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第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业

第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业


"【全程复习方略】2014-2015 学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元 质量评估课时作业 新人教 A 版选修 2-1 "
(120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.下列说法中不正确的是( )

A.平面α 的法向量垂直于与平面α 共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果 a,b 与平面α 共面且 n⊥a,n⊥b,那么 n 就是平面α 的一个法向量 【解析】选 D.只有当 a,b 不共线且 a∥α ,b∥α 时,D 才正确. 2.同时垂直于 a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( A. B. C. D. 或 )

【解析】选 D.设所求向量为 c=(x,y,z),由 c·a=0 及 c·b=0 及|c|=1 得

检验知选 D.

3.(2014·金华高二检测)已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 共面,则实数λ 等于( A. B. C. D.

)

【解析】选 D.易得 c=ta+μ b=(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ) ,

所以

解得

故选 D.

4.(2014·银川高二检测)已知矩形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,则以下等式中可能不成立的是(

)
-1-

A. C.

· ·

=0 =0

B.

· D.

=0 · =0

【解析】选 B.选项 A, ? DA⊥PB? · =0;由 A 可知

? DA⊥平面 PAB · · =0,C 正确; =0;

选项 D,PA⊥平面 ABCD? PA⊥CD? 选项 B,若 · =0,则 BD⊥PC,

又 BD⊥PA,所以 BD⊥平面 PAC,故 BD⊥AC, 但在矩形 ABCD 中不一定有 BD⊥AC,故 B 不一定成立. 5.已知 a=(cosα ,1,sinα ),b=(sinα ,1,cosα ),且 a∥b,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( A.90° B.60°
2 2

)

C.30°

D.0°

【解析】选 A.因为|a| =2,|b| =2, (a+b)·(a-b)=|a| -|b| =0, 所以(a+b)⊥(a-b),故选 A. 【变式训练】已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则 A.30° 【解析】选 C. =60°. B.45° =(0,3,3), C.60° =(-1,1,0). 设 < D.90° , >= θ , 则 cos θ = = = , 所以 θ 与 的夹角为( )
2 2

( b) 6.(2014· 长春高二检测)已知向量 e1,e2,e3 是两两垂直的单位向量,且 a=3e 1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·
等于( A.15 ) B.3 C.-3 D.5
2 2

1 2

【解析】选 B.(6a)· ( b ) =3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1| -6|e3| =3. 7.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 F 是侧面 CDD′C′的中心,若 ( A.0 ) B.1 = + C. ,
-2-

1 2

=

+x

+y

,则 x-y 等于

D.-

【解析】选 A.如图所示,

所以 所以 因为

=x =x =

+y +y +

, , , = ,

所以 x=y= ,x-y=0. 8.(2014 ·安庆高二检测 ) 如图 , 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 , 若点 P 满足 = + ,则| | 的值为(
2

)

A.

B.2

C.

D.

【解析】选 D.过点 C 作 CE 垂直于 BD,垂足为 E, 连接 AE,则得 AC=1,故三角形 ABC 为正 三角形.

| 1+(

|= ) - ×1×1×cos∠ABC
2

2

=

+

+

-

·

+

·

-

·

= ×1+ ×

= - = . 9.已知 A(4,1,3),B(2,-5,1),C 是线段 AB 上一点,且 A. C. 【解析】选 C.由题意知,2 设 C(x,y,z), 则 2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z), = , B. D. = ,则 C 点的坐标为( )

-3-



解得

即C

. )

10.已知△ABC 的顶点 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则 AC 边上的高 BD 的长等于( A.3 B.4 C.5 D.6 =(x-1,y+1,z-2), =(x-5,y+6,z-2), =(0,4,-3),

【解析】选 C.设 D(x,y,z),则 因为 ∥ ,且 ⊥ ,

所以

解得

所以|

|=5. =λ ,D(x,y,z),

【一题多解】设

则(x-1,y+1,z-2)=λ (0,4,-3), 所以 x=1,y=4λ -1,z=2-3λ . 所以 又 =(-4,4λ +5,-3λ ), =(0,4,-3), ⊥ ,

所以 4(4λ +5)-3(-3λ )=0, 所以λ =- , 所以 = ,

所以|

|=

=5.

11.( 2014· 绵阳高二检测)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 的中点 ,则点 E 到平面 ACD1 的距离为( )
-4-

A.

B.

C.

D.

【解析】选 C 如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,

则 D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0). 从而 =(1,1,-1), =(-1,2,0), =(-1,0,1),

设平面 ACD1 的法向量为 n=(a,b,c),







令 a=2,则 n=(2,1,2).

所以点 E 到平面 ACD1 的距离为

d=

=

= .

12.(2014· 荆州高二检测)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F 且 EF= 则下列结论中错误的是( )

,

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值
-5-

D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 【解析】选 D.因为 AC⊥平 面 BB1D1D, 又 BE? 平面 BB1D1D. 所以 AC⊥BE,故 A 正确. 因为 B1D1∥平面 ABCD, 又 E,F 在直线 D1B1 上运动, 所以 EF∥平面 ABCD,故 B 正确. C 中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变, 故△BEF 的面积为定值, 又点 A 到平面 BEF 的距离为 故 VA-BEF 为定值. ①当点 E 在 D1 处,点 F 为 D1B1 的中点时,建立空间直角坐标系, 如图所示,可得 A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F , ,

所以 所以 又|

=(0,-1,1), · |= = . ,| , |= >=

=

,

, = = .

