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【推荐】2018-2019学年高二数学人教b版选修4-5课件:第二章_2.2_排序不等式_图文

【推荐】2018-2019学年高二数学人教b版选修4-5课件:第二章_2.2_排序不等式_图文

2 . 2 第排 二序 章不 等 式

理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练

读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二

2.2

排序不等式

[读教材·填要点] 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn 是两组实数, c1,c2,c3,…,cn 为 b1,b2,…,bn 的任何一个排列,称 a1b1+a2b2+…+anbn 为这两个实数组的顺序积之和(简称 顺序和 ),称 a1bn+a2bn-1+…+anb1 为这两个实数组的反序积之和(简称 反序和 ),称 a1c1+a2c2+…+ancn 为这两个实数组的乱序积之和(简称 乱序和 ).

2.排序原理 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数,c1,c2,…, cn 是 b1,b2,…,bn 的任一排列,则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1 +a2c2+…+ancn≤ a1b1+a2b2+…+anbn . 等号成立?a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn. 排序原理可简记作: 反序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和 .

[小问题·大思维]
1.排序不等式的本质含义是什么? 提示:排序不等式的本质含义是:两实数序列同方向单调(同 时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减) 时所得两两乘积之和最小,注意等号成立条件是其中一序列为 常数序列.

2.已知两组数 a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其 中 a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6, b4=10,b5=11,将 bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为 c1,c2,c3,c4, c5,则 a1c1+a2c2+…+a5c5 的最大值和最小值分别为何值?
提示:由顺序和最大知 最大值为:a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304, 由反序和最小知 最小值为:a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.

用排序不等式证明不等式(所证不等式中的 字母大小顺序确定)
[例 1] 已知 a,b,c 为正数,a≥b≥c,求证: (1)b1c≥c1a≥a1b; (2)ba3c53+cb3a53+ac3b5 3≥1a+1b+1c. [思路点拨] 本题考查排序不等式的直接应用,解答本题 需要分析式子结构,然后通过对比、联想公式,构造数组,利 用公式求解.

[精解详析] (1)∵a≥b>0,于是1a≤1b, 又 c>0,∴1c>0.从而b1c≥c1a. 同理,∵b≥c>0,于是1b≤1c, ∵a>0,∴1a>0,于是得c1a≥a1b. 从而b1c≥c1a≥a1b. (2)由(1)b1c≥c1a≥a1b,于是由顺序和≥乱序和得,

ba3c53+cb3a53+ac3b5 3≥bb3c53+cc3a5 3+aa3b5 3 =bc32+ac23+ab23???∵a2≥b2≥c2,c13≥b13≥a13 ??? ≥cc23+aa32+bb23=1c+1a+1b=1a+1b+1c.
利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需 要的带大小顺序的两个数组,由于本题已知 a≥b≥c,所以可 直接利用已知构造两个数组.

1.设 a,b,c 为正数,求证:ab1c2+ba1c2+ca1b2≥a10+b10+c10.

证明:不妨设 a≥b≥c>0,

则 a12≥b12≥c12,b1c≥a1c≥a1b>0,

∴由顺序和≥乱序和,得

ab1c2+ba1c2+ca1b2≥aa1b2+bb1c2+ca1c2=ab11+bc11+ca11.



又∵a11≥b11≥c11,1c≥1b≥1a,

∴由乱序和≥反序和得:

ab11+bc11+ca11≥aa11+bb11+cc11=a10+b10+c10,



由①②两式得:ab1c2+ba1c2+ca1b2≥a10+b10+c10.

用排序不等式证明不等式(对所证不等式中 的字母大小顺序作出假设)
[例 2] 设 x>0,求证:1+x+x2+…+xn≥(2n+1)xn. [思路点拨] 本题考查排序不等式的应用.解答本题需要 注意:题目中只给出了 x>0,但对于 x≥1,x<1 没有明确,因 此需要进行分类讨论. [精解详析] (1)当 x≥1 时,1≤x≤x2≤…≤xn, 由排序原理:顺序和≥反序和,得 1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn ≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

即 1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.



