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辽宁本溪市2010年高二下学期期末考试(数学理)

辽宁本溪市2010年高二下学期期末考试(数学理)

本溪市 2009~2010 学年(下)期末考试

高二数学试卷(理科)
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.试卷满分 150 分,答题时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 注意:请在机读答题卡中作答,不要答在试题中 1. 复数 z ? 1 ? i ,则 (A) ?1 ? i

z ? z ?1
(B) ?1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i

2. 用 0,1,2,3 四个数字,可以组成无重复数字的四位数的个数是 (A) A 4 4 (B) A3 4 (C) A1A3 1 3 (D) A1 A3 3 3

3. 下列求导运算正确的是 (A) [(3 ? x2 )(1 ? x)]? ? 3x2 ? 2 x ? 6 (C) ( x x ? e x )? ? (B) (sin x ? cos x)? ? cos x ? sin x

3 x ? ex 2

1? x 2 )? ? ? (D) ( 1? x (1 ? x) 2

4. 在一项患慢性气管炎是否与吸烟有关的调查中,调查了 339 名 50 岁以上的人,经过独立性 检验计算得 ? 2 ? 7.469 ,根据这一数据分析,我们说患慢性气管炎与中老年吸烟有关的把握 是 (A) 90 ﹪ (B) 95 ﹪ (C) 99 ﹪ (D) 100 ﹪

5. 火 箭 竖 直 向 上 发 射 , 若 火 箭 熄 火 时 向 上 速 度 达 到 100 m / s , 熄 火 后 的 运 动 方 程 为

1 h(t ) ? 100t ? gt 2 ? c ( c 为常数 ) ,则从熄火到火箭速度为 0 时所需时间 t = 2
(A) 100g (B) 10g (C)

100 g

(D)

10 g

6. 一次测量中出现正误差和负误差的概率都是 概率是 (A)

1 ,则在 5 次测量中,恰好出现 3 次正误差的 2 5 8
(D)

2 5

(B)

3 5

(C)

5 16

7. 四个学习小组分别对不同的变量组(每组为两个变量)进行该组两变量间的线性相关作实 验,并用回归分析的方法分别求得相关系数 r 与方差 m 如下表所示,其中哪个小组所研究 的对象(组内两变量)的线性相关性更强 (A)第一组 (B)第二组

(C)第三组

(D)第四组

x2 y 2 8. 已知集合 A= {x | x ? Z , ?2 ? x ? 5} , a , b ? A , 方程: 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 表示焦点在 x a b
轴上的椭圆,则这样的不同椭圆的个数是 (A)9 (B)10 (C)18 (D)19

9. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ,其导数 f ?( x) 图象如图所示,则函数 f ( x) 的极大值是 (A) a ? b ? c (C) 27 a ? 9b ? 3c (B) 8a ? 4b ? 2c (D) c

10. 甲、乙、丙、丁四位志愿者安排在周一至周日的 7 天中参加今年的上海世博志愿者活动, 要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲排在乙的前面,则不同的方法有 (A)280 (B)420 (C)840 (D)920

11. 已知如右图所示的电路中,每个开关闭合的概率都是 则电路中灯亮的概率为 (A)

2 ,三个开关的闭合是相互独立的, 3

8 27

(B)

16 27

(C)

20 27

(D)

22 27

12. 由抛物线 y ? x 2 ? 1 ,直线 y ? x ? 1 , x ? 3 所围成区域的面积是 (A)

19 3

(B)

20 3

(C)

25 3

(D)

28 3

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

共 90 分)

考生注意:第Ⅱ卷的解答请写在第Ⅱ卷答题纸的相应位置,不要答在试题中.

注意:请把最后结果直接填在答题纸的相应位置上,不要答在试题中.

) 13. 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 (1, f (1)处 的 切 线 方 程 是 y ? ?2 x ?
_______.

1 ? , 则 f (1)? f ? (1) 3
__.

14. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,且 P(? ? ?1) ? p ,则 P(0 ? ? ? 1) =__

15. 平 面 上 , 如 果 △ ABC 的 内 切 圆 半 径 为 r , 三 边 长 分 别 为 a , b , c , 则 三 角 形 面 积

1 S ? r (a ? b ? c) .根据类比推理,在空间中,如果四面体内切球的半径为 R,其四个面的面 2
积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 ,则四面体的体积 V=_ __.