所以 cos<

所以此时异面直线 AE 与 BF 成 30°角. ②当点 E 为 D1B1 的中点,点 F 在 B1 处时, 此时 E 所以 = ,F(0,1,1). , =(0,0,1),
-6-

所以

·

=1,

|

|=

=

,

所以 cos<

,

>=

=

=



,故选 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,则< 【解析】 所以< , = ,因为△A′BD 为正三角形, , >=120°. , >= .

>=120°,即<

答案:120° 14.已知正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,上底面 A1B1C1D1 边长为 1,下底面 ABCD 边长为 2,侧棱与底面所成的角为 60°,则异面直线 AD1 与 B1C 所成角的余弦值为 【解析】设上、下底面中心分别为 O1,O, .

则 OO1⊥平面 ABCD,以 O 为原点,直线 BD,AC,OO1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 因为 AB=2,A1B1=1,所以 AC=BD=2 ,A1C1=B1D1= ,

因为平面 BDD1B1⊥平面 ABCD,所以∠B1BO 为侧棱与底面所成的角, 所以∠B1BO=60°, 设棱台高为 h,则 tan60°= ,

所以 h=

, ,0),D1 ,

所以 A(0,-

-7-

B1 所以 = =

,C(0,

,0), , ,

所以 cos<

,

>=

= ,

故异面直线 AD1 与 B1C 所成角的余弦值为 . 答案: 【变式训练】如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 CC1 的中点,则异面直线 D1E 与 AC 所成角的余弦值是 .

【解析】如图,建立空间直角坐标系,

则 A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2), cos< , >= = . .

=(-4,4,0),

=(0,4,-2).

所以异面直线 D1E 与 AC 所成角的余弦值为 答案:

-8-

15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为棱长为 1 的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为α ,则 sinα 的值是 . ,计算 cos<n, >即可求解 sin

【解题指南】 建立空间直角坐标系,求出平面 AA1C1C 的一个法向量 n 和 α . 【解析】 如图,建立空间直角坐标系,易求点 D

,平面 AA1C1C 的一个

法向量 n=(1,0,0),所以 cos<n, 答案: 16.给出命题:①在□ABCD 中, +

>=

=

,即 sinα =

.

=

;②在△ABC 中,若

·

>0, = ( + );④在空间四 .

则△ABC 是锐角三角形;③在梯形 ABCD 中,E,F 分别是两腰 BC,DA 的中点,则 边形 ABCD 中,E,F 分别是边 BC,DA 的中点,则 = ( +

).以上命题中,正确命题的序号是

【解析】①满足向量运算的平行四边形法则,①正确; · =| |·| |·cosA>0? ∠A<90°,但∠B,∠C 无法确定,所以△

ABC 是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线的性质,正确;④ 如 + 则 图 = = ( + + , + = +2 = =2( + )=2 + , ,

),正确.

答案:①③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心,用向量 表示向量 , . , ,

-9-

【解析】 = = =+ + +

= = = +

+ + ( .

=-

-

+

.

-

)

18.(12 分)(2014·福州高二检测)如图所示,已知 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,PA=AD,M,N 分别为 AB,PC 的 中点.求证:

(1)MN∥平面 PAD. (2)平面 PMC⊥平面 PDC. 【证明】如图所示,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PA=AD=a,AB=b.

(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0), C(b,a,0),B(b,0,0). 因为 M, N 分别为 AB,PC 的中点, 所以 M 所以 所以 = = + ,N , . . =(0,0,a), =(0,a,0),

又因为 MN?平面 PAD,
- 10 -

所以 MN∥平面 PAD. (2)由(1)可知: P(0,0,a),C(b,a,0),M 所以 =(b,a,-a), = ,D(0,a,0). , =(0,a,-a).

设平面 PMC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),



所以

令 z1=b,则 n1=(2a,-b,b). 设平面 PDC 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),



所以 令 z2=1,则 n2=(0,1,1). 因为 n1·n2=0-b+b=0,所以 n1⊥n2. 所以平面 PMC⊥平面 PDC. 【知识拓展】用向量证明线 面平行的主要方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量. (3)利用共面向量定理,在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来. 19.(12 分)如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°.当 的值等于多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?

- 11 -

【解析】不妨设

=x,CC1=1,A1C⊥平面 C1BD,

则 A1C⊥C1B,A1C⊥C1D, 而 由 注意到 因此,当 = · · + , =0,得( + · = + + = + + )·( = +
2

+ )=

+ -

, + · + · =0,

,可得方程 1-x +

=0,解得 x=1 或 x=- (舍).

=1 时,能使 A1C⊥平面 C1BD.

20.(12 分)(2013· 上海高考)如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1,证明直线 BC′平行 于平面 D′AC,并求 直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C′(0,2,0),D′ (0,0,0).



