具备较高的破解抽象问题的能力,数列的考查侧重非 抽象问题的非具体数列(给定部分带参信息,研究其性质) ,和简单抽象数列(不需求出数列表征式)问 题. 参考试题

n?N , 参考试题 1: 已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列, 且满足 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn Sn ,
?

?

?

?

其中 Sn 是数列 an ? 的前 n 项和,

?

?c ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列.
n

(1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数,k ? N ) ,bn ? c 2 , n ?)N ,求证:对任意的 n ? 2, n ? N , nk ? (n ? 数列 {
?

?

?

?

?

?

bn } 单调递减. an

解: (1)因为 d ? 2 , c2 ? 3 ,所以 cn ? 2n ? 1, 10

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因为数列 an ? 是各项不为零的常数列,所以 a1 ? a2 ? ? ? an , Sn ? na1 , 则由 Sncn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 及 cn ? 2n ? 1得 n(2n ?1) ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 当 n ? 2 时, (n ?1)(2n ? 3) ? b1 ? b2 ? ?? bn?1 ,两式相减得 bn ? 4n ? 3 , 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,也满足 bn ? 4n ? 3 ,故 bn ? 4n ? 3(n ? N ) . (2)因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn Sn , 当 n ? 2 时, Sn?1cn?1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an?1bn?1 ,两式相减得 Sncn ? Sn?1cn?1 ? anbn , 即 (Sn?1 ? an )cn ? Sn?1cn?1 ? anbn , Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? ? ncn ? ? nbn , 又 S n ?1 ? 即
?

?

…………4 分

? ? ? (n ? 1)
2

(n ? 1) ?

? n(n ? 1)
2

,所以

? n(n ? 1)
2

d ? ? ncn ? ? nbn ,

(n ? 1) d ? cn ? bn , 2 (n ? 2) 3 d ? cn ?1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? d (n ? 3) , 所以当 n ? 3 时, 2 2 3 所以数列 ?bn ? 从第二项起是公差为 d 等差数列; 2
又当 n ? 1 时,由 S1c1 ? a1b1 得 c1 ? b1 ,

(2 ? 1) 1 3 3 d ? c2 ? d ? (c1 ? d ) ? b1 ? d 得 b2 ? b1 ? d , 2 2 2 2 3 故数列 ?bn ? 是公差为 d 等差数列. …………15 分 2
当 n ? 2 时,由 b2 ? (3)由(2)得当 n ? 2 时, Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? an (bn ? cn ) , 因为 bn ? cn?k ,所以 bn ? cn ? kd ,即 bn ? cn ? kd ,所以 Sn?1d ? an ? kd ,即 Sn?1 ? kan , 所以 Sn ? Sn?1 ? an ? (k ? 1)an , 当 n ? 3 时, Sn?1 ? (k ? 1)an?1 ,两式相减得 an ? (k ? 1)an ? (k ? 1)an?1 ,

k ?1 an ?1 ,故从第二项起数列 ?an ? 是等比数列, k k ? 1 n?2 ) , 所以当 n ? 2 时, an ? a2 ( k
即 an ?

bn ? cn?k ? cn ? kd ? c1 ? (n ?1)k ? k 2 ? k ? (n ?1)k ? k 2 ? k (n ? k ) ,
另外由已知条件得 (a1 ? a2 )c2 ? a1b1 ? a2b2 ,又 c2 ? 2k , b1 ? k , b2 ? k (2 ? k ) ,

11

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所以 a2 ? 1 ,因而 an ? (

k ? 1 n?2 b d b a (n ? k ? 1)k ) ,令 dn ? n ,则 n?1 ? n?1 n ? , k an dn an?1bn (n ? k )(k ? 1)

因为 (n ? k ? 1)k ? (n ? k )(k ? 1) ? ?n ? 0 ,所以

d n?1 ? 1, dn
……………16 分

所以对任意的 n ? 2, n ? N? ,数列 {

bn } 单调递减. an

?1 ? an ? n (n为奇数) 参考试题 2:已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . ( n 为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n . 解: (1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1

bn

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1

1 ?3

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

. ………2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

, ? q (常数)

1 ? q? ? 1 ? ? q ? 0 ? ? 3 ?1 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? q ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ?? ?? ? ? 2
此时 b1 ? a2 ?

…………………5 分

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6 3 所以存在实数 ? ? ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列………………………………………6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
(2)由(1)得 ?bn ? 是以 ? 故 bn ? a2 n ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ? 3?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,…………………8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

由 a2 n ?

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2n?1 ? 3a2n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?
12

? 6n ?

