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江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考文数试题

江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考文数试题


江西省重点中学盟校 2018 届高三第一次联考 数学(文科)试卷
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},集合 B={3,4},则(CUA) ? B=( A.{3} B.{4} C.{3,4}
2



D.{2,3,4} )

i 是虚数单位, 2. 设x? R , 则“ x ? 2 ”是“复数 Z ? ( x ? 4 ) ? ( x ? 2 ) i 为纯虚数”的 (

A.充分不必要条件 C.必要不充分条件
?y ? x ? y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? ?y ? ?1

B.充要条件 D.即不充分也不必要条件

3.若 x ,

,则 z ? 2 x ? y 的最大值为(



A.5 4.在△ABC 中,若 a ?
6 3

B.3
6

C.﹣1

D.

1 2

,b=4,B=2A,则 sinA 的值为(
6 2 6 3 3 3



A.

B.

C.

D.

6

5.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? f ( x ? 2 ) ,且在 ? ? 1, 0 ? 上单调递减,设 a ? f ( 2 ) ,
b ? f ( 2 ) , c ? f ( 3 ) , 则 a , b , c 的大小关系是(



A. b ? c ? a C. b ? a ? c

B. a ? b ? c D. a ? c ? b

6.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定 理”)编成易于上口的《孙子歌诀》 :三人同行七十稀,五 树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整 数 n 被 3 除余 2 ,被 5 除余 3 ,被 7 除余 4 ,求 n 的最小值. 按此歌诀得算法如图,则输出 n 的结果为( A.53 B.54
1 4

) D.263
?

C.158 ,an ? 1 ?
1 a n ?1

7.在数列 ? a n ? 中, a 1 ? ?

( n ? 2 , n ? N ) ,则 a 2018 的值为(



A. ?

1 4

B.5

C.

4 5

D.

5 4

8.函数 y ? ln

e ?e e ? e
x

x

?x ?x

的图象大致为(



A

B

C

D

9.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 区域中,M、N 分别为 OA、OB 的中点,在 M、N 两点处各有一 个通信基站,其信号的覆盖范围分别为以 OA、OB 为直径的圆,在扇形 OAB 内随机取一点,则能够同时收到两个基站信号的概率是( A. 1 ?
2

) D.
1

?

B.

1 2

?

1

?

C. 2 ?

4

?

?

10.设函数 f ( x ) ? sin ? 2 x ?
?

?

? ?

? 9? ? ) ,若方程 f ( x ) ? a 恰好有三个根,分别为 x 1 , x 2 , x 3 ? ( x ? ?0, 4 ? 8 ? ? ?

( x 1 ? x 2 ? x 3 ) ,则 2 x 1 ? 3 x 2 ? x 3 的值为(



A. ?

B.

3? 4

C.

3? 2

D.

7? 4

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗实线及粗虚线画出的是 某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为( A.
51 ? 4
x a
2 2



B.

41 ? 2
y b
2 2

C. 41 ?

D. 31 ?

12.已知双曲线 C :

?

? 1 (a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1 , F 2 , P 为双曲线 C 上一

点,Q 为双曲线 C 渐近线上一点, P , Q 均位于第一象限,且 2 QP ? PF 2 , QF 1 ? QF 曲线 C 的离心率为( A. 3 ? 1 ) B. 3 ? 1 C. 13 ? 2 D. 13 ? 2

2

? 0 ,则双

第Ⅱ卷
二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的横线上) 13.抛物线 y ? ? 8 x 的焦点坐标是
2

. .
1 m 2 n

14.已知 a =2, b =3, a , b 的夹角为 60°,则 2 a ? b = 15.已知函数 f ( x ) = ? 最小值为
? log
x 3

( x ? 2 ), x ? 1

? e ? 1, x ? 1

,若 m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n ? f ? f (ln 2 ) ? ,则

?



.

16.函数 f ( x ) ? ( kx ? 4 ) ln x ? x (x>1),若 f ( x ) ? 0 的解集为 ? s , t ? ,且 ? s , t ? 中只有一个整数, 则实数 k 的取值范围为 .