=(1,0,1),

=(0,2,1),

设平面 D′AC 的法向量 n=(u,v,w), 由 n⊥ 所以 n· ,n⊥ =0,n· , =0,即

解得 u=2v,w=-2v, 取 v=1,得平面 D′AC 的一个法向量 n=(2,1,-2). 因为 =(-1,0,-1),
- 12 -

所以 n·

=0,所以 n⊥

.

又 BC′不在平面 D′AC 内, 所以直线 BC′与平面 D′AC 平行.



=(1,0,0),得点 B 到平面 D′AC 的距离 d=

=

= ,所以直线 BC′到平

面 D′AC 的距离为 . 21.(12 分)(2014·广东高考)四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC= 30°,AF⊥PC 于点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E.

(1)证明:CF⊥平面 ADF. (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值. 【解题指南】(1)采用几何法较为方便,证 AD⊥平面 PCD? CF⊥AD,又 CF⊥AF? CF⊥平面 ADF. (2)采用向量法较为方便,以 D 为原点建立空间直角坐标系,设 DC=2,计算出 DE,EF 的值,得到 A,C,E,F 的坐 标,注意到 为平面 ADF 的一个法向量.

【解析】(1)因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 AD⊥DC. 又 PD⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AD,DC∩PD=D, 所以 AD⊥平面 PCD. 又 CF? 平面 PCD, 所以 CF⊥AD, 而 AF⊥PC,即 AF⊥FC, 又 AD∩AF=A, 所以 CF⊥平面 ADF.
- 13 -

(2)以 D 为原点,DP,DC,DA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 DC=2,由(1)知 PC⊥DF, 即∠CDF=∠DPC=30°, 有 FC= DC=1,DF= DE= DF= ,EF= FC= DE= , ,F , = , , ,A(0,0,2),C(0,2,0), ,

则 D(0,0,0),E = =

设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y, z),





取 x=4,有 y=0,z=

,n=(4,0, =

), , = =,

又平面 ADF 的一个法向量 所以 cos<n, >=

所以二面角 D-AF-E 的余弦值为

.

【变式训练】 (2014· 北京高二检测)如图,四边形 ABCD 是正方形,EA⊥平面 ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为 PB,EB,PC 的中点.

(1)求证:FG∥平面 PED. (2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.
- 14 -

(3)在线段 PC 上是否存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60°?若存在,求出线段 PM 的长;若不存 在,请说明理由. 【解析】(1)因为 F,G 分别为 PB,BE 的中点, 所以 FG∥P E. 又 FG?平面 PED,PE? 平面 PED, 所以 FG∥平面 PED. (2)因为 EA⊥平面 ABCD,EA∥PD, 所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD,PD⊥CD. 又因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD⊥CD. 如图,建立空间直角坐标系, 因为 AD=PD=2EA=2, 所以 D B ,P ,E(2,0,1). ,A ,C ,

因为 F,G,H 分别为 PB,EB,PC 的中点, 所以 F 所以 = ,G , ,H(0,1,1). = .

设 n1=(x1,y1,z1)为平面 FGH 的一个法向量,





再令 y1=1,得 n1=(0,1,0).

=(2,2,-2),

=(0,2,-2).

设 n2=(x2,y2,z2)为平面 PBC 的一个法向量,





令 z2=1,得 n2=(0,1,1).

- 15 -

所以 所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 . (3)假设在线段 PC 上存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60°. 依题意可设 由 =λ ,其中 0≤λ ≤1. =(0,2λ ,-2λ ). , =(-1,-1,1),

=(0,2,-2),则 = +

又因为 所以

=(-1, 2λ -1,1-2λ ). =(2,0,-2),

因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60°, 所以 即 = 解得λ = . 所以 = , = . , = ,

所以在线段 PC 上存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60°,此时 PM 的长度为 22.(12 ABCD, 分 ) 四 棱 锥 =(2,-1,-4), P-ABCD =(4,2,0), 中 , 底 面 ABCD

.

是 一 个 平 行 四 边 形 ,PA ⊥ 底 面

=(-1,2,-1).

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积. (2) 对 于 向 量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3), 定 义 一 种 运 算 :(a ×

b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1. 试计算( ( × × )· )· 的绝对值的值;说明其与四棱锥 P-ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算

的绝对值的几何意义. , >=θ ,则 cosθ = = .所以 sinθ = .

【解析】(1)设<

所以 V= S□ABCD| (2)

|= |

||

|sinθ |

|=16.

=|-4-32+0-0-4-8|=48,它是四棱锥 P-ABCD 体积的 3 倍.
- 16 -

猜想: 直四棱柱的体积).

在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平行六面体的体积(或以 AB,AD,AP 为棱的

【技法点拨】向量法在数形结合思想中的应用 向量是有效沟通“数”与“形”的桥梁.在学习中我们一定要充分理解向量概念及向量运算的几何意 义,从而有效利用向量工具解决实际问题.如对空间直线的向量表示,应明确空间直线是由空间一点及直线 的方向向量惟一确定.

- 17 -


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