15 ,……10 分 2

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所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ?

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? ?2 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? 6 ?1 ? 2 ? L ? n ? ? 9n ?3? ? ?3 ? 3 ? ? ?

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?
1? ?1? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ?2 ? ? 1 1? 3
n

? n n ? 1 1 2 ? ? ? ? 2 n ( n ? 1) ? ? ? 6? ? 9n ? ? 3 ? ? 1 ? 3n ? 6n ? ? 3 ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 ,……………12 分 ? ? ? ? 2

显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.…………………………………………… 16 分 6.函数与导数 考纲解读 函数概念与基本初等函数Ⅰ 内容 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 幂函数 函数与方程(2015 年由 A 升 B) 函数模型及其应用 导数及其应用 内容 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性和极值 导数在实际问题中的应用 命题趋势 这两题近两年呈现交替状态,今年可能是 19 数列,20 函数. 13 A ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ B C ▲ ▲ ▲ A B ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ C

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函数的考查第 1,2 问还是比较简单,能保证基础扎实的学生获得一定的得分.近几年的考查基本是三次 函数、指对函数或与绝对值结合的函数性质研究,考查的方向多变.第 3 问(2 问的话则为第 2 问)一般与 不等式结合等,或研究函数的零点,或解决新定义问题,考查的方式比较新颖,设计与构思均很精妙,需 要较高的解决问题的能力. 今年对于函数迭代类的问题研究的比较多, 类似参考试题 1 (3) , 对函数零点类的问题研究也比较多, 比如参考试题 2(多研究零点个数、零点本身范围情况、零点和差积商的大小关系等). 参考试题 k(x-2) 参考试题 1:已知函数 f(x)=1+lnx- ,其中 k 为常数. x (1)若 k=0,求曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程; (2)若 k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点; (3)若 k 为整数,且当 x>2 时,f(x)>0 恒成立,求 k 的最大值. (参考数据 ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30) 解: (1)当 k=0 时,f(x)=1+lnx. 1 因为 f ?(x)= ,从而 f ?(1)=1. x 又 f (1)=1, 所以曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程 y-1=x-1, 即 x-y=0. ……… 3 分 10 (2)当 k=5 时,f(x)=lnx+ -4. x x-10 因为 f ?(x)= 2 ,从而 x 当 x∈(0,10),f ′(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=10 时,f(x)有极小值. ……………… 5 分 因 f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以 f(x)在(1,10)之间有一个零点. 10 因为 f(e4)=4+ 4 -4>0,所以 f(x)在(10,e4)之间有一个零点. e 从而 f(x)有两个不同的零点. …………… 8 分 k(x-2) (3)方法一:由题意知,1+lnx- >0 对 x∈(2,+∞)恒成立, x x+xlnx 即 k< 对 x∈(2,+∞)恒成立. x-2 x+xlnx x-2lnx-4 x-2 令 h(x)= ,则 h?(x)= . 2 .设 v(x)=x-2lnx-4,则 v?(x)= x x-2 (x-2) 当 x∈(2,+∞)时,v?(x)>0,所以 v(x)在(2,+∞)为增函数. 因为 v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0, 所以存在 x0∈(8,9),v(x0)=0,即 x0-2lnx0-4=0. 当 x∈(2,x0)时,h?(x)<0,h(x)单调递减,当 x∈(x0,+∞)时,h?(x)>0,h(x)单调递增. x0+x0lnx0 所以当 x=x0 时,h(x)的最小值 h(x0)= . x0-2 x0-4 x0 因为 lnx0= ,所以 h(x0)= ∈(4,4.5). 故所求的整数 k 的最大值为 4. 2 2 方法二:由题意知,1+lnx- k(x-2) >0 对 x∈(2,+∞)恒成立. x 14 …………… 16 分

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k(x-2) x-2k f(x)=1+lnx- ,f ?(x)= 2 . x x ①当 2k≤2,即 k≤1 时,f?(x)>0 对 x∈(2,+∞)恒成立, 所以 f(x)在(2,+∞)上单调递增.而 f(2)=1+ln2>0 成立,所以满足要求. ②当 2k>2,即 k>1 时, 当 x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,当 x∈(2k,+∞),f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=2k 时,f(x)有最小值 f(2k)=2+ln2k-k. 从而 f(x)>0 在 x∈(2,+∞)恒成立,等价于 2+ln2k-k>0. 令 g(k)=2+ln2k-k,则 g?(k)= 1-k <0,从而 g(k) 在(1,+∞)为减函数. k

因为 g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0 , 所以使 2+ln2k-k<0 成立的最大正整数 k=4. 综合①②,知所求的整数 k 的最大值为 4. ……… 16 分 参考试题 2:己知 f ( x) ? ex ? a ln x ? a ,其中常数 a ? 0 . (1)当 a ? e 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: (3)求证: e
2 x ?2

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? a ; a

? ex?1 ln x ? x ? 0 .