三、解答题(共 6 题,12+12+12+12+12+10 共 70 分本大题共六小题,解答应写出文字说明、证明 过程或求解演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分)等差数列 ? a n ? 中, a 1
? 3

,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ? b n ? 的各项均为正

数, b1

?1

,公比为 q ,且 b 2

? S2 ? 12

,q

?

S2 b2



(1)求 a n 与 b n . (2)设数列 ? c n ? 满足 c n
? 1 Sn

,求 ? c n ? 的前 n 项和.

18. (本小题满分 12 分)已知边长为 2 的正方形 A B C D 与菱形 A B E F 所在平面互相垂直, M 为
BC

中点. (1)求证: E M 平面 A D F .

(2)若 ? ABE ? 60 ? ,求四面体 M ? A C E 的体积.

19. (本小题满分 12 分)微信是当前主要的社交应用之一,有着几亿用户,覆盖范围广,及时快 捷。作为移动支付的重要形式,微信支付成为人们支付的重要方式和手段。某公司为了解人们对 “微信支付”认可度,对 ? 1 5 , 4 5 ? 年龄段的人群随机抽取 n 人进行了一次“你是否喜欢微信支付” 的问卷调查,根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人 数频率分布直方图: 喜欢微信支付的人数 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 喜欢微信支付的人数 占本组的频率
120 195
a

0 .6

p
0 .5
0 .4 0 .3 0 .3

60
30 15

(1)补全频率分布直方图,并求 n , a , p 的值; (2)在第四、五、六组“喜欢微信支 付”的人中,用分层抽样的方法抽取 7 人参加“微信支付日 鼓励金”活动,求第四、五、六组应分别抽取的人数;[来源:学|科|网] (3)在(2)中抽取的 7 人中随机选派 2 人做采访嘉宾,求所选派的 2 人没有第四组人的概率.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆系方程 C n :

x a

2 2

?

y b

2 2

? n ( a ? b ? 0 , n ? N ), F1、F2 是椭

?

圆 C 6 的焦点,A ( 6 , 3 ) 是椭圆 C 6 上一点,且 AF 2 ? F1 F 2 ? 0 [来] (1)求 C n 的离心率并求出 C 1 的方程; (2) P 为椭圆 C 3 上任意一点,过 P 且与椭圆 C 3 相切的直线 l 与椭圆 C 6 交于 M , N 两点, 点 P 关于原点的对称点为 Q ,求证: ? Q M N 的面积为定值,并求出这个定值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x ) ? ax

2

? bx ? c ln x

(a,b, c ? R ) .

(1)当 a =1, b =1, c = ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1 ) )处的切线方程; (2)当 b =2a,c= 1 时,求最大的整数 b,使得 0<x ≤2 时,函数 y ? f ( x ) 图象上的点都在

?0 ? x ? 2 所表示的平面区域内(含边界). ? ?x ? y ?1 ? 0

(二)选考题:共十分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参 数方程 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的方程是 y ? 6 , 圆 C 的参数方程是 ? 原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程; (2) 射线 O M : ? ? ? ( 0 ? ? ?
?
2
? x ? cos ?

? y ? 1 ? sin ?

( ? 为参数) . 以

?
2

) 与圆 C 的交点为 O ,P 两点, 与直线 l 交于点 M . 射线 O N :

? ?? ?

与圆 C 交于 O , Q 两点,与直线 l 交于点 N ,求

OP OM

?

OQ ON

的最大值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数
f (x) ? x ? a ? 2 x ? 1

(a ? R ) .

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) ? 2 的解集;
?1 ?2 ? ? ?

(2)若 f ( x ) ? 2 x ? 1 的解集包含集合 ?

,1

,求实数 a 的取值范围.

江西省重点中学盟校 2018 届高三第一次联考 文科数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 B 10 D 11 C 12 D

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 1 3. (-2,0) 14.
13

15.3+2 2

16. ?

? 1 ? ln 2

? 2,

1 ln 3

?

4? 3? ?

三、解答题(共 6 题,12+12+12+12+12+10 共 70 分本大题共六小题,解答应写出文字说明、证明 过程或求解演算步骤。 ) 17.解: (1)设等差数列公差为 d ,由题目列出各方程: b 2 即 b1 q
? a1 ? a 2 ? 1 2 ? S2 ? 12

,q

?

