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高中数学第一章导数及其应用复习课件新人教A版选修2-2_图文

高中数学第一章导数及其应用复习课件新人教A版选修2-2_图文

第三章 导数及其应用复习小结

本章知识结构
函数的瞬时变化率

导数概念

运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导

导数

导数运算

导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、 函数的极值、最值

导数应用

曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题

一.知识串讲 曲线的切线
以曲线的切线为例,在一条曲线 : 以曲线的切线为例,在一条曲线C:y=f(x) 上取一点P(x0,y0),点Q(x0+△x,y0+△y) 上取一点 , △ , △ 是曲线C上与点 临近的一点,做割线 是曲线 上与点P临近的一点 做割线PQ 上与点 临近的一点, 沿曲线C无限地趋近点 ,当点Q沿曲线 无限地趋近点 时,割线 当点 沿曲线 无限地趋近点P时 PQ便无限地趋近于某一极限位置 ,我们 便无限地趋近于某一极限位置PT, 便无限地趋近于某一极限位置 就把直线PT叫做曲线 的在点 处的切线。 就把直线 叫做曲线C的在点 处的切线。 叫做曲线 的在点P处的切线

此时割线PT斜率的极限就是曲线 在点 处的切线的斜率, 此时割线 斜率的极限就是曲线C在点 处的切线的斜率, 斜率的极限就是曲线 在点P处的切线的斜率 用极限运算的表达式来写出, 用极限运算的表达式来写出,即 k=tanα= lim f (x0 +?x) ? f (x0 )
?x→0

?x

导数的概念: (一)导数的概念:
1.导数的定义 对函数 导数的定义:对函数 导数的定义 对函数y=f(x),在点 ,在点x=x0处给自变量 x以增量△x,函数 相应有增量△y=f(x0+△ x)-f(x0), 以增量△ ,函数y相应有增量 相应有增量△ 以增量 △ - , 存在, 若极限 lim ?y = lim f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 存在,则此极限称为
?x → 0

?x

?x → 0

?x

f(x)在点 在点x=x0处的导数,记为 ’(x0),或y|x = x ; 处的导数,记为f 在点 ,
0

2.导函数:如果函数y=f(x)在区间 ,b)内每一点都可导, .导函数:如果函数 在区间(a, 内每一点都可导 内每一点都可导, 在区间 就说y=f(x)在区间 ,b)内可导.即对于开区间 ,b)内每一个 在区间(a, 内可导 即对于开区间(a, 内每一个 内可导. 就说 在区间 确定的x 都相对应着一个确定的导数f 确定的 0值,都相对应着一个确定的导数 ’(x0),这样在开区 , 内构成一个新函数, 间(a,b)内构成一个新函数,把这一新函数叫做 , 内构成一个新函数 把这一新函数叫做f(x)在(a,b)内 在 , 内 的导函数.简称导数.记作 的导函数.简称导数.记作f ’(x)或y’. 或 即f ’(x)=y’= lim f ( x + ? x ) ? f ( x ) ?x → 0 ?x

3.导数的几何意义:函数y=f(x)在点 0处的导数的几何意 .导数的几何意义:函数 在点x 在点 处的切线的斜率, 义,就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 就是曲线 在 处的切线的斜率 y=f(x)在点 0,f(x0))处的切线斜率为 =f ’(x0).所以曲线 y= 在点P(x 处的切线斜率为k= 在点 处的切线斜率为 . = f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 在点 处的切线方程为 y?y0=f ’(x0)·(x-x0). ? - . 4.导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间 .导数的物理意义:物体作直线运动时,路程 关于时间 关于时间t 的函数为: 对于时间t的导数 的导数, 的函数为:s=s(t),那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间 的导数, , 即v(t)=s’(t).

基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则f' x)=0 )=c ( )=0 2.若f(x)=x n,则f' x)=nx n-1 (n ∈ R) )=x ( )=nx 3.若f(x)=sinx,则f' x)=cosx )=sinx sinx, ( )=cosx 4.若f(x)=cosx,则f (x)=-sinx )=cosx cosx, )=-sinx 5.若f(x)=a ,则f (x)=a ln a )=a )=a 6.若f(x)=e ,则f (x)=e )=e )=e
' x ' x x ' x '

1 7.若f(x)=logax,则f (x)= )=log x, xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f (x)= )=lnx lnx, x
返回

导数的运算法则: 导数的运算法则:
法则1:两个函数的和( 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 1:两个函数的和 的导数, 和(差),即: ),即 ′

[ f (x) ± g(x)] = f ′(x) ± g′(x)

法则2:两个函数的积的导数, 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 2:两个函数的积的导数 函数, 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

[ f (x) g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)