解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , (1)当 a ? e 时, f ( x) ? ex ? eln x ? e , f ?( x ) ? e ?
x

e , x

而 f ?( x ) ? e ?
x

e 在 (0, ??) 上单调递增,又 f ?(1) ? 0 , x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增, 所以 f ( x ) 有极小值 f (1) ? 0 ,没有极大值. (2)先证明:当 f ( x) ? 0 恒成立时,有 0 ? a ? e 成立. 若0 ? x ? …………3 分

1 ,则 f ( x) ? ex ? a(ln x ? 1) ? 0 显然成立; e
1 e x (ln x ? 1 ? ) x , (ln x ? 1) 2

1 ex ex 若 x ? ,由 f ( x) ? 0 得 a ? ,令 ? ( x) ? ,则 ? ?( x ) ? e ln x ? 1 ln x ? 1
令 g ( x) ? ln x ? 1 ?

1 1 1 1 ( x ? ) ,由 g ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 得 g ( x) 在 ( , ??) 上单调递增, x e x e 1 1 又因为 g (1) ? 0 ,所以 ? ?( x ) 在 ( ,1) 上为负,在 (1, ??) 上为正,因此 ? ( x) 在 ( ,1) 上递减,在 (1, ??) 上 e e
15

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递增,所以 ? ( x)min ? ? (1) ? e ,从而 0 ? a ? e . 因而函数 y ? f ( x) 若有两个零点,则 a ? e ,所以 f (1) ? e ? a ? 0 , 由 f (a) ? ea ? a ln a ? a(a ? e)得 f ?(a) ? ea ? ln a ? 2 ,则 f ??(a) ? e ?
a

1 1 1 ? ea ? ? e ? ? 0 , a e e

所以 f ?(a) ? ea ? ln a ? 2 在 (e, ??) 上单调递增,所以 f ?(a) ? f ?(e) ? ee ? 3 ? e2 ? 3 ? 0 , 所以 f (a) ? ea ? a ln a ? a 在 (e, ??) 上单调递增, 所以 f (a) ? f (e) ? ee ? 2e ? e2 ? 2e ? 0 ,则 f (1) f (a) ? 0 ,所以 1 ? x2 ? a , 由 a ? e 得 f ( ) ? e a ? a ln

1 a

1

1 1 1 1 ? a ? e a ? a ln a ? a ? e a ? a ln e ? a ? e a ? 0 ,则 a

1 1 1 f (1) f ( ) ? 0 ,所以 ? x1 ? 1 ,综上得 ? x1 ? 1 ? x2 ? a . a a a

…………10 分

(3)由(2)知当 a ? e 时, f ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) ? ex ? e ln x ? e ? 0 , 即 f ( x) ? ex ? e ln x ? e ,设 h( x) ?

x 1? x ( x ? 0) ,则 h?( x ) ? x , x e e

当 0 ? x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,

x x 1 1 x ( x ? 0) 的最大值为 h(1) ? ,即 x ? ,因而 x ? 2 ? e , x e e e e e x x 所以 f ( x) ? e ? e ln x ? e ? x ? 2 ,即 f ( x) ? e2 x?2 ? ex?1 ln x ? x ? 0 . …………16 分 e x 2 x ?2 0, ? ex?1 ln x ? x… 0 ,即证 e x ?1 ? ln x ? x ?1 … 评注 第(3)问也可以变形为要证: e e x x ?1 即证 e ? ln x… x ?1 ,一边形成最大值一边形成最小值的恒成立问题,属于恰好成立问题,读者自行尝试 e
所以 h( x) ? 解决,有时候再难的压轴题也有缺陷,读者试着去找到一些问题的软肋,进而辅助解决问题.

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江苏省 2015 年高考考前提醒报告的赠送说明
凡是购买黄金预测卷(江苏版)的读者预计在 5 月 25 日—6 月 1 日期间可收到一份“江 苏省 2015 年高考考前提醒”的报告(因为仅仅针对江苏卷,省外购买密押卷的学生如需获取 请在 6 月 1 日前联系 anson_top@163.com) ,内含很多解决问题的策略,供读者参考! 附上报告的初步模型以供参考.

