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高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3(1)_图文

高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3(1)_图文

中国古代数学中的算法案例
预习课本 P27~32,思考并完成以下问题 (1)如何求两个数的最大公约数? (2)秦九韶算法的原理是什么?

[新知初探]
1.“更相减损之术” 更相减损之术就是对于给定的两个数,以两数中较大的数减去较
小的数,然后将 差和较小的数 构成一对新数,再用较大的数减去较
小的数,反复执行此步骤直到差和较小的数相等,此时相等的两数便 为两个原数的最大公约数.
2.割圆术 割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用
的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算_圆___周__率__π__的方法.

3.秦九韶算法

把一元 n 次多项式函数 P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+

a0 改写: P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0

=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,

令 vk= (…(anx+an-1)x+…+an-(k-1))x+an-k



则递推公式为?????_v_vk=_0=_v_ak_-n_1_x_,+__a_n-_k_____ 其中 k=1,2,…,n. 这样求一元 n 次多项式 P(x)的值就转化为求 n 个一次多项 式的值,这种求 n 次多项式值的方法就叫做秦九韶算法.

[小试身手]

1.用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时,需做减法的次

数为

()

A.4

B.5

C.6

D.7

解析:选 C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)

→(7,14)→(7,7),∴共进行 6 次减法.

2.225 与 150 的最大公约数是

()

A.15

B.30

C.45

D.75

解析:选 D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75),所以 225

与 150 的最大公约数是 75.

3.已知多项式 f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-12,用秦九韶算法

求 f(-2)等于

()

A.-1927

197 B. 2

183 C. 2

D.-1823

解析:选 A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-12,

∴f(-2)=-1927.

4.用圆内接正多边形逼近圆,因而得到的圆周率总 是________π 的实际值. 解析:用割圆术法求出的是 π 的不足近似值. 答案:小于

求最大公约数
[典例] 求 261 和 319 的最大公约数. [解] 319-261=58,(261,319)→(261,58)→(203,58)→ (145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29),所以 319 与 261 的最 大公约数是 29.

“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤 第一步,给定两个正整数 m,n(m>n). 第二步,计算 m-n 所得的差 k. 第三步,比较 n 与 k 的大小,其中大者用 m 表示,小者用 n 表示. 第四步,若 m=n,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则, 返回第二步.

[活学活用]
1.用更相减损之术求 36 与 135 的最大公约数,需做减法的次数 是________. 解析:(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→ (18,9)→(9,9),故共进行了 6 次减法运算. 答案:6

2.求 378 与 90 的最大公约数.
解:法一:378-90=288, 288-90=198, 198-90=108, 108-90=18, 90-18=72, 72-18=54, 54-18=36, 36-18=18, ∴378 与 90 的最大公约数是 18. 法二:378=90×4+18, 90=18×5, ∴378 与 90 的最大公约数是 18.

用秦九韶算法求多项式的值 [典例] 用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+ 1,当 x=2 时的值. [解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1= ((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 而 x=2,所以有 v0=8,

v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87, v4=87×2+0=174, v5=174×2+0=348, v6=348×2+2=698, v7=698×2+1=1 397. 所以当 x=2 时,多项式的值为 1 397.

应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的 3 个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写. (2)计算应由内向外依次计算. (3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐 次项补充.

[活学活用] 用秦九韶算法写出当 x=3 时,f(x)=2x5-4x3+3x2 -5x+1 的值. 解:因为 f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1, v0=2,v1=2×3+0=6,v2=6×3-4=14,v3=14×3+3 =45,v4=45×3-5=130,v5=130×3+1=391, 所以 f(3)=391.

[层级一 学业水平达标]

1.78 与 36 的最大公约数是 A.24 C.12

B.18 D.6

()

解析:选 D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6).

2.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x3-3x2+2x-11 的值时应把 f(x)

变形为

()

A.x3-(3x+2)x-11

B.(x-3)x2+(2x-11)

C.(x-1)(x-2)x-11

D.((x-3)x+2)x-11 解析:选 D f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-11.

3.已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+6,则 f(10)的值为________.

解析:由秦九韶算法,得

f(x)=x3-2x2-5x+6

=(x2-2x-5)x+6

=((x-2)x-5)x+6.

当 x=10 时,

f(10)=((10-2)×10-5)×10+6

=(8×10-5)×10+6

=75×10+6

=756.

答案:756

4.求 168,54,264 的最大公约数. 解:为简化运算,先将三个数用 2 约简为 84,27,132. 由更相减损之术,先求 84 与 27 的最大公约数. 84-27=57,57-27=30,30-27=3, 27-3=24,24-3=21,21-3=18,18-3=15, 15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3, 故 84 与 27 的最大公约数是 3. 再求 3 与 132 的最大公约数. 易知 132=3×44,所以 3 与 132 的最大公约数就是 3. 故 84,27,132 的最大公约数是 3, 即 168,54,264 的最大公约数是 6.


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