法则3:两个函数的积的导数, 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 3:两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 函数, 数的平方. 数的平方.即:

? f (x) ?′ f ′(x)g(x) ? f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) ? g(x) ? = 2 ? ? [ g(x)]
返回

当点Q沿着曲线无限接近点 当点Q x→0时 割线PQ PQ如果有一 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT. PT.则我们把直线 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P 切线. PT称为曲线在点P处的切线.

y=f Q (x)

设切线的倾斜角为α 设切线的倾斜角为α,那 α P 么当Δx→0时 割线PQ PQ的 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. 切线的斜率. f (x0 +?x) ? f (x0 ) ?y ' = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x

割 线 T 切 线 x

返回

定理 一般地,函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 f′(x)>0, y=f( 1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增 内单调递增; 在这个区间(a,b)内单调递增; 2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x) f′(x)<0, y=f( 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x) f '(x)<0

o a o a b x b x 为常数. 如果在某个区间内恒有 f ′(x) = 0 ,则 f (x)为常数 返回 则

函数的极值 1)如果 如果b (x)=0的一个根 (x)>0, 1)如果b是f’(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f’(x)>0, (x)=0的一个根,并且在b左侧附近f (x)>0 右侧附近f (x)<0 那么f(b)是函数f(x) (x)<0, f(b)是函数f(x)的一个极大值 在b右侧附近f’(x)<0,那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 如果a (x)=0 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根 , 并且在 a 的左侧附近 (x)= 的一个根, 并且在a (x)<0 (x)>0 f’(x)<0 , 在 a 右侧附近 f’(x)>0 , 那么是 f(a) 函数 (x)< (x)> f(x)的一个极小值 的一个极小值. f(x)的一个极小值. 导数等于零的点不一定是极值点. 注:导数等于零的点不一定是极值点. 函数的最大( 函数的最大(小)值与导数
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 [a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断 则它必有最大值和最小值. 必有最大值和最小值 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y

f(x3)
f(b)

a x1
g
f(a)

x2
0

g

x4 x3 b x 返回

f(x2)

函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲

例 5(05 山东 19)已知 x = 1 是函数 已知 的一个极值点, f ( x) = mx ? 3(m + 1) x + nx + 1 的一个极值点,其中
3 2

m, n ∈ R, m < 0 ,
(I)求 m 与 n 的关系表达式; 的关系表达式; ) 的单调区间; (II)求 f ( x) 的单调区间; ) ( III)当 x ∈ [ ?1,1] 时 ,函数 y = f ( x) 的图象上任意一 ) 函数 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围 求 的取值范围.

函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲

解 :(I) f ′( x ) = 3mx ? 6( m + 1) x + n 因为 x = 1 是函数 f ( x ) 的
2

一 个极值 点 ,所以 f ′(1) = 0 , 即 3m ? 6( m + 1) + n = 0 , 所以 所以

n = 3m + 6 .

函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲

? ? 2 ?? (II)由(I)知, f ′( x) = 3mx ? 6(m + 1) x + 3m + 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 + ? ? ) ) ? ? m ??
2

2 的变化如下表: 当 m < 0 时,有 1 > 1 + ,当 x 变化时 f ( x) 与 f ′( x) 的变化如下表: 有 当 变化时, m

x f ′( x)
f ( x)

2? ? ? ?∞,1 + ? m? ?
?

2 1+ m
0 极小值

2 ? ? ?1 + ,1? ? m ?

1

(1, +∞ )
?

+

0 极大值

2? 2 ? ? ? 故由上表知,当 单调递减,在 单调递增, 故由上表知 当 m < 0 时 , f ( x) 在 ? ?∞,1 + ? 单调递减 在 ?1 + ,1? 单调递增 m? ? ? m ?
上单调递减. 在 (1, +∞) 上单调递减

(III)由已知得 f ′( x) > 3m ,即 mx ? 2( m + 1) x + 2 > 0 .又 m < 0 所 ) 又
2

2 2 2 2 2 以 x ? ( m + 1) x + < 0 ,即 x ? ( m + 1) x + < 0, x ∈ [ ?1,1] ① 即 m m m m 1 2 2 其函数开口向上,由题意知 设 g ( x ) = x ? 2(1 + ) x + ,其函数开口向上 由题意知①式恒成立 其函数开口向上 由题意知①式恒成立, m m
2

2 2 ? ? g (?1) < 0, ?1 + 2 + + < 0, 4 ?? 所以 ? 解之得 ? < m 又 m < 0 所以 m m 3 ? g (1) < 0. ??1 < 0. ?
4 ? 4 ? ? < m < 0 .即 m 的取值范围为 ? ? , 0 ? . 即 3 ? 3 ?