江苏省 2015 年高考考前提醒 文理公共部分
题海无涯,这里只选取部分代表性问题作为回顾,问题前的星号只代表一般情况下考查的方向. 总之,数学解决问题的方式可以归结为如下几句:

问题识别(思维) ,设定路线(方法) ,运算求解(解答) ,方法调整(优化).

一、填空题
【1】★集合问题

?离散集合运算 ? 枚举、韦恩图? ? ?大部分的时候靠脑子运算即可 ? ?连续集合的运算 ?数轴? ? ?研究函数的定义域 由外及内 ,取之交集 ? ? ?

【考前练习】 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ?1 , 3, 5, 7, 9? , B ? ?0, 3, 6, 9, 12?,那么 A ? ? UB ? . 提示枚举法, A ? ? 1,5,7? . UB ??

A ?. 2. 设全集 U ? ? ?2,2? ,若集合 A 满足 ? U A ? ?1,2? ,则
提示数轴分析, A ? ??2,1? ? ?2? . 【2】★复数问题

? ? ? ?死算 ? ?复数纯粹化简问题 ? ? 化简求值、研究所在象限 2 拆解 i ? ? 1 后因式分解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?死算 ? ? ?若z1 ? z2 z3,则 z1 ? z2 z3 ? ? ?复数模的运算,方法 ?利用性质 ? z z z ? ? ? 若z1 ? 2 ,则 z1 ? 2 = 2 ? ? ? z3 z3 z3 ? ? ?
【考前练习】 1. 设复数 z 满足 zi ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? .

1 ? 2i ?1 ? 2i ?? ?i ? ? ? 2 ? i ,故 z ? 5 . i ?i 2 1 ? 2i ?i 2 ? 2i ? ? 2 ? i ,故 z ? 5 . 解法二: z ? i i
提示解法一: z ? 17

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解法三:因为 zi ? 1 ? 2i ,故 zi ? z i ? 1 ? 2i ? 5 ,则 z ? 5 . 解法四:因为 zi ? 1 ? 2i ,故 z ?

1 ? 2i 1 ? 2i 1 ? 2i 5 ,则 z ? ? ? ? 5. i i i 1 1 . 2

2.设复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? x ? i ? x ? R? ,若在 z1 ? z2 为实数,则 x ? . 提示 z1 ? z2 ? ?1 ? 2i ?? x ? i ? ? ? x ? 2 ? ? ? ?1 ? 2 x ? i 为实数,故 x ? ? 【13】★★★向量问题

?与模有关 ?平方居多? ? ?经典模型 ? 三角形法则、四边形法则? ? ? ? ?三点共线 ?经典 ? ?三角形顶点与底边某点连线的表达 ? ? ?向量转化 ? ?三角形邻边取两点,与对应顶点连线交点与顶点的表达 ? ??? ? ?? ? ? ?向量构造 构造OB ? ? OA ,再进行推证 ? ? 策略 ? ?特殊位置考查 ?将一般点置于中点、中心等,类似一模 ? ? ? ? ?与向量点乘有关 ?坐标形式运算 ? ? ?向量的数量积转化 ? ?建系的原则是对称好用 ? ?建立直角坐标系?实在行不通可将题目中的条件优化使用特殊直角坐标系 ? ?

?

?

【考前练习】 1. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 设 直 线 l : kx-y ? 2 ? 0 与 圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 相 交 于 A、B 两 点 ,

???? ? ??? ? ??? ? OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ? . ???? ? ??? ? ??? ? 提示 OM ? OA ? OB ,则四边形 OAMB 是锐角为 60 ? 的菱形,此时,点 O 到 AB 距离为 1 .


2 1? k2

? 1 , 解出 k ? ?1 .
2 2

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x ? y ? 1 ,点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l : 3x ? 2 y ? 4 ? 0 上.若圆

??? ? ??? ? ??? ? C 上总存在不同的两点 A, B ,使得 OA ? OB ? OP ,则 x0 的取值范围是.
提示分析易知,只需 OP 的中点在圆内即可,因为 P ? x0 , y0 ? ,则 OP 的中点为 ?
2 x0 ? x0 ? ? y0 ? ? 3x ? 4 ? 因此 ? ? ? ? ? ? 1 ,即 ?? 0 ? ? 1, 4 ? ?4 ? ?2? ? 2? 2 2 2

? x0 y0 ? , ?, ?2 2?

2 整理即 4 x0 ? ? 3 x0 ? 4 ? ? 16 ,即 13x0 ? 24 x0 ? 0 ,从而 0 ? x0 ?
2 2

24 . 13

18


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