又因为 x,x2,…,xn,1 为序列 1,x,x2,…,xn 的一个排列,

于是再次由排序原理:乱序和≥反序和,得

1·x + x·x2 + … + xn - 1·xn + xn·1≥1·xn + x·xn - 1 + … + xn - 1·x +

xn·1,

得 x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.



将①和②相加得

1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

(2)当 0<x<1 时,1>x>x2>…>xn,

但①②仍然成立,于是③也成立.

综合(1)(2),证毕.

在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必 须限定字母的大小顺序,而只有具有对称性的字母才可以直 接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.

2.设 a1,a2,…,an 是 1,2,…,n 的一个排列,求证: 12+23+…+n-n 1≤aa12+aa23+…+aan-n 1. 证明:设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排列, 且 b1<b2<…<bn-1;c1,c2,…,cn-1 是 a2,a3,…,an 的一个 排列,且 c1<c2<…<cn-1, 则c11>c12>…>cn1-1且 b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2, c2≤3,…,cn-1≤n. 利用排序不等式,有

aa21+aa23+…+aan-n 1≥bc11+bc22+…+bcnn--11≥12+23+…+ n-1
n. ∴原不等式成立.

一、选择题

1.锐角三角形中,设 P=a+2b+c,Q=acos C+bcos B+ccos A,

则 P、Q 的关系为

()

A.P≥Q

B.P=Q

C.P≤Q

D.不能确定

解析:不妨设 A≥B≥C, 则 a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有 Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A

=R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A) ≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)] =R(sin C+sin A+sin B)=a+2b+c=P. 答案:C

2.已知 a,b,c 为正数,P=b2c2+a+c2ba+2+ca2b2,Q=abc,则 P,

Q 的大小关系是

()

A.P>Q

B.P≥Q

C.P<Q

D.P≤Q

解析:不妨设 a≥b≥c>0,

则 0<1a≤1b≤1c,0<bc≤ca≤ab, 由排序原理:顺序和≥乱序和,得

bac+cba+acb≥bcc+caa+abb,

即b2c2+ca2bac2+a2b2≥a+b+c, 因为 a,b,c 为正数,所以 abc>0,a+b+c>0, 于是b2c2+a+c2ba+2+ca2b2≥abc,即 P≥Q. 答案:B

3.设 a1,a2,a3 为正数,E=aa1a3 2+aa2a1 3+aa1a2 3,F=a1+a2+a3,

则 E,F 的关系是

()

A.E<F

B.E≥F

C.E≤F

D.E>F

解析:不妨设 a1≥a2≥a3>0,于是 0<a11≤a12≤a13, a2a3≤a3a1≤a1a2. 由排序不等式:顺序和≥乱序和得,

aa1a3 2+aa2a1 3+aa1a2 3=aa1a3 2+aa1a2 3+aa2a1 3

≥a13·a1a3+a12·a2a3+a11·a1a2 =a1+a3+a2, 即aa1a3 2+aa2a1 3+aa1a2 3≥a1+a2+a3. 答案:B

4.(1+1)???1+14???…????1+3n1-2????…???1+611???的取值范围是(

)

A.(21,+∞)

B.(61,+∞)

C.(4,+∞)

D.(3n-2,+∞)

解析:令 A=(1+1)???1+14???…????1+3n1-2???? =21×54×87×…×33nn- -12,

B=32×65×98×…×3n3-n 1,

C=43×76×190×…×3n3+n 1.

由于21>32>43,54>65>76,87>98>190,… 33nn--12>3n3-n 1>3n3+n 1>0, 所以 A>B>C>0.所以 A3>A·B·C. 由题意知 3n-2=61,所以 n=21. 又因为 A·B·C=3n+1=64,所以 A>4. 答案:C

二、填空题 5.若 a,b,c 均是正实数,则bac+cba+acb________a+b+c.
解析:不妨设 a≥b≥c>0,则 bc≤ca≤ab, 1a≤1b≤1c. ∴bac+cba+acb≥acc+aab+bbc=a+b+c. 答案:≥

6.设正实数 a1,a2,…,an 的任一排列为 a1′,a2′,…,an′, 则a1a′1 +a2a′2 +…+aan′n 的最小值为________. 解析:不妨设 0<a1≤a2≤a3…≤an, 则a11≥a12≥…≥a1n. 其反序和为aa11+aa22+…+aann=n, 则由乱序和不小于反序和知 a1a′1 +a2a′2 +…+aan′n ≥aa11+aa22+…+aann=n,