函数的最大值与最小值: (五)函数的最大值与最小值:
1.定义:最值是一个整体性概念,是指函数在给定区 .定义:最值是一个整体性概念, 或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值 间(或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值,最大数 或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值, 值叫最大值,最小的值叫最小值,通常最大值记为 , 值叫最大值,最小的值叫最小值,通常最大值记为M,最小 值记为m. 值记为

2.存在性:在闭区间[a,b]上连续函数 在[a,b]上必 .存在性:在闭区间 , 上连续函数 上连续函数f(x)在 , 上必 有最大值与最小值. 有最大值与最小值. 3.求最大(小)值的方法:函数f(x)在闭区间 ,b]上最 .求最大( 在闭区间[a, 上最 值的方法:函数 在闭区间 值求法: 值求法: 求出f(x)在(a,b)内的极值; 内的极值; ① 求出 在 , 内的极值 将函数f(x)的极值与 ,f(b)比较,其中较大的一个是 的极值与f(a), 比较, ② 将函数 的极值与 比较 最大值,较小的一个是最小值 最大值,较小的一个是最小值.

【函数的极值和最值问题】 函数的极值和最值问题】
例 6(05 北京 15)已知函数 f ( x ) = ? x + 3 x + 9 x + a . 已知函数
3 2

的单调递减区间; (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ) f ( x ) 在区间 [ ?2, 2] 上的最大值为 20,求它在该 若 求它在该 区间上的最小值. 区间上的最小值.
(Ⅰ 解: Ⅰ)f ′ ( x ) = ?3 x + 6 x + 9 .令 f ′ ( x ) < 0 ,解得 x < ?1 或 ( 令 解得
2

所以函数 x > 3 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?∞, ?1) , ( 3, +∞ ) .

例 6(05 北京 15)已知函数 f ( x ) = ? x + 3 x + 9 x + a . 已知函数
3 2

的单调递减区间; ( Ⅰ ) 求 f ( x ) 的单调递减区间 ; Ⅱ ) 若 f ( x ) 在区间 ( 求它在该区间上的最小值. 求它在该区间上的最小值 [ ?2, 2] 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
(Ⅱ)当 x ∈ [ ?2, 2] 时

x
f ′( x)

?2

( ?2, ?1)
?

?1
0
极小

( ?1, 2 )
+

2

f ( x)

2+a

22 + a

因为 f ( ?2 ) = 2 + a , f ( 2 ) = 22 + a ,所以 f ( 2 ) > f ( ?2 ) . 所以

函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲

上单调递增, 因为在 ( ?1,3) 上 f ′ ( x ) > 0 ,所以 f ( x ) 在 [ ?1, 2] 上单调递增, 所以 上单调递减, 又由于 f ( x ) 在 [ ?2, ?1] 上单调递减,因此 f ( 2 ) 和 f ( ?1) 分别 是 f ( x ) 在 区 间 [ ?2, 2] 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有

22 + a = 20 ,解得 a = ?2 . 解得
故 f ( x ) = ? x + 3 x + 9 x ? 2 ,因此 f ( ?1) = 1 + 3 ? 9 ? 2 = ?7 , 因此
3 2

即函数 f ( x ) 在区间 [ ?2, 2] 上的最小值为 ?7 .

例 7 ( 06 北 京 16 ) 已 知 函 数

f ( x) = ax + bx + cx 在 点 x0 处 取 得极大值 5 ,其导函数 y = f ′( x) 的图 其导函数 如图所示.求 象经过点 (1,0) , (2,0) ,如图所示 求: 如图所示 的值; (Ⅰ) x0 的值 的值. (Ⅱ) a, b, c 的值.
3 2

y

O

1

2

x

解法一:( 由图象可知,在 解法一 ( Ⅰ )由图象可知 在 ( ?∞,1) 上 f ′ ( x ) > 0 ,在 (1, 2 ) 上 在 大值,所以 x0 = 1 . 大值 所以

f ′ ( x ) < 0 ,在 ( 2, +∞ ) 上 f ′ ( x ) > 0 ,故 f ( x ) 在 x = 1 处取得极 在 故

(Ⅱ)f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c ,由 f ′ (1) = 0, f ′ ( 2 ) = 0, f (1) = 5 , 由
2

?3a + 2b + c = 0, ? 得 ?12a + 4b + c = 0, 解得 a = 2, b = ?9, c = 12 . ? a + b + c = 5. ?
解法二: 同解法一. 解法二 (Ⅰ)同解法一 ( Ⅱ ) 设 f ′ ( x ) = m ( x ? 1)( x ? 2 ) = mx ? 3mx + 2m , 又
2

f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c ,所以 所以

m 3 m 3 3 2 a = , b = ? m, c = 2m . f ( x ) = x ? x + 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f (1) = 5 ,即 ? + 2m = 5 ,得 m = 6 . 即 得 两年北京导 3 2
所以 a = 2, b = ?9, c = 12 .