S2 b2

即q

?

a1 ? a 2 b2
n ?1

,得 ?

?q ? d ? 6 ?q
2

? 6? d

,解出 q

? 3

,d

? 3

………(4 分)

∴ an

? a 1 ? d ( n ? 1) ? 3 n
n 2

, bn
n 2

? b1 q

n ?1

? 3


3 2 n

………………(6 分) . cn
? 1 Sn ? 1 3 2 n ?
2

(2) ∵Sn

?

( a1 ? a n ) ?

(3 ? 3 n ) ?

3 2

n ?

2

3 2

? n

? 2? 1 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? 3? n n ?1? 3 ? n ( n ? 1) ?



………………(9 分)
Tn ? 2? 1 1 1 ? ? ? ?1 ? 3? 2 2 3 ? 1 n ? 1 ? 2? 1 ? 2 n ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1? 3? n ?1? 3 n ?1



……………… (12 分)

18.解: (1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC∥AD.∵BC ? 平面 ADF,AD?平面 ADF, ∴BC∥平面 ADF.∵四边形 ABEF 是菱形, ∴BE∥AF. ∵BE ? 平面 ADF,AF?平面 ADF,

∴BE∥平面 ADF.∵BC∥平面 ADF,BE∥平面 ADF,BC∩BE=B, ∴平面 BCE∥平面 ADF. ∵EM?平面 BCE,∴EM∥平面 ADF. ………………(6 分) (2)取 AB 中点 P,连结 PE.∵在菱形 ABEF 中,∠ABE=60°, ∴△AEB 为正三角形,∴EP⊥AB.∵AB=2,∴EP= 3 . ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴EP⊥平面 ABCD, ………………(9 分) ∴EP 为四面体 E﹣ACM 的高.
VM
? ACE



? V E ? ACM ?

1 3

S ? ACM ? EP ?

1 3

?

1 2

?1? 2 ?

3 ?

3 3 .

………………(12 分)

19.解: (1)画图(见右图)

………………(2 分)

由频率表中第四组数据可知,第四组总人数 为
60 0 .4 ? 1 5 0 ,再结合频率分布直方图 150 0 .0 3 ? 5

可知 n ?

? 1000

………………(3 分) ………………(4 分)
? 0 .6 5

所以 a ? 0 .0 4 ? 5 ? 1 0 0 0 ? 0 .5 ? 1 0 0 第二组的频率为 0 .3 ,所以 p
? 195 300

………………(5 分)

(2)因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有 105 人,由分层抽样原理可知,第四、五、 六组分别取的人数为 4 人,2 人,1 人. ………………(7 分)

(3)设第四组 4 人为: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ,第五组 2 人为: B 1 , B 2 ,第六组 1 人为: C 1 . 则从 7 人中随机抽取 2 名所有可能的结果为:
A1 A 2 A3 A 4

, A1 A 3 , A1 A 4 , A1 B 1 , A1 B 2 , A1 C 1 , A 2 A 3 , A 2 A 4 , A 2 B 1 , A 2 B 2 , A 2 C 1 , A 3 B 1 , A 3 B 2 , A 3 C 1 , A 4 B 1 , A 4 B 2 , A 4 C 1 , B 1 B 2 , B 1 C 1 , B 2 C 1 共 21 种;

其中恰好没有第四组人的所有可能结果为: B 1 B 2 , B 1 C 1 , B 2 C 1 ,共 3 种; 所以所抽取的 2 人中恰好没有第四组人的概率为 P ?
3 21 ? 1 7

.

………………(12 分)

20.解: (1)椭圆 C 的方程为: C : x 2 6 6
a
2

?

y b

2 2

? 6

即: x 2
6a
2

?

y

2 2

6b

?1

∵ AF 2 ? F1 F 2 ? 0 .∴ AF
? 6a ? 6b
2 2

2

? F 1 F 2 ,又 A (

6,
2

3)? c ?
( 3) 6b
2 2

6

? c

2

2 2 ? 6 即: a ? b ? 1 又

(

6) 6a
2

?