∴a1a′1 +a2a′2 +…+aan′n 的最小值为 n. 答案:n 7.设 a1,a2,a3,a4 是 1,2,3,4 的一个排序,则 a1+2a2+3a3+4a4 的取值范围是________. 解析:a1+2a2+3a3+4a4 的最大值为 12+22+32+42=30. 最小值为 1×4+2×3+3×2+4×1=20. ∴a1+2a2+3a3+4a4 的取值范围是[20,30]. 答案:[20,30]

8.已知:a+b+c=1,a、b、c 为正数.则b+1 c+c+1 a+a+1 b的最

小值是________. 解析:不妨设 a≥b≥c.∴b+1 c≥c+1 a≥a+1 b.

∴b+a c+c+b a+a+c b≥b+b c+c+c a+a+a b.



b+a c+c+b a+a+c b≥b+c c+c+a a+a+b b.



①+②得b+a c+c+b a+a+c b≥32,

∴b+1 c+c+1 a+a+1 b≥92.

答案:92

三、解答题

9.已知 a,b,c∈R+,求证:

a+b+c≤a2+2cb2+b22+ac2+c2+2ba2≤bac3+cba3+acb3 . 证明:不妨设 a≥b≥c>0,则 a2≥b2≥c2,1c≥1b≥1a.

由排序不等式,可得 a2·1c+b2·1a+c2·1b≥a2·1a+b2·1b+c2·1c,①

a2·1b+b2·1c+c2·1a≥a2·1a+b2·1b+c2·1c.



由(①+②)÷2,可得 a2+2cb2+b22+ac2+c2+2ba2≥a+b+c.

又因为 a≥b≥c>0,所以 a3≥b3≥c3,b1c≥a1c≥a1b. 由排序不等式,得

a3·b1c+b3·c1a+c3·a1b≥a3·a1c+b3·a1b+c3·b1c.



a3·b1c+b3·c1a+c3·a1b≥a3·a1b+b3·b1c+c3·c1a.



由(③+④)÷2,可得 bac3+cba3+acb3 ≥a2+2cb2+b22+ac2+c2+2ba2. 综上可知原式成立. 10.设 a,b,c 均为正实数,求证:1a+1b+1c≤a8+a3bb83+c3 c8. 证明:不妨设 a≥b≥c>0. 由不等式的单调性,知1c≥1b≥1a, 而b31c3≥c31a3≥a31b3.

由不等式的性质,知 a5≥b5≥c5. 根据排序原理,知 ba3c53+cb3a53+ac3b5 3≥ca3a53+ab3b53+bc3c5 3 =ac32+ba23+bc23. 又由不等式的性质,知 a2≥b2≥c2,c13≥b13≥a13. 由排序原理,得 ac32+ba23+bc23≥aa32+bb23+cc23=1a+1b+1c.

由不等式的传递性,知 1a+1b+1c≤ba3c53+cb3a53+ac3b5 3=a8+a3bb83+c3 c8. ∴原不等式成立. 11.设 a,b,c 为某一个三角形的三条边,a≥b≥c,求证: (1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a); (2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc. 证明:(1)用比较法: c(a+b-c)-b(c+a-b) =ac+bc-c2-bc-ab+b2

=b2-c2+ac-ab

=(b+c)(b-c)-a(b-c)

=(b+c-a)(b-c).

因为 b≥c,b+c-a>0,

于是 c(a+b-c)-b(c+a-b)≥0,

即 c(a+b-c)≥b(c+a-b).



同理可证 b(c+a-b)≥a(b+c-a).



综合①②,证毕.

(2)由题设及(1)知

a≥b≥c,a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),

于是由排序不等式:反序和≤乱序和,得

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)

≤ab(b+c-a)+bc(c+a-b)+ca(a+b-c)

=3abc+ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c).



再一次由反序和≤乱序和,得

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)

≤ac(b+c-a)+ba(c+a-b)+cb(a+b-c)

=3abc+ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c).



将①和②相加再除以 2,得

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.


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