16. 注意:请考生在(1)(2)(3)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 、 、 分

(1)如图,AC 为⊙O 的直径,弦 BD⊥AC 于点 P,PC=2,PA=8, 则 cos ?ACB 的值为 _____. (2)在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心的极坐标是 _____. (3)不等式 |

x |? 1 的解集为 x?2

_____.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 注意:请把最后结果直接填在答题纸的相应位置上,不要答在试题中. 17.(本题满分 10 分)已知复数 z 满足 | z ? i | =1 ,求 | z ? 2 ? i | 的最小值. 18.(本题满分 12 分)已知 ( x ? )n 的展开式中,各项系数和与各项的二项式系数和之比为 64. (Ⅰ)求 n ; (Ⅱ)求展开式中的常数项. 19.(本题满分 12 分)设函数 y ? f ( x) ,对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy (Ⅰ)求 f (0) 的值; (Ⅱ)若 f (1) ? 1 , 求 f (2) , f (3) , f (4) 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想 f (n) (n ? N ? ) 的表达式,并用数学归纳法加以证明. 20.(本题满分 12 分)一盒子中有 8 个大小完全相同的小球,其中 3 个红球,2 个白球,3 个 黑球. (Ⅰ)若不放回地从盒中连续取两次球,每次取一个,求在第一次取到红球的条件下,第 二次也取到红球的概率; (Ⅱ)若从盒中任取 3 个球,求取出的 3 个球中红球个数 X 的分布列和数学期望. 21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 x

1 2 x ? a ln( x ? 1) . 2

(Ⅰ)当 a ? ?6 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x) ?

1 在 [0, ??) 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围. x ?1

22.(本题满分 12 分)注意:请考生在(1)(2)(3)三题中任选一题做答,如果多做,则 、 、 按所做的第一题计分. (1)如右图所示,AB 为⊙O 的直径,BC、CD 为⊙O 的切线,B、D 为切点. (Ⅰ)求证;AD∥OC; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 1,求 AD·OC 的值.

? 3 1 ? t ?x? ? 2 2 (t为参数) (2)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,曲线 C 的参数方 ? y ? ?1 ? 3 t ? 2 ?

? x ? 2cos? 程为 ? . (? 为参数) ? y ? 2sin ?
(Ⅰ)将曲线 C 的参数方程转化为普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求线段 AB 的长. (3)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 3 | ? | x ? 1| . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 6 ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值.

本溪市 2009~2010 学年(下)期末考试

高二数学试卷(理科)参考答案
一、选择题:1. B 2. D 3. D 4. C 5. C 二、填空题:13. ? 16. 6. D 7. B 15. 8. B 9. A 10. B 11. D 12.A

11 3
5 5

14.

1 ?p 2
(2)

1 R(S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) 3

(3) {x | x ? 1} (1 , ) 2 三、解答题:17. 解: (Ⅰ)解:设 z ? x ? yi (x, y ? R) ,由 | z ? i|=1 (1) 得 | x ? yi ? i |?| x ? ( y ? 1)i |? x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ?? 2 分

?

? x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , 即 ( y ? 1)2 ? 1 ? x2

? | z ? 2 ? i|=|x ? yi ? 2 ? i |?| ( x ? 2) ? ( y ? 1)i |? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2

? ( x ? 2)2 ? 1 ? x2 ? 4 x ? 5
? ( y ? 1)2 ? 1 ? x2 ? 0 , ??1 ? x ? 1
| ? 当 x ? ?1 时, z ? 2 ? i|min ? 1
(此题也可利用复数的几何意义求解) 18. 解: (Ⅰ)令 x ? 1 ,得各项系数和 (1 ? 3)n ? 4n 又各项的二项式系数和为 2n

?? 6 分 ?? 8 分 ??10 分

?? 2 分 ?? 4 分 ?? 6 分

?

4n ? 2n ? 64 ? 26 , ? n ? 6 n 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, n ? 6 ,
6? r 6 ?3 r 3 ?通项 Tr ?1 ? C6r ( x )6 ? r ( ) r ? C6r x 2 3r x ? r ? C6r 3r x 2 x 6 ? 3r 令 ? 0 , ?r ? 2 2

?? 8 分 ?? 10 分 ??12 分

2 ?常数项 T3 ? C6 ? 32 ? 15 ? 9 ? 135

19. 解: (Ⅰ)令 x ? y ? 0 得: f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? 2 ? 0 ? 0 ? f (0) ? 0 ?? 2 分 (Ⅱ)由 f (1) ? 1 f (2) ? f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1) ? 2 ?1?1 ? 4

f (3) ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 2 ?1 ? 9 f (4) ? f (3) ? f (1) ? 2 ? 3 ? 1 ? 16
?? 4 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)猜想 f (n) ? n2 (n ? N ? ) 证明如下: (1)当 n ? 1 时, f (1) ? 12 ? 1 ,猜想成立 (2)假设 n ? k (k ? N ? , k ? 1) 时猜想成立,即 f (k ) ? k 2 则 f (k ? 1) ? f (k ) ? f (1) ? 2 ? k ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k ? (k ? 1)2 所以当 n ? k ? 1 时,猜想也成立 综合(1) (2)可知,对一切 n ? N ? ,都有 f (n) ? n 2 成立. 20. 解:(Ⅰ)设事件 A=“第一次取到红球” ,事件 B=“第二次取到红球”

?? 6 分 ?? 7 分 ?? 8 分 ?? 10 分 ?? 11 分 ??12 分

由于是不放回地从盒中连续取两次球,每次取一个,所以第一次取球有 8 种方法,第二次 取球是 7 种方法,一共的基本事件数是 56, 由于第一次取到红球有 3 种方法,第二次取球是 7 种方法,? P( A) ?