数题, 数题,感想如 何?

3-x+2和点 例1.已经曲线 :y=x .已经曲线C: 和点

A(1,2)。求在点A处的切线方程? 。求在点 处的切线方程 处的切线方程?
解:f/(x)=3x2-1, , ∴k= f/(1)=2 所求的切线方程为: ∴所求的切线方程为: y-2=2(x-1), - - 即 y=2x

和点(1,2)求 例1.已经曲线 :y=x3-x+2和点 .已经曲线C: 和点 求 在点A处的切线方程 处的切线方程? 在点 处的切线方程?
变式1:求过点 的切线方程 的切线方程? 变式 :求过点A的切线方程?
解:变1:设切点为 (x0,x03-x0+2), :设切点为P( ), k= f/(x0)= 3 x02-1, , ∴切线方程为 切线方程为 y- ( x03-x0+2)=(3 x02-1)(x-x0) x 切线过点A(1,2) 又∵切线过点 ∴2-( x03-x0+2)=( 3 x02-1)(1-x0) 2 - 化简得(x 化简得 0-1)2(2 x0+1)=0, , 1 解得x 解得 0=1或x0=- 或 - 2 ①当x0=1时,所求的切线方程为:y-2=2(x-1),即y=2x 时 所求的切线方程为: x 即

1 所求的切线方程为: ②当x0=- 时,所求的切线方程为: - 2

1 y-2= - (x-1),即x+4y-9=0 - - 即 - 4

和点(1,2)求 例1:已经曲线 :y=x3-x+2和点 :已经曲线C: 和点 求 在点A处的切线方程 处的切线方程? 在点 处的切线方程?
变式1:求过点 的切线方程 的切线方程? 变式 :求过点A的切线方程? 变式2:若曲线上一点 处的切线恰好平行于直 变式 :若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 或- 线y=11x-1,则P点坐标为 (2,8)或(- 2, -4) - , 点坐标为 ____________, - 或 切线方程为_____________________. 切线方程为 y=11x-14或y=11x+18 .

过原点的切线方程. 例 2 求曲线 f ( x ) = x ? 3x + 2 x 过原点的切线方程 2 解: f ′ ( x ) = 3 x ? 6 x + 2 .设切线斜率为 k , 设切线斜率为
3 2

(1) 当切点 是原点 时 , k = f ′ ( 0 ) = 2 , 所 以所 求曲线 的切线 方程为

y = 2x .
(2)当切点不是原点时 设切点是 ( x0 , y0 ) ,则有 y0 = x0 ? 3 x0 + 2 x0 , 当切点不是原点时,设切点是 当切点不是原点时 则有
3 2

y0 2 k = f ′ ( x0 ) = 3 x0 2 ? 6 x0 + 2 ,故得 = x0 ? 3 x0 + 2 ,又 即k = 又 故得 x0 y0 3 1 1 x0 = , k = = ? ,所求曲线的切线方程为 y = ? x . 所求曲线的切线方程为 4 2 x0 4

函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲

小评:“过某点 与“在某点处 的不同.故审题应细 小评 过某点”与 在某点处”的不同 故审题应细. 过某点 在某点处 的不同 故审题应细
又如:曲线 y =
3

( x ? 1)

2

在 点 (1, 0 ) 处 的 切 线 问

处的导数不存在,说明该曲线在点 题 . x = 1 处的导数不存在 说明该曲线在点 (1, 0 ) 处的 切线的斜率趋于无穷大,倾斜角为

π
2

,所以曲线

y=

3

( x ? 1)

2

在点 (1, 0 ) 处的切线方程为 x = 1 .

三. 小结: 小结
(1)正确理解导数的概念和意义,导数是一个函数的改变量 )正确理解导数的概念和意义, 与自变量的改变量的比值的极限, 与自变量的改变量的比值的极限,它反映的是函数的变化率 点附近的变化快慢; ,即函数值在x=x0点附近的变化快慢;所以只有与变化率有 即函数值在 关的问题都可以用导数来解决; 关的问题都可以用导数来解决; (2)掌握求导数的方法,特别是在求复合函数的导数时,一 )掌握求导数的方法,特别是在求复合函数的导数时, 定要把握层次,把每一层的复合关系都看清楚; 定要把握层次,把每一层的复合关系都看清楚; (3)利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数 )利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、 的极大( 的极大(小)值、函数的最大(小)值以及一 函数的最大( 些与实际相关的问题。 些与实际相关的问题。


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