?1

? a

2

2 ? 2 , b ? 1 ∴椭圆 C n 的方程为:

x

2

2

? y

2

? n

∴e2 ?

2n ? n 2n
2

2

2

?

1 2

,∴ e ?

2 2

∴椭圆 C 1 的方程为:

x

2

2

? y

2

? 1 ;…………(5 分)

(2)解法(一) :设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 Q ( ? x 0 , ? y 0 ) 当直线 l 斜率存在时,设 l 为: y ? k x ? m ,
?x 2 ? y ? 3 ? 2 2 2 则 y 0 ? k x 0 ? m ,由 ? 2 联立得: 2 k ? 1 x ? 4 k m x ? 2 m ? 6 ? 0 ? y ? kx ? m ?
2

?

?

由 ? ? 0 得 m ? 3 ? 2 k ? 1?
2 2

Q 到直线 l 的距离 d ?

? kx 0 ? y 0 ? m k
2

?

2m k
2

?1

?1

?x 2 ? y ? 6 ? 2 2 2 同理,由 ? 2 联立得: 2 k ? 1 x ? 4 k m x ? 2 m ? 1 2 ? 0 ? y ? kx ? m ?

2

?

?

? x1 ? x 2 ? ?

4 km 2k
2

?1

, x1 x 2 ?

2m 2k

2 2

? 12 ?1

………………(8 分)

? MN ?

(k

2

? 1) ? ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ? ? ? ?

2

(k

2

? 4 km 2m ? 12 ? 2 ? 1) ? ( ? ) ? 4 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 ? ?

2

?

(k

2

? 1)

8 (1 2 k

2

? 6? m )
2

2

(2k

? 1)

2

?

2

2 2k

k
2

2

?1 m

?1

? S ?QM N ?

1 2

MN d

?

1 2

?

2

2 2k

k
2

2

?1 m

2 m k
2

?1

?1

?

2

2 m
2

2

2k

?1

?

2

2 ? 3(2 k 2k
2

2

? 1)

?1
? 6 2

? S ? Q M N ? 6 2 , ? Q M N 的面积为定值 6 2 …………(12 分) 当直线 l 斜率不存在时,易知
x
2

解法(二) :设 P ( x 0 , y 0 ) ,由(1)得 C 3 为:

2

? y

2

? 3,

∴过 P 且与椭圆 C 3 相切的直线 l:

x0 x 2

? y 0 y ? 3 .且 x 0 ? 2 y 0 ? 6
2 2

2

2

点 P 关于原点对称点 Q ( ? x 0 , ? y 0 ) ,点 Q 到直线 l 的距离 d ?

x0 ? 2 y0 ? 6 x0 ? 4 y0
2 2

?

12 6 ? 2 y0
2

………………(7 分) 设 M ( x1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 )
? x0 x ? 2 y0 y ? 6 ?x ? 2y
2 2

由?

? 12

得 4 x ? 8 x0 x ? 2 4 ? 1 6 y0 ? 0 ? x ? 2 x0 x ? 6 ? 4 y0 ? 0
2

2

2

2

2

x 1 ? x 2 ? 2 x 0 , x 1 x 2 ? 6 ? 4 y 0 ,………(8 分)
x0
2 2

∴MN ?

1?

4 y0

4 x0 ? 24 ? 16 y0 ( y0 ? 0)

2

2

∴ ? Q M N 的面积为 S ?

1 2

d ?MN ?

1 2
2

12 x0 ? 4 y0
2

1?

x0

2 2

4 y0

4 x0 ? 2 4 ? 1 6 y0

2

2

? 6

2

(定值)

? S ?QM N ? 6 2 , 当 y 0 ? 0 时,易知

综上: ? Q M N 的面积为定值 6 2

………………(12 分)

21. 解: (1) 当 a ? 1, b ? 1, c ? ? 1 时, f ( x ) ? x 2 ? x ? ln x , 则 f ?( x ) ? 2 x ? 1 ?

1 x

? f ? (1 ) ? 2 , ,

又 f (1) ? 2 ∴所求的切线方程为 y ? 2 ? 2 ( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 0

………………(3 分)

(3)当 b ? 2 a , c ? 1 时,由题意得 f ( x ) ?