3 ? 7 21 ? 2分 ? 56 56

又第一次取到红球有 3 种方法,由于采取不放回取球,所以第二次取到红球有 2 种方法,

6 P ( A ? B ) 56 6 2 6 ? P ( B | A) ? ? ? ? ? P( A ? B) ? 21 21 7 P ( A) 56 56

??4 分

(Ⅱ)从盒中任取 3 个球,取出的 3 个球中红球个数 X 的可能值为 0,1,2,3?? 5 分
3 C5 10 5 ? 且有 P( X ? 0) ? 3 ? , C8 56 28 1 C3C52 30 15 P( X ? 1) ? ? ? 3 C8 56 28

P( X ? 2) ?

1 C32C5 15 ? , C83 56

P( X ? 3) ?

3 C3 1 ? 3 C8 56

?? 9 分

?X 的
分布列为 X 的数学期望为: ?? 10 分

5 15 15 1 63 9 ??12 分 ? ? ? ? ? ?3 ? 1 2 ? 28 28 56 56 56 8 1 21. 解: (Ⅰ)当 a ? ?6 时, f ( x) ? x2 ? 6ln( x ? 1) ,定义域满足: x ? ?1 2 2 6 x ? x ? 6 x ? 2x ? ( )( 3) ? f ?( x) ? x ? ? ? ,且 x ? ?1 ?? 2 分 x ?1 x ?1 x ?1 E( X )? 0 ?

?当 ?1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0
? f ( x) 的单调递减区间为 (?1, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) ,

?? 3 分 ?? 4 分 ?? 5 分

? f ( x) 在 x ? 2 处取到极小值,且 f ( x)极小值 ? f (2) ? 2 ? 6ln3

f ( x) 无极大值.
(Ⅱ)由 g ( x) ? f ( x) ? 得 g ?( x) ? x ?

?? 6 分

1 1 1 = x2 ? a ln( x ? 1) ? x ?1 2 x ?1
?? 7 分

a 1 x( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 ? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

由已知 g ( x) 在 [0, ??) 上是单调递增函数,? g ?( x) ? 0

?? 8 分



x( x ? 1) 2 ? a( x ? 1) ? 1 ? 0 , ? x( x ? 1) 2 ? a( x ? 1) ? 1 ? 0 ( x ? 1) 2

1 ? x( x ? 1) 2 1 ? x( x ? 1) 2 , ?a ? ( ) max ?? 9 分 x ?1 x ?1 1 ? x( x ? 1) 2 1 1 ,( x ? 0) ,则由 ? ( x) ? ? 令 ? ( x) ? ? x( x ? 1) ? ? x2 ? x,( x ? 0) x ?1 x ?1 x ?1
整理得: a ? 得 ? ?( x) ? ?

1 ? 2x ?1 ( x ? 1) 2

?? 10 分

? x ? 0 ,?? ?( x) ? 0 ,?? ( x) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,

?? 11 分 ??12 分

?当 x ? 0 时,得 ? ( x)max ? ? (0) ? 1

?a ?1

22.(1) 解: (Ⅰ)证明:如图,连接 DB、OD,

?BC、CD 是⊙O 的两条切线 ?BD⊥OC,??2 ? ?3 ? 90?
??2 分

又 AB 为⊙O 的直径,?AD⊥DB, ?1 ? ?2 ? 90? ,

??1 ? ?3,? AD ? OC
(Ⅱ)? AO=OD , ??1 ? ?A ? ?3 , 且?ADB ? ?ODC ? 90?

??6 分 ??8 分 ??12 分

?R t B A D ? ?

R t C O? ? , D

? A D ?O C ? A B 2 O D ?

? x 2 ? 4cos2 ? ? x ? 2cos? (2)解: (Ⅰ)由 ? ,得: ? 2 (? 为参数) (? 为参数) 2 ? y ? 2sin ? ? y ? 4sin ?
故得曲线 C 即圆的普通方程为: x 2 ? y 2 ? 4 ??4 分

? 3 1 ? t ?x? ? 2 2 (t为参数) (Ⅱ)将 ? 代入方程 x 2 ? y 2 ? 4 中,得 4t 2 ? 2 3t ? 9 ? 0 ?6 分 ? y ? ?1 ? 3 t ? 2 ?
? t1 ? t2 ? 3 9 , t1 ? t2 ? ? 2 4
??8 分

?线段 AB 的长为 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ?

? ??3 x ? 2, ? 3 ? (3)解: (Ⅰ) f ( x ) ?| 2 x ? 3 | ? | x ? 1|? ? x ? 4, ? ? x ? 1 2 ? x ?1 ? 3 x ? 2, ? ?
令 f ( x) ? 6 ,分类求解,得 x ? ? ,或 x ?

39 2 3 x?? 2

??12 分

8 3

4 3 8 4 3 3

?? 6 分

由 f ( x) 得单调性可知:不等式 f ( x) ? 6 的解集为 (? , ) (Ⅱ)由函数单调性可知,当 x ? ? 时, f ( x) 的最小值是 f ( x)min ? f (? ) ?

3 2

3 2

5 ?12 分 2


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