1 2

b x ? b x ? ln x ,当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ? ? x ? 1

2

即 ln x ?

1 2

b x ? ( b ? 1) x ? 1 ? 0 ,设 g ( x ) ? ln x ?

2

1 2

b x ? ( b ? 1) x ? 1 ,则问题等价于

2

当 0 ? x ? 2 时, g ( x ) m a x ? 0
? g ?( x ) ? 1 x ? bx ? ( b ? 1 ) ?

( b x ? 1) ( x ? 1) x

………………(6 分)

当 b ? 0 时,若 0 ? x ? 2 ,则 g ? ( x ) ? 0 , g ( x ) 递增, g ( x ) m a x ? g ( 2 ) ? ln 2 ? 4 b ? 3 ? 0 故不满足条件 ………………………………………………(8 分)
1 b ? 1 , g ( x ) 在 (0, ? 1 b ) 上递增

当 b ? 0 时,因为 b 为整数,故 b ? ? 1 ,所以 0 ? ?

在? ?
?

?

1 b

,2

1 1 1 ? ? 0 (? ) ? 0 ,即 ln( ? b ) ? ? 上递减,? g ( x ) m a x ? g ( ? ) ? ? ln ( ? b ) ? 2b b 2b ?

易知函数 h ( x ) ? ln ( ? x ) ?

1 2x

(x ? 0 ) 为递减函数, 又 h ( ? 1) ? ?

1 2

? 0 , h ( ? 2 ) ? ln 2 ?

1 4

? 0

所以满足 ( ? ) 的最大整数 b 为 ? 2 , 综上可知,满足条件的最大的整数为 ? 2 . ………………(12 分)

22.解:(1)直线 l 的方程是 y ? 6 ,可得极坐标方程: ? s in ? ? 6
? x ? cos ? ? y ? 1 ? s in ?

………………(2 分)

圆 C 的参数方程是 ?

( ? 为参数),可得普通方程: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

2 2 2 展开为 x ? y ? 2 y ? 0 .化为极坐标方程: ? ? 2 ? s in ? ? 0 即 ? ? 2 s in ?

…………(5 分)

(2)由题意可得:点 P , M 的极坐标为: ( 2 s in ? , ? ) , (
OP OM
2

6 sin a

,a) .

∴ O P ? 2 s in ? ,|OM|=

6 sin a

,可得

?

sin

a

3



同理可得: OQ
ON

sin ?

2

(a ? 3

?
2

)

=

cos a 3

2





OP OM
OP OM

?

OQ ON
OQ ON

?

sin

2

2a

36

?

1 36
1 36

.当 a ?

?
4

时,取等号.



?

的最大值为

………………(10 分)

23.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 , f ( x ) ? 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2
1 ? ?1 ?x ? 1 ?x ? ? ? x ?1 上述不等式可化为 ? 或? 2 或? 2 ?x ?1? 2x ?1 ? 2 ?1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ? ? 1 ?x ? 1 ? ?1 ?x ? ? ? x ?1 ? 解得 ? 或? 2 或? 2 4 ?x ? 0 ?x ? 2 ?x ? ? ? ? 3

∴0 ? x ?

1 2



1 2

? x ? 1 或1 ? x ?

4 3



∴原不等式的解集为 ? x 0 ? x ?
?

?

4? ?. 3?

………………(5 分)

1 , x? , 1 (2) ∵ f ( x ) ? 2 x ? 1 的解集包含 ? , 不等式 f ( x ) ? 2 x ? 1 恒成立, … ? ∴当 ? 2 ? 时, ?2 ? ? ? ?1 ?

?1

?

?1

?

1 上恒成立, 即 x ? a ? 2x ?1 ? 2x ?1在x ? ? , ? ?2 ?

∴ x ? a ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ,即 x ? a ? 2 ∴ ? 2 ? x ? a ? 2
?1 ?
5

1 上恒成立,∴ ( x ? 2 ) max ? a ? ( x ? 2 ) min ∴ ? 1 ? a ? ∴x ? 2 ? a ? x ? 2 在x? ? , , ? 2 ?2 ? ? 5?

所以实数 a 的取值范围是 ? ? 1, ? . 2? ?

………………(